Von-Neumann-Universum, Unterschied zwischen Ordnungszahl und Nachfolgerordnungszahl

Ich habe einige Schwierigkeiten, den Unterschied zwischen zwei Arten zu verstehen, wie Ordnungszahlen definiert zu sein scheinen. Ein Weg ist eine Ordnungszahl β ist definiert durch:

v β := P ( v β )

Und ergibt die folgenden Rangordnungszahlen:

v 0 := ∅ = ∅
v 1 := { 0 } = { ∅ }
v 2 := { 0 , 1 } = { ∅ , { ∅ } }

Dann die Nachfolgeordnung a ist etwas anders definiert (kein Potenzsatz) durch:

S ( a ) = a   ∪ { a }

Kann mir jemand den Unterschied zwischen erklären v β Und S ( a ) ? Ich würde erwarten, dass der Nachfolger die nächstplatzierte Ordnungszahl ist v β , jedoch nach dem Erweitern v 3 Diese beiden Definitionen sind nicht gleich:

v 3 A = S ( v 2 ) = { 0 , 1 , 2 } = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } }

während:

v 3 B = P ( v 2 ) = { 0 , 1 , 2 , ? } = { ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } }

Notiz: v 3 B ∖ v 3 A = { { ∅ } }

Ich hoffe, dass ich das hinbekomme, da es den Anschein hat, als würde es eine Grundlage für zukünftiges Lernen bilden. Jeder Einblick geschätzt. Danke!

Wir beweisen, dass es a gibt C A R D ich N A l Ordnungszahl größer als die unendliche Kardinalordnung A wie folgt: Let S sei die Menge der Mitglieder von P ( A × A ) das sind die (Graphen von ) Wohlordnungen. Für jede σ ∈ S da ist ein u N ich Q u e Ordinal- B ( σ ) isomorph zu σ . Durch Ersatz haben wir das Set C = { B ( σ ) : σ ∈ S } . Dann { C ∈ C : | C | ≤ A } ist gleich A + , die kleinste kardinale Ordnungszahl größer als A .

Antworten (3)

Der v a sind keine Ordnungszahlen. Sie sind die Ränge der Von-Neumann-Hierarchie, die durch die Ordnungszahlen indiziert sind.

Sie haben jedoch eine Ähnlichkeit. Die Ordnungszahl a ist die Menge aller Ordnungszahlen kleiner als a . v a ist die Menge aller Mengen mit Rang kleiner als a .

Die Sätze v β sind keine Ordnungszahlen. Sie sind eine Familie von Mengen, die durch Ordnungszahlen indiziert sind: Wir haben eine Menge v β für jede Ordnungszahl β . Als solche sind sie keine "alternative Definition von Ordnungszahlen", sondern nur bestimmte Sätze, die mit Ordnungszahlen verwandt sind, sich aber deutlich von ihnen unterscheiden.

Ihre erste Gleichung sollte sein v β + 1 := P ( v β ) , aber das ist nicht zum Definieren von Ordnungszahlen. Es dient zum Definieren von Ebenen der kumulativen Hierarchie, die durch Ordnungszahlen, die Subskripte, indiziert sind. v β ist nicht dasselbe wie β . Ihre Definition einer Nachfolgerordnungszahl ist die übliche. Dein v 3 A ist die übliche Menge, die mit bezeichnet wird 3 , ist aber keine Stufe der kumulativen Hierarchie. Beide Definitionen funktionieren nur für Folgeordnungszahlen. Sie brauchen eine Definition für Grenzordnungszahlen. Die üblichen Definitionen sind v β = ⋃ a < β v a für β eine Grenze und β = ⋃ a < β a für β eine Grenze

Ich denke, die erste Gleichung ist in Computeresisch. Programmierer schreiben Sachen wie X := X + 1 .
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