Wahrscheinlichkeit, beim Poker ein Full House zu bekommen

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Wahrscheinlichkeit, beim Poker ein Full House zu bekommen

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tarkowski123

Ich habe dieses Problem, das ich gelöst habe, aber mit zwei verschiedenen Methoden. Ich bin ziemlich neu in der Kombinatorik und möchte wissen, wie ich den Unterschied zwischen den folgenden beiden Methoden intuitiv verstehen kann.

Das Problem besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Full House mit einer 5-Karten-Pokerhand ausgeteilt wird.

Erstens löse ich das, indem ich einfach das sage

$P($ volles Haus bekommen $)=\frac{2 {13\choose 2} {4 \choose 3} {4 \choose 2}}{{52 \choose 5}}$ . Dies ist die richtige Antwort nach meinem Lehrbuch. Allerdings habe ich bei meinem ersten Lösungsversuch den Faktor 2 im Zähler vergessen. Meine Überlegung lautet wie folgt: Alle möglichen Möglichkeiten, ein Full House zu bekommen, bestehen aus allen Möglichkeiten, wie wir zwei verschiedene Ränge kombinieren können (dh ${13 \choose 2}$ ) multipliziert alle möglichen Möglichkeiten, 3 Karten aus 4 Farben auszuwählen, multipliziert alle möglichen Möglichkeiten, 2 Karten aus 4 Farben auszuwählen. Das alles erscheint mir jetzt logisch. Was mich daran zweifeln lässt, ob ich wirklich verstehe, was ich tue, ist, wie der Faktor 2 zustande kommt. Ich denke: Da wir zwei verschiedene Ränge ohne Rücksicht auf die Reihenfolge wählen, müssen wir diese Kombinationen kompensieren und daher mit multiplizieren $2!$ , denn offensichtlich spielt es eine Rolle, ob ich (zum Beispiel) die Ränge (Ass, Springer) wähle und in dieser Reihenfolge drei Asse und zwei Springer wähle.

Andererseits kann ich das Problem mit der hier beschriebenen Methode lösen: https://math.stackexchange.com/a/808328/518320

Was auch intuitiv klar erscheint, wenn man so denkt, wie der Benutzer den Prozess in diesem Thread beschreibt.

Was ist der Unterschied zwischen den beiden Methoden? Vielleicht ist das offensichtlich, aber ich bin neu in der Kombinatorik. Und ist meine obige Argumentation korrekt?

Danke!

lulu

Ich hätte gesagt: Wähle die Farbe für das Tripel, das ist

(\binom{13}{1})

$\binom {13}1$ . Dann wähle das Tripel der Ränge,

(\binom{4}{3})

$\binom 43$ . Wählen Sie dann den Anzug für das Paar,

(\binom{12}{1})

$\binom {12}1$ , dann wähle das Paar,

(\binom{4}{2})

$\binom 42$ . Es ist wahr, dass

2 \times (\binom{13}{2}) = (\binom{13}{1}) \times (\binom{12}{1})

$2\times \binom {13}2= \binom {13}1\times \binom {12}1$ aber ich finde das weniger intuitiv.

NF Taussig

@lulu Während deine Berechnungen korrekt sind, hast du Reihen mit Anzügen verwechselt. Die vier Farben sind Herz, Kreuz, Karo und Pik. Die dreizehn Ränge sind 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A.

lulu

@NFTaußig absolut richtig. Ich plädiere auf Kaffeemangel.

Antworten (3)

Wahrscheinlichkeit, beim Poker ein Full House zu bekommen

Ich hätte gesagt: Wähle die Farbe für das Tripel, das ist $\binom {13}1$ . Dann wähle das Tripel der Ränge, $\binom 43$ . Wählen Sie dann den Anzug für das Paar, $\binom {12}1$ , dann wähle das Paar, $\binom 42$ . Es ist wahr, dass $2\times \binom {13}2= \binom {13}1\times \binom {12}1$ aber ich finde das weniger intuitiv.
@lulu Während deine Berechnungen korrekt sind, hast du Reihen mit Anzügen verwechselt. Die vier Farben sind Herz, Kreuz, Karo und Pik. Die dreizehn Ränge sind 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A.

Henry · Answer 1

Sie sind im Wesentlichen das gleiche Geben $156$ Möglichkeiten, Ränge zu wählen, aber wenn Sie eine Unterscheidung treffen möchten:

Wählen Sie zwei Ränge und wählen Sie dann einen dieser beiden als die drei aus, sodass der andere das Paar ist
$(\binom{13}{2}) (\binom{2}{1})$ ${13 \choose 2}{2 \choose 1}$
Wählen Sie einen Rang, um die Drei zu sein, und wählen Sie dann einen anderen Rang, um das Paar zu sein
$(\binom{13}{1}) (\binom{12}{1})$ ${13 \choose 1}{12 \choose 1}$

und das multiplizierst du dann mit ${4 \choose 3}{4 \choose 2}$ und dividiere durch ${52 \choose 5}$

Das Gleiche tun, um zwei Paare zu bekommen $858$ Möglichkeiten zur Auswahl der Ränge durch mehrere Methoden:

Wählen Sie drei Ränge und wählen Sie dann einen dieser drei als Single aus, damit die anderen die Paare sind
$(\binom{13}{3}) (\binom{3}{1})$ ${13 \choose 3}{3 \choose 1}$
Wählen Sie drei Ränge und wählen Sie dann zwei dieser drei als Paare aus, sodass der andere das Einzel ist
$(\binom{13}{3}) (\binom{3}{2})$ ${13 \choose 3}{3 \choose 2}$
Wählen Sie einen Rang als Single und dann zwei andere Ränge als Paare
$(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2})$ ${13 \choose 1}{12 \choose 2}$
Wählen Sie zwei Ränge als Paare aus und wählen Sie dann einen anderen Rang als Einzel
$(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1})$ ${13 \choose 2}{11 \choose 1}$

und das multiplizierst du dann mit ${4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 2}$ und dividiere durch ${52 \choose 5}$

David K · Answer 2

Die Ausdrücke $2\binom{13}{2}$ Und $\binom{13}{1}\binom{12}{1}$ sind beide gleichbedeutend mit „wählen $2$ Objekte aus $13$ wo die Reihenfolge der Auswahl wichtig ist." Mit anderen Worten, wir wollen Permutationen von $2$ Gegenstände aus $13$ eher als Kombinationen.

Der Weg, um Permutationen von zu erhalten $k$ Gegenstände aus $n$ ist zu multiplizieren $k$ aufeinanderfolgende ganze Zahlen zusammen, wobei $n$ ist die größte der ganzen Zahlen multipliziert: $n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1).$ Zum Beispiel Permutationen von $2$ Gegenstände aus $n$ geben $13\cdot12$ mögliche Permutationen. Und da $\binom n1 = n,$ $13\cdot12 = \binom{13}{1}\binom{12}{1}.$

Aber oft wird die Anzahl der Permutationen geschrieben $\dfrac{n!}{(n-k)!},$ Weil

\frac{N!}{(N - k)!} = N (N - 1) (N - 2) \dots (N - k + 1) .

$\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1).$ Um die Anzahl der Kombinationen von zu erhalten

k

$k$ Gegenstände aus

n

$n$ (ohne Rücksicht auf die Reihenfolge der Objekte) dividieren wir durch

k!,

$k!,$ denn das ist die Anzahl der verschiedenen Sequenzen, in denen jede Kombination von

k

$k$ Objekte können als Permutation auftreten. Also bekommen wir

(\binom{N}{k}) = \frac{N!}{(N - k)! k!} .

$\binom nk = \frac{n!}{(n-k)!k!}.$ Das bedeutet auch

k! (\binom{n}{k})

$k!\binom nk$ ist eine weitere Möglichkeit, die Anzahl der Permutationen von zu schreiben

k

$k$ Gegenstände aus

n .

$n.$

Kurz gesagt, es ist alles wirklich dasselbe, auf unterschiedliche Weise geschrieben.

Kaffeemath · Answer 3

Die beiden Ränge sind unterscheidbar, sobald Sie ein bestimmtes Full House erhalten. Angenommen, Sie bekommen drei Könige und zwei Damen. Das unterscheidet sich davon, drei Damen und zwei Könige zu bekommen. So sollte es sein $13 \cdot 12$ Möglichkeiten, die beiden Ränge auszuwählen. Dies ist dasselbe wie $2 \cdot \binom{13}{2}.$

Wahrscheinlichkeit, beim Poker ein Full House zu bekommen

tarkowski123

lulu

NF Taussig

lulu

Antworten (3)

Henry

David K

Kaffeemath

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