Wahrscheinlichkeit, dass zwei bestimmte Elemente in einer zufälligen Partition mit festen Größen gruppiert sind

Insgesamt$n = 3 n_1 + 2 n_2 + n_3$unterschiedliche Elemente gekennzeichnet$1$Zu$n$einzulegen sind$n_1 + n_2 + n_3$unterschiedliche Boxen. Dazu werden die Items in Gruppen eingeteilt: there are$n_1$Gruppen von drei Artikeln,$n_2$Gruppen von zwei Elementen und$n_3$Gruppen eines Artikels. Jede Gruppe wird in eine eigene Box gestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Artikel$1$Und$2$befinden sich in derselben Box, entweder als Gruppe für sich oder in einer Dreiergruppe mit einem anderen Gegenstand?

Ich gehe dieses Problem kombinatorisch an. Die erste Hürde, auf die ich stieß, war die Bestimmung der Größe des Probenraums. Wie kann ich Partitionen von zählen$n$in die$n_1$,$n_2$,$n_3$Gruppen von Größen$3$,$2$, Und$1$bzw?

Zuerst dachte ich an etwas in der Art

$$\binom{n}{3} \binom{n-3}{3} \binom{n-6}{3} \cdots \binom{n - 3(n_1 + 1)}{3}$$ zu bilden $n_1$Gruppen von drei Elementen, und sie multiplizieren mit $$\binom{n - 3 n_1}{2} \binom{n - 3 n_1 - 2}{2} \cdots \binom{n - 3 n_1 - 2(n_2 + 1)}{2}$$ zu bilden $n_2$Gruppen von zwei Elementen, und so weiter. Dadurch ergeben sich viele schöne Abstempelungen $$\frac{n!}{6^{n_1} \cdot 2^{n_2} \cdot 1^{n_1}}$$ für die Anzahl der Partitionen.

Aber erzwingt das nicht gewissermaßen eine feste Reihenfolge der Kisten? Dieser Prozess erfordert diese Box$1$B. eine Gruppe von drei Elementen enthalten. Wie kann ich das korrigieren?

Als nächstes, um die Anzahl der Partitionen zu zählen, in denen sich Elemente befinden$1$Und$2$in derselben Gruppe sind, betrachte ich zwei Fälle.

Zunächst bilden sie eine Zweiergruppe. In diesem Fall wiederhole ich den gleichen Vorgang wie oben, um die Anzahl der Möglichkeiten zu zählen$n-2$Elemente können unterteilt werden$n_1$Dreiergruppen,$n_2 - 1$Zweiergruppen und$n_3$Gruppen von einem.

Zweitens bilden sie mit einem anderen Element eine Dreiergruppe. Es gibt$n - 2$Wahlmöglichkeiten für das dritte Element, mit dem sie gruppiert werden können. Dann wiederhole ich denselben Vorgang, um die Anzahl der Partitionierungsmöglichkeiten zu zählen$n-3$Artikel hinein$n_1 - 1$Dreiergruppen,$n_2$Zweiergruppen und$n_3$Gruppen von einem.

Schließlich ergibt das Summieren dieser beiden Zählwerte und Dividieren durch die Größe des Stichprobenraums die Wahrscheinlichkeit.

Ist dieser Ansatz vernünftig?