Warum brauchen wir die Fourier-Transformationen von sin und cos? [geschlossen]

Ihre Frage ist viel besser, als es beim ersten Lesen erscheinen mag.

Die Fourier-Transformation eines Sinus/Kosinus ist ein Paar von Diracs Delta$\delta$Funktionen bei$\pm f_c$. Diracs Delta-Funktion kann als kontinuierliches Frequenzäquivalent der diskreten Frequenzkoeffizienten der Fourier-Reihenentwicklung betrachtet werden .

Der Grund, warum wir sie in EE verwechseln, liegt in der analytischen Bequemlichkeit. Sehen Sie sich das folgende Beispiel an.

Angenommen, wir haben als Teil eines Sendesystems einen Modulator, der ein Basisbandsignal aufnimmt$x(t)$und moduliert einen Träger$\cos(\omega_c t)$damit, damit sie ein moduliertes Signal bekommen$s(t)=x(t)\cos(\omega_c t)$.

Wenn wir dann das Spektrum berechnen wollen$S(f)$des modulierten Signals$s(t)$wir brauchen die Fourier-Transformation des Trägers$\cos(\omega_c t)$. In diesem Fall:

Wo$X(f)$ist die Fourier-Transformation (auch bekannt als Spektrum) von$x(t)$.

Somit sind die Spektralkomponenten des Basisbandsignals von$x(t)$wurden um den Träger "im Frequenzspektrum nach oben verschoben".$f_c$. Dieses Ergebnis ist der Grundstein der Funkkommunikation.

Aber wie kamen wir zu dem vorherigen Ergebnis, das täuschend einfach aussieht? Es wird aus der Faltung von erhalten$X(f)$mit der Fourier-Transformation des Trägers (das eingangs erwähnte Dirac-Delta-Paar). Diese einfache Berechnung wäre ohne die Verwendung der Fourier-Transformation der Sinus/Cosinus-Funktion nicht möglich gewesen. Deshalb definieren wir es: weil wir es brauchen.

Letztendlich geht es darum, dass wir in EE normalerweise periodische Sinus-/Kosinusfunktionen zusammen mit einem aperiodischen informationstragenden Signal verwenden und sie zusammen innerhalb desselben mathematischen Rahmens analysieren müssen : der Fourier-Transformation.

Uh, das ist ein großes Thema, und ich kann und will nicht einmal versuchen, es zu beantworten, aber ich kann Ihnen einige Hinweise geben:

Schon damals, als Herr Fourier seine Verwandlung veröffentlichte, waren Sünde und Kos sehr gut verstanden. Dies führte zu einem breiten Verständnis und einer späteren Adaption seines Konzepts. In gewisser Weise war die Wahl der Sünde auch die einfachste, denn selbst wenn Sie die Transformation nicht vollständig verstanden haben, könnten Sie immer noch auf die Idee kommen, ein komplexes Signal in einen Haufen einfacher Signale zu spucken.

Es gibt auch andere Transformationen im Fourier-Stil. Es ist nicht nur Sünde und Co. Um hier nur ein Beispiel zu nennen:

Die Walsh-Transformation macht im Grunde dasselbe wie die Fourier-Transformation, basiert jedoch auf einer Gruppe von Rechteckwellensignalen. Ja! Eins und null. Kein fieses Gleitkomma-Zeug beteiligt :-)

Bei der Arbeit mit binären Signalen hat die Walsh-Transformation einige nette Eigenschaften, wenn Sie sie in Hardware implementieren müssen, aber der Nachteil ist, dass die Ergebnisse, die Sie daraus erhalten, im Allgemeinen nicht so einfach zu verwenden sind. So einfach die Implementierung in Hardware ist, desto schwieriger ist es zu bedienen :-)

Neben diesen beiden Extremen gibt es unzählige andere Transformationen im Fourier-Stil. Die größte und wichtigste ist wahrscheinlich die Wavelet-Transformation, die keine feste Basisfunktion verwendet. Sie können Ihre eigenen Funktionen würfeln, solange Sie einige Regeln befolgen.

Harmonische gibt es übrigens nicht. Was Sie stattdessen sehen, ist das Ergebnis der Korrelation mit den sin/cos-Basisfunktionen bei N*Fbinspacing, wobei N ganzzahlig ist.

Wenn Ihr einziges Werkzeug ein Sin/Cosinus ist, wird die Mathematik gezwungen, Energie in diese "Harmonischen" zu zwingen.

Dies ist nützlich zu wissen, da Sie Ihre Systeme so gestalten können, dass sie immun gegen Überlastungen oder Störungen sind, wenn Sie sagen, dass es sich um "Harmonische" handelt.