Warum brauchen wir eine Folge von Zufallsvariablen, reicht eine Funktion nicht aus?

Question

Warum brauchen wir eine Folge von Zufallsvariablen, reicht eine Funktion nicht aus?

Probenahme
Mathematik
Wahrscheinlichkeit
zufällige Variablen
Wahrscheinlichkeitstheorie

LJNG

Beim Sampling haben wir so viele Situationen, in denen eine Folge von Zufallsvariablen involviert ist. Was mich verwirrt, ist, warum wir eine Folge von Zufallsvariablen brauchen, um den Prozess zu beschreiben? Es fühlt sich an, als würde jede Funktion nur einmal verwendet.

Vermuten

X_{ich} : Ω \to R, ich \in N

$X_i:\Omega\to\mathbb{R}\quad,i\in\mathbb{N}$

X_{1}, X_{2}, X_{3} . . .

$X_1,X_2,X_3...$ im Grunde nur die

R

$\mathbb{R}$ -wertiges Bild, jedes Bild hat seine entsprechende Funktion.

warum verwenden wir nicht nur eine einzige Zufallsvariable, um diese Bilder zu beschreiben, dies scheint auch ausreichend zu sein, um den Prozess zu beschreiben, wenn nicht, wo ist das Problem?

Michael

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage verstehe. Nehmen wir zum Beispiel an

X_{1}

$X_1$ ist Bernoulli

p = 1 / 2

$p=1/2$ Und

X_{2}

$X_2$ ist einheitlich vorbei

[0, 17]

$[0,17]$ , und sie sind unabhängig. Können Sie erklären, was Sie mit einer einzelnen Funktion meinen?

Mason

Sie können den Prozess mit der Single beschreiben

R^{N}

$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ geschätzte Zufallsvariable

X = (X_{1}, X_{2}, \dots)

$X = (X_1, X_2, \dots)$ .

LJNG

@Michael Danke für deine Antwort. In Ihrer Situation, ja, wir brauchen andere Zufallsvariablen. Was ist mit der Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts? Jede Probe ist iid und folgt der Normalverteilung, ich hatte nur das Gefühl, dass sie irgendwie für eine Folge von Zufallsvariablen verschwendet wird

LJNG

@ Mason Vielen Dank für Ihre Antwort. Was ich meinte, war eine einzelne Funktion

\hat{X} : Ω \to R

$\hat{X}:\Omega\to \mathbb{R}$ , und diese Bildfolge stammt allesamt aus dieser einzigen Funktion

Antworten (2)

Warum brauchen wir eine Folge von Zufallsvariablen, reicht eine Funktion nicht aus?

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage verstehe. Nehmen wir zum Beispiel an $X_1$ ist Bernoulli $p=1/2$ Und $X_2$ ist einheitlich vorbei $[0,17]$ , und sie sind unabhängig. Können Sie erklären, was Sie mit einer einzelnen Funktion meinen?
Sie können den Prozess mit der Single beschreiben $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ geschätzte Zufallsvariable $X = (X_1, X_2, \dots)$ .
@Michael Danke für deine Antwort. In Ihrer Situation, ja, wir brauchen andere Zufallsvariablen. Was ist mit der Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts? Jede Probe ist iid und folgt der Normalverteilung, ich hatte nur das Gefühl, dass sie irgendwie für eine Folge von Zufallsvariablen verschwendet wird
@ Mason Vielen Dank für Ihre Antwort. Was ich meinte, war eine einzelne Funktion $\hat{X}:\Omega\to \mathbb{R}$ , und diese Bildfolge stammt allesamt aus dieser einzigen Funktion

Michael · Answer 1

Im Standard-Framework ein einzelnes Ergebnis $\omega \in \Omega$ in einem Wahrscheinlichkeitsraum bestimmt die Werte aller Zufallsvariablen $X_1(\omega), X_2(\omega), ...$ die Sie auf dem System definiert haben. Aber Ihre Idee, "das Experiment zu wiederholen" und "die gleiche Funktion zu verwenden", kann innerhalb dieses Rahmens mit dem Produktraum durchgeführt werden :

Angenommen, Sie beginnen mit einem (kleinen) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ auf dem eine Zufallsvariable liegt $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ das hat eine Gaußsche $N(0,1)$ CDF.

Eine Möglichkeit, "das Experiment unendlich oft zu wiederholen", aber unsere korrekte Sichtweise der Wahrscheinlichkeit beizubehalten, besteht darin, einen neuen (großen) Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren $(\tilde{\Omega}, \tilde{\mathcal{F}}, \tilde{P})$ das ist groß genug, um alles zu passen, was wir wollen:

\begin{aligned} \tilde{Ω} = Ω \times Ω \times Ω \times . . . \\ \tilde{F} = F \otimes F \otimes F \otimes . . . . \end{aligned}

$\begin{align} &\tilde{\Omega} = \Omega \times \Omega \times \Omega \times ...\\ &\tilde{\mathcal{F}} = \mathcal{F}\otimes \mathcal{F} \otimes \mathcal{F} \otimes. ... \end{align}$ und wo unsere neuen Ergebnisse

\tilde{ω} \in \tilde{Ω}

$\tilde{\omega} \in \tilde{\Omega}$ haben die Form:

\tilde{ω} = (ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, . . .)

$\tilde{\omega} = (\omega_1, \omega_2, \omega_3, ...)$ Wo

ω_{i} \in Ω

$\omega_i \in \Omega$ für alle

i \in {1, 2, 3, . . .}

$i\in \{1, 2, 3, ...\}$ . Nun das neue Wahrscheinlichkeitsmaß

\tilde{P} : \tilde{F} \to R

$\tilde{P}:\tilde{\mathcal{F}}\rightarrow\mathbb{R}$ wird aus dem alten aufgebaut

P : F \to R

$P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}$ als das einzige Maß, das erfüllt

\begin{aligned} \tilde{P} [{\tilde{ω} \in \tilde{Ω} : ω_{1} \in A_{1}, ω_{2} \in A_{2}, \dots, ω_{N} \in A_{N}}] \\ = \prod_{ich = 1}^{N} P [A_{ich}] \end{aligned}

$\begin{align} &\tilde{P}[\{\tilde{\omega} \in \tilde{\Omega} : \omega_1 \in A_1, \omega_2 \in A_2, \ldots, \omega_n \in A_n\}] \\ &= \prod_{i=1}^n P[A_i] \end{align}$ für alle positiven ganzen Zahlen

n

$n$ und alles

A_{1}, . . ., A_{n} \in F

$A_1, ..., A_n \in \mathcal{F}$ . Dieser neue Wahrscheinlichkeitsraum

(\tilde{Ω}, \tilde{F}, \tilde{P})

$(\tilde{\Omega}, \tilde{\mathcal{F}}, \tilde{P})$ heißt Produktraum .

In diesem Fall können Sie tatsächlich iid definieren $N(0,1)$ zufällige Variablen $X_i:\tilde{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$ mit der gleichen ursprünglichen Funktion $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ von

X_{ich} (\tilde{ω}) = X (ω_{ich}) \forall \tilde{ω} \in \tilde{Ω}, \forall ich \in {1, 2, 3, . . .},

$X_i(\tilde{\omega}) = X(\omega_i) \quad \forall \tilde{\omega} \in \tilde{\Omega}, \forall i \in \{1, 2, 3, ...\},$ Das heißt für alle

ω_{i} \in Ω

$\omega_i\in \Omega$ Und

i \in {1, 2, 3, . . .}

$i \in \{1, 2, 3, ...\}$ :

X_{ich} (ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, . . .) = X (ω_{ich})

$\boxed{X_i(\omega_1, \omega_2, \omega_3, ...) = X(\omega_i)}$ Für diesen großen Wahrscheinlichkeitsraum

(\tilde{Ω}, \tilde{F}, \tilde{P})

$(\tilde{\Omega}, \tilde{\mathcal{F}}, \tilde{P})$ , die Funktion

X : Ω \to R

$X:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ ist nur eine Funktion, die verwendet wird, um die Zufallsvariablen zu konstruieren

X_{i}

$X_i$ . Die Funktion

X : Ω \to R

$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ kann nicht mehr als "Zufallsvariable" angesehen werden, da sie nicht definiert ist

\tilde{Ω}

$\tilde{\Omega}$ .

JonathanZ unterstützt MonicaC · Answer 2

Ich sehe nicht, wie das einen Unterschied machen würde.

Ich denke, es liegt hauptsächlich an der Notation und der Geschichte. Die Notation $a_i$ , das verwendet wurde, um eine Folge konkreter Werte anzuzeigen, gab es bereits, und als die Leute Zufallsvariablen formalisierten, verallgemeinerten sie das Konzept einfach. Wobei ich mit keiner Notation für "den ersten aus der Zufallsvariablen generierten Wert" vertraut bin $X$ ", "der zweite aus der Zufallsvariablen generierte Wert $X$ ", ... "Die $n$ ter Wert aus Zufallsvariable generiert $X$ ".

Ich frage mich, ob Sie aus einem Computerprogrammierhintergrund kommen, wo das Erstellen einer "Zufallsvariablen" einige Kosten verursacht und es daher verschwenderisch erscheint, sie einmal zu verwenden und dann wegzuwerfen. Außerdem ist die Computerprogrammierung (im Allgemeinen) sequentiell, sodass Sie jeweils nur ein Sample generieren können. Aber in Mathematik können Sie sich genauso gut eine ganze Folge von Zufallsvariablen vorstellen und aus allen auf einmal eine einzelne Stichprobe "erzeugen". Außerdem existiert die Vorstellung, dass man Werte "erzeugt", im mathematischen Formalismus gar nicht wirklich - wir können uns die Werte genauso gut als "bereits da" vorstellen, aber dass sie eine bestimmte Verteilung haben.

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Michael

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Michael

JonathanZ unterstützt MonicaC

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