Warum gibt dieses Linienintegral das falsche Vorzeichen?

Da sich das Objekt nach unten bewegt,$\mathrm{d}\vec{s} = -\mathrm{d}\vec{y}$

ist die Quelle deines Fehlers.

Die Integration vergessen und die Idee verwenden, dass die potentielle Energie der Gravitation ist$mgh$Sehen Sie sich an, was passiert, wenn sich ein Körper von einer Anfangshöhe aus bewegt$h_{\rm i}$auf eine Endhöhe$h_{\rm f}$.

Die Änderung der Gravitationspotentialenergie ist$mg(h_{\rm f} - h_{\rm i})$

Gehen Sie eine Stufe zurück und schreiben Sie die äquivalente Vektorgleichung als

$$m(-\vec g)\cdot (\vec h_{\rm f} - \vec h_{\rm i}) = m(-g \,\hat y)\cdot (h_{\rm f} - h_{\rm i})\,\hat y$$

Noch eine Stufe zurück und dann noch wo$\Delta y = h_{\rm f} -h_{\rm i}$

$$=m(-g \,\hat y)\cdot \Delta y\,\hat y=m(-g \,\hat y)\cdot \Delta \vec y$$

und in der integralen Form wird dies$\displaystyle \int^{h_{\rm f}}_{h_{\rm i}}m(-g \,\hat y)\cdot d \vec y$

Beachten Sie, dass in allen obigen Analysen die Werte der Komponenten der Verschiebungen nicht erwähnt werden$h_{\rm i}\,\hat y$Und$h_{\rm f}\,\hat y$.

Als du geschrieben hast$\mathrm{d}\vec{s} = -\mathrm{d}\vec{y}$hast du wirklich gemeint, dass die Verdrängung war$\Delta\vec{s} = -\Delta\vec{y} = h_{\rm i}\,\hat y-h_{\rm f}\,\hat y$?
Ich denke nicht?

Zusammenfassend müssen Sie sich klar machen, dass das Vorzeichen des Inkrements ist$ds$wird vollständig durch die Grenzen der Integration diktiert und Sie sollten das Vorzeichen nicht vorwegnehmen$ds$.

Ihr Problem ist, dass Sie eingestellt sind$\vec{{\rm d}s}=-\vec{{\rm d}y}$. Es spielt keine Rolle, was dein Weg ist,$\vec{{\rm d}s}$ist immer

$$\vec{{\rm d}s}={\rm d}x\hat{x}+{\rm d}y\hat{y}+{\rm d}z\hat{z}$$

Heuristisch gesehen ist das Zeichen von${\rm d}y$wird durch die Grenzen der Integration bestimmt. Also beim Integrieren$y_{\rm i}\rightarrow y_{\rm f}$mit$y_{\rm i}>y_{\rm f}$du hast${\rm d}y<0$.

Um das richtig zu machen, gehe ich immer auf die korrekte Definition eines Linienintegrals zurück. Um die Arbeit entlang eines Pfades zu berechnen, parametrisieren wir den Pfad zunächst als$\vec{s}(t)$Wo$t$geht von$t_i$Zu$t_f$. Dann werten wir die Kraft auf diesem Weg aus$\vec{F}(\vec{s}(t))$und dot es in die$d\vec{s}$und wie folgt integrieren:

$$W = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(\vec{s}(t))\cdot \frac{d\vec{s}(t)}{dt}~dt.$$ In Ihrem Fall ist eine Möglichkeit, die Kurve zu parametrisieren $$\vec{s}(t) = ((1-t)y_i+ty_f)\hat{y},$$ Wo$t$geht zwischen 0 und 1, in diesem Fall $$\frac{d\vec{s}(t)}{dt} = (y_f-y_i)\hat{y},$$ und natürlich ist die Kraft einfach konstant$\vec{F}(\vec{s}(t)) = -mg\hat{y}$.

Daher,

$$\begin{align*} W &= \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(\vec{s}(t))\cdot \frac{d\vec{s}(t)}{dt}~dt\\ &= \int_{0}^{1} (-mg\hat{y})\cdot (y_f-y_i)\hat{y}~dt\\ &= -mg(y_f-y_i)\int_{0}^{1}dt\\ &=-mg(y_f-y_i), \end{align*}$$ Das ist natürlich die richtige Antwort!

Die Sache ist, durch die Wahl von a$d\vec{s}$und eine Reihe von Grenzwerten, wählen Sie implizit eine Parametrisierung Ihrer Kurve, und Sie müssen bei der Auswahl der Funktion und der Grenzwerte konsistent sein. Das heißt, basierend auf Ihren Grenzen scheint es, als würden Sie eine Parametrisierung wählen, bei der die vertikale Position der Parameter ist:

$$\vec{s}(y) = y\hat{y},$$ Wo$y$geht von$y_i$Zu$y_f$. Dann $$d\vec{s} = \frac{d\vec{s}}{dy}dy = \hat{y}dy,$$ und Sie können sehen, dass Sie dort gezwungen sind, das positive Vorzeichen zu wählen, anstatt das negative.

Farchers Antwort gibt ein schönes physikalisch intuitives Bild davon, warum Sie dazu gezwungen sind. Ich gehe gerne auf die richtige mathematische Definition zurück, weil die richtigen negativen Vorzeichen beim Waschen herauskommen.

Nachdem Sie eingestellt haben$d \vec {s} = - d \vec {y}$, haben Sie vergessen, die Integrationsgrenzen zu ändern. Lassen$\vec{s}$im Bereich von Anfangs- bis Endpunkten, sagen wir$s_1, s_2, \dots, s_N$, dann ist die untere Grenze$s_1$und die obere Grenze ist$s_N$. Nun, gemäß Ihrer Konvention$\vec{y} = - \vec{s}$, die Werte, die$\vec{y}$werden haben sind$-s_1,-s_2, \dots, -s_N$und somit musst du (wenn du über y integrierst) die Limits aus ändern$-s_1$Zu$-s_N$. Wenn Sie das Integral für das Gravitationsfeld auswerten, haben Sie einen Term, der proportional zu ist

$- \vec{s_N} - (- \vec{s_1}) = \vec{s_1}-\vec{s_N}$

anstatt

$\vec s_N - \vec s_1$(wenn die Transformation der Integrationsgrenzen vergessen wird).

Die Integrationsgrenzen müssen nach jeder Art von Koordinatentransformation geändert werden!