Warum gibt es sowohl „und“ als auch „oder“? [Duplikat]

Im maximal formalen Sinn werden Logiken mit nur einem Konnektor und einer Negation definiert. Meistens ist der Konnektiv entweder „und“ oder „impliziert“. Der Grund dafür ist, dass alle anderen Konnektive aus einer Reihe von Negationen konstruiert werden können und das gewählte Konnektiv, Sie können sich die anderen Konnektive als Kurzschrift vorstellen.

A v B ist eine Abkürzung für ¬(¬A ∧ ¬B) in einer Logik, die mit Negation und Konjunktion definiert ist.

Es ist Funktionen, Prädikaten und Variablen völlig ähnlich. Im maximal formalen Sinne heißen Variablen nicht "x", "y" und "z". Sie heißen alle x mit Indizes von 1 bis wie viele Variablen vorhanden sind. Funktionsbuchstaben und Prädikatsbuchstaben sind gleich, sie werden nicht wirklich "F", "G" oder "H" geschrieben, sondern mit einem hochgestellten Index, der angibt, wie viele Argumente benötigt werden, und einem Index, der ebenfalls von 1 bis läuft Gesamtzahl der Funktionen oder Prädikate. Die Indizes unterscheiden sie auf die gleiche Weise, wie "x" von "y" unterschieden wird.

In jedem fortgeschrittenen Lehrbuch über Logik werden Sie feststellen, dass die Autoren die Idee zunächst auf die formellste Weise präsentieren und dann die Einschränkungen lockern, sodass wir der Einfachheit halber andere Buchstaben anstelle von nummerierten Buchstaben verwenden. Ähnlich verhält es sich auch mit Konnektiven. Als Beispiel aus Saul Kripkes elementarer Rekursionstheorie und ihrer Anwendung auf formale Systeme :

Wir haben unsere offizielle Notation beschrieben; Wir werden jedoch häufig eine inoffizielle Notation verwenden. Beispielsweise werden wir oft 'x', 'y', 'z' usw. für Variablen verwenden, während wir offiziell 'x1', 'x2' usw. verwenden sollten. Eine ähnliche Bemerkung gilt für Prädikate, Konstanten und Funktionen Briefe. Wir übernehmen auch die folgenden inoffiziellen Abkürzungen:

(A ∨ B) für (~A ⊃ B);

(A ∧ B) für ~(A ⊃ ~B);

(A ≡ B) für ((A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A));

(∃xi) A für ~(xi) ~A.

In diesem Auszug ist „⊃“ das Symbol für Implikation, das Bindewort, das er gewählt hat, um die Logik zu definieren, „≡“ ist das Symbol für Biconditional, „~“ ist das Symbol für Negation und (x) ist der universelle Quantor. Die Zahlen neben den Variablen am Anfang sowie das i neben dem Universalquantor sollen tiefgestellt sein, aber die Philosophy.SE erlaubt leider keinen Mathjax-Satz.

Im formalsten Sinne haben Logiken also nur entweder „oder“ oder „und“ oder eine andere Verknüpfung. Dies mag jedoch verwirrend erscheinen, da wir umgangssprachlich beides haben. Die Antwort darauf, warum wir das Konzept von beiden haben, ergibt sich aus dem logischen Studium der natürlichen Sprache. Die Logik von Aristoteles ist wirklich der Vorläufer der modernen Logik, obwohl die moderne Logik ganz anders ist. Aus dem SEP-Artikel zum gleichen Thema:

In On Interpretation argumentiert Aristoteles, dass eine einzelne Behauptung immer ein einzelnes Prädikat eines einzelnen Subjekts entweder bestätigen oder verneinen muss. Daher erkennt er Satzverbindungen wie Konjunktionen und Disjunktionen nicht als einzelne Behauptungen an. Dies scheint eine bewusste Entscheidung seinerseits zu sein: Er argumentiert zum Beispiel, dass eine Konjunktion einfach eine Sammlung von Behauptungen ist, die nicht mehr intrinsische Einheit hat als die Satzfolge in einem langen Bericht (z. B. die gesamte Ilias, um die von Aristoteles zu nehmen). eigenes Beispiel). Da er auch Verneinungen als eine der beiden Grundarten der Behauptung behandelt, betrachtet er Verneinungen nicht als Satzverbindungen. Seine Behandlung von Bedingungssätzen und Disjunktionen ist schwieriger zu beurteilen, aber es ist auf jeden Fall klar, dass Aristoteles keine Anstrengungen unternommen hat, um eine Satzlogik zu entwickeln.

Aristoteles stimmt mit der modernen Logik darin überein, dass zum Beispiel Konjunktionen keine atomaren Formeln sind. Sie sind zusammengesetzte Formeln und bestehen als solche aus Teilformeln. Wirklich, die Einführung von Bindewörtern kommt von unserem natürlichen Gebrauch von Wörtern wie „und“ und „oder“. Wir haben „und“ so definiert, dass wir versuchen darzustellen, was wir logisch meinen, wenn wir sagen „es regnet UND es ist bewölkt“. Was bedeutet das „und“ in diesem Satz? Nun, es bedeutet, dass diese beiden atomaren Formeln, die Behauptungen „es regnet“ und „es ist bewölkt“ gleichzeitig wahr sind. Daher haben wir das logische „und“ so strukturiert, dass es einen gemeinsamen Konnektiv widerspiegelt, den wir verwenden, wenn wir uns mit Aussagen oder Behauptungen in natürlicher Sprache befassen.

Wenn wir die Logik erster Ordnung so einfach wie möglich reduzieren, besteht meiner Meinung nach keine Notwendigkeit, sowohl "und" als auch "oder" zu verwenden, wie Sie erwähnt haben. Wir müssen jedoch über ihre semantische Bedeutung in der natürlichen Sprache nachdenken, da die Logik ursprünglich gemacht wurde, um die Bedeutung von Sätzen in historischer Perspektive auszudrücken.

Wenn es Ihnen jedoch nur um die formalen Eigenschaften der Logik geht, stimme ich Ihrer Meinung zu.