Warum haben Modelle von ZF, die keine ωω\omega-Modelle sind, nicht standardisierte Formeln, deren Länge "unendlich große natürliche Zahlen" sind?

Question

Warum haben Modelle von ZF, die keine ωω\omega-Modelle sind, nicht standardisierte Formeln, deren Länge "unendlich große natürliche Zahlen" sind?

Logik
Metamath
Mengenlehre
Mathematik
Modelltheorie
Nicht-Standard-Modelle

Pellenthor

In seinem populären Buch Set Theory: An Introduction to Independence Proofs gibt Kunen unten auf Seite 145 die folgenden Definitionen an:

Lassen $\mathcal{A} = \lbrace A, E \rbrace$ eine Struktur für die Sprache der Mengenlehre sein. Lass auch $\mathcal{A} \models ZF$ . Wir nennen $\mathcal{A}$ ein $\omega$ -Modell, wenn es keine gibt $a \in A$ so dass $\mathcal{A} \models “a \in \omega”$ Aber $a \neq n^{\mathcal{A}}$ für jede $n$ .

Er fährt dann mit der folgenden Behauptung fort:

Wenn $\mathcal{A} \models ZF$ , dann für jede Formel $\phi$ in der Metatheorie gibt es eine Entsprechung $\phi^{\mathcal{A}} \in A$ , Wo $\phi^{\mathcal{A}}$ ist die Deutung von $\ulcorner\phi\urcorner$ In $\mathcal{A}$ (Wo $\ulcorner\phi\urcorner$ ist ein konstantes Symbol – normalerweise ein Element von $\omega^{< \omega}$ – darstellen soll $\phi$ in der Sprache). Wenn $\mathcal{A}$ ist ein $\omega$ -Modell, dann sind dies die einzigen Formeln von $\mathcal{A}$ , aber falls $\mathcal{A}$ ist kein $\omega$ -Modell, dann $\mathcal{A}$ hat nicht standardmäßige Formeln, deren Längen unendlich große natürliche Zahlen sind.

Grundsätzlich versuche ich, die fettgedruckte Aussage zu verstehen. Erstens behauptet Kunen, dass ein Nicht- $\omega$ -Modell möglicherweise nicht standardmäßige Formeln enthält oder dass es zwangsläufig solche Formeln enthalten wird? Wenn ja, wie können wir zu diesem Schluss kommen? Es scheint mir, dass selbst wenn $A$ hat nicht standardmäßige Elemente, wir können immer noch nicht wissen, ob $\phi^{\mathcal{A}}$ eine normale natürliche Zahl von ist oder nicht $A$ , egal welche Formel $\phi$ wir beginnen mit.

Was vermisse ich? Vielleicht ein Kompaktheitsargument?

Bonusfrage: Was ist in diesem Zusammenhang „ eine Länge gleich einer unendlich großen natürlichen Zahl “? Ich meine, es ist eine Idee, über nicht standardmäßige Elemente eines Modells zu sprechen, und eine völlig andere, diese Elemente in der Metatheorie mit "Größe" zu assoziieren. Wie sehen diese nicht standardmäßigen Formeln aus?

Eric Wofsey

Es scheint, als ob Ihr Hauptproblem darin besteht, dass Sie keine Definition dessen haben, was "Formel von

A

$\mathcal{A}$ " bedeutet. Ohne eine solche Definition kann man unmöglich etwas über solche Formeln sagen.

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Warum haben Modelle von ZF, die keine ωω\omega-Modelle sind, nicht standardisierte Formeln, deren Länge "unendlich große natürliche Zahlen" sind?

Es scheint, als ob Ihr Hauptproblem darin besteht, dass Sie keine Definition dessen haben, was "Formel von $\mathcal{A}$ " bedeutet. Ohne eine solche Definition kann man unmöglich etwas über solche Formeln sagen.

Andrés E. Caicedo · Answer 1

Für jedes Naturtalent $n$ , $\phi_n$ ist ein Satz, wo $\phi_0$ Ist $\forall x\,(x=x)$ Und $\phi_{n+1}$ Ist $(\phi_n\land\phi_n)$ . Durch Rekursion gibt es einen Satz in der Theorie, der diese Behauptung kodiert und somit für jedes Modell, für jedes $n$ das aus Sicht des Modells eine natürliche Zahl ist, gibt es ein Objekt des Modells, das das Modell als Satz interpretiert $\phi_n$ . Dies gilt auch dann, wenn $n$ ist nicht genormt.

Natürlich, wenn $n$ ist nicht standardisiert, dieses Objekt $\phi_n$ ist nicht wirklich eine Formel, aber das Modell kann das nicht sehen.

Das ist sehr nützlich, danke. Nur um sicherzugehen, dass ich das vollständig verstehe: Wenn $a$ ist nicht standard, würde das machen $\phi_a$ Sei " $a$ Kopien von $\phi_0$ ?
Pellenthor, $2^{\alpha}$ Kopien, eigentlich. (Das wird WEERD! ) Beachten Sie, dass es jede Iteration verdoppelt. Falls Sie es wollen $\alpha+1$ Kopien, nehmen $\phi_{n+1} = \phi_n \wedge \phi_0$ , die nur eins anhängt $\phi_0$ jedes Inkrement, anstatt die Zeichenfolge bei jedem Inkrement zu verdoppeln. (Falls Sie es wollen $\alpha$ kopieren, umbenennen $\phi_0$ Zu $\phi_1$ :) )
Guter Fang @The_Sympathizer! Ich habe tatsächlich aus irgendeinem Grund den "linearen" Fall in Betracht gezogen. Vielleicht um den Wald vor lauter Bäumen nicht zu übersehen... :) Aber du hast natürlich Recht!

Der_Sympathisant · Answer 2

Der ganze "Punkt", könnte man sagen, von an $\omega$ -Modell besteht darin, dass seine natürlichen Zahlen nur aus den "normalen" natürlichen Zahlen bestehen. Da so ziemlich per Definition jedes Modell von ZFC einen Satz enthalten muss, den es als "aufrufen" würde $\mathbb{N}$ “, können wir nach dem Inhalt dieser Menge fragen und ob es sich nur um die „normalen“ natürlichen Zahlen handelt oder ob sie auch nicht standardmäßige Zahlen enthalten. $\omega$ -Modelle" $\mathbb{N}$ s enthalten nur normale natürliche Zahlen.

Also, wenn wir nicht in einem sind $\omega$ -model, dann bedeutet das, dass das Model " $\mathbb{N}$ " muss einige nicht standardmäßige Zahlen enthalten. Wo dies zu nicht standardmäßigen Formeln führt , ist, dass "Formeln" auch ein Objekt sind, das wir innerhalb der Mengenlehre formulieren können und daher auch über das Übertragungsprinzip "befördert" werden können. Um dies zu sehen, Beachten Sie, dass wir (als nur eine von unzähligen Möglichkeiten) eine Formel als eine bestimmte Art von Funktion von einer natürlichen Zahl bis codieren können $\{ 0, 1 \}$ oder besser, rein mengentheoretisch ausgedrückt, zu $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ , wobei die Interpretation einer solchen Funktion darin besteht, dass sie die Bits der Formel indiziert, wenn ihre grafischen Symbole in einer Art binärbasierter Codierung codiert sind, z Bit (0 oder 1).

Aber beachten Sie jetzt: Da wir nicht standardmäßige Zahlen haben, können wir jetzt einige formelähnliche Objekte haben, bei denen es sich um Funktionen handelt, deren Domäne eine nicht standardmäßige Zahl ist. Solche Dinge sind Formeln von nicht standardmäßiger Länge. Außerdem, wenn es solche Formeln nicht enthalten würde, würde das bedeuten, dass es natürliche Zeichen hätte, die es als solche erkennen würde, und doch nicht in der Lage wäre, sie abzubilden $\{0, 1\}$ auf eine Weise, die laut ZFC passieren kann, und daher wäre ein solches Modell kein Modell von ZFC.

Schließlich, wie „sieht“ eine solche Formel aus, als eine Visualisierung? Nun, stellen Sie sich eine unendlich lange Spur logischer Symbole vor, wie Sie normalerweise denken würden, z

\neg (A \lor [B \land C] \land \neg (\neg A) \lor \dots

$\neg(A \vee [B \wedge C] \wedge \neg(\neg A) \vee \cdots$

für immer abklingend , aber dann kann man auch irgendwo "da draußen im dunstigen Nebel des nebligen Grenzlandes zwischen dem definitiv Endlichen und definitiv Unendlichen" zu anderen Symbolketten träumen ...

\dots \lor A \lor A \lor A \lor [\neg A] \land B \land \dots

$\cdots \vee A \vee A \vee A \vee [\neg A] \wedge B \wedge \cdots$

wo es sich jetzt bidirektional auf beiden Seiten fortsetzt und, genau wie ein nicht standardmäßiges natürliches Aussehen, eine dichte Linienwolkensammlung dieser doppelt offenen endlosen Ketten ist. Das Modell kann jedoch, genauso wie es nicht erkennen kann, dass die nicht standardmäßigen Naturtöne nicht standardmäßig sind, auch nicht erkennen, dass dieses seltsame Ding keine Formel ist. Die Symbole (oder besser die Bits in der Codierung) werden rein durch nichtstandardisierte Zahlen indiziert, z $\neg$ oben wird sich befinden bei, sagen wir, $(\mbox{some infinitely big 'root'}) - 6000^{\mathrm{googolplex}^\mathrm{moser}}$ . Und natürlich muss die Formel durch ein Verfahren generierbar sein, das in gewöhnlicher ZFC ausgeführt werden könnte, und auf die nicht standardmäßige Länge erweitert werden.

Danke, das habe ich gesucht. So ist der "Schlüssel", dass wenn $A$ enthält eine nicht standardmäßige Nummer $a$ , dann wird es auch interpretieren $\omega^{< \omega}$ anders als ein $\omega$ -Modell? Damit meine ich das jetzt $\mathcal{A}$ "denkt", dass die Funktion $a \rightarrow \omega$ ist nur eine weitere endliche Folge von Zeichenfolgen und muss daher einer weiteren "normalen" Formel entsprechen $\phi$ . In Wirklichkeit außerhalb von $\mathcal{A}$ , $a$ ist eine unendliche Ordinalzahl und verhindert somit $\phi$ davon, eine Formel zu sein. Wie Ordnungszahlen, desto größer $a$ bekommt, die "seltsamer" $\phi$ bekommt. Denke ich darüber richtig nach?
@Pellenthor: Absolut - dieselben Überlegungen gelten auch für Ordnungszahlen. Nicht- $\omega$ ZFC-Modelle werden auch „Nicht-Standard-Ordnungszahlen“ enthalten, die streng zwischen allen endlichen Standard-Ordnungszahlen und liegen $\omega$ , und haben die gleiche Auftragsstruktur wie der Nicht-Standard " $\mathbb{N}$ ". Und dies bedeutet auch, dass die Klasse der Ordnungszahlen nicht "von außen" wohlgeordnet ist, sondern "denkt", dass sie "von innen" ist, und daher wird sich auch ihre "Idee" davon, was eine wohlgeordnete Ordnung ist, unterscheiden von dem, was deins sein mag.
Obwohl ich das mit einem Punkt warnen sollte, den ich gerade gesehen habe: $a$ wird außerhalb des Modells keine unendliche Ordinalzahl sein $\mathcal{A}$ . Es wird eine nicht-archimedische, schlecht geordnete Zahl sein. Dies liegt daran, dass der Satz von "Ordnungszahlen" im Modell nicht mehr als extern wohlgeordnet ist $\mathbb{N}$ Ist. Die "Ordnungszahlen" erfüllen immer noch die Anfangssegmenteigenschaft if $\beta$ ist ein $\mathcal{A}$ -ordinal mit $\beta < \alpha$ Dann $\beta \subset \alpha$ , wird aber unter dieser Reihenfolge extern nicht gut geordnet sein.
Die Spannung wird gelöst, weil wir extrospektieren können, dass es einige anfängliche Segmente gibt, die von keinem unterstützt werden $\beta$ , wie die Standard Naturals selbst, aber $\mathcal{A}$ kann diese nicht introspizieren: Es enthält sie zunächst nicht als Sets. Da ist ein ${"\mathbb{N}"} \in \mathcal{A}$ , Aber $\mathbb{N} \notin \mathcal{A}$ .
Das ist sehr interessant @The_Sympathizer, danke! Ich war auch selbst besorgt, weil Sie "Bidirektionalität" erwähnt haben, die Ordnungszahlen nicht erfüllen. Intuitiv klingt es so – und bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege – wir können ein einfaches Kompaktheitsargument anwenden, um zu zeigen, dass es oben eine unendlich abnehmende Folge gibt $\mathbb{N}$ , die Ordnung von außen zu "verletzen". Übrigens, hätten Sie zufällig irgendwelche Studienreferenzen zu nicht-archimedischen fehlgeordneten Zahlen, die das Konzept etwas weiter vertiefen?

Warum haben Modelle von ZF, die keine ωω\omega-Modelle sind, nicht standardisierte Formeln, deren Länge "unendlich große natürliche Zahlen" sind?

Pellenthor

Eric Wofsey

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