Warum haben wir leere Aussagen als wahr und nicht als falsch definiert?

Wir definieren leere Aussagen NICHT als wahr.

Eine vage wahre Aussage ist vage wahr.

Eine „vage falsche“ Aussage ist vage falsch; obwohl sich niemand jemals Gedanken über diese Art von Aussage macht.

Beispiel: Jedes Element der leeren Menge ist ein lila fliegender Elefant.

Wir stimmen zu, dass diese Erklärung (i) nichtssagend ist; es sagt nicht wirklich etwas Sinnvolles aus; und (ii) wahr nach den Gesetzen der Prädikatenlogik. Um es falsch zu finden, müssen wir ein Element der leeren Menge finden, das kein lila fliegender Elefant ist. Da wir das nicht können, muss die Aussage wahr sein. Äquivalent: "WENN x in der leeren Menge ist, DANN ist x ein lila fliegender Elefant." Dies gilt aufgrund der Definition der materiellen Implikation. [Beachten Sie, dass jede andere mögliche Wahrheitswertzuweisung für die Implikation schlechter ist. Leute, die sich über materielle Implikationen beschweren, berücksichtigen das selten].

Da wir uns nun ein schönes Beispiel für eine inhaltsleere Wahrheit ausgedacht haben, wollen wir sehen, ob uns ein Beispiel für eine inhaltsleere Falschheit einfällt. Wie wäre es mit:

Es ist NICHT so, dass jedes Element der leeren Menge ein lila fliegender Elefant ist .

Da die ursprüngliche Aussage wahr ist, ist ihre Negation falsch. Es bedeutet immer noch nichts, es ist nichtssagend. Aber es ist FALSCH. Um das Gegenteil zu beweisen, müssten Sie ein Element des leeren Sets demonstrieren, das etwas ANDERES als ein lila fliegender Elefant ist. Aber das kannst du nicht!

Das ist also eine leere Lüge .

Schlussfolgerung: Eine Aussage kann leer sein, was bedeutet, dass sie eine Laune der Logik verwendet, um etwas zu behaupten, das keinen wirklichen Sinn ergibt, aber dennoch einen vollkommen deterministischen Wahrheitswert hat. [Ich bin sicher, jemand kann diese Definition verbessern. Ich bin mir nicht sicher, ob es überhaupt eine formelle Definition von „leer“ gibt.]

Aber eine leere Aussage kann wahr oder falsch sein.

Der Grund dafür, dass „leere Aussagen“ fast immer Wahrheiten sind, liegt einfach darin, dass wir über sie als Randfälle sprechen; während sie sich nie die Mühe machten, ihren nahen Verwandten, die nichtssagende Falschheit, zu erwähnen.

Das ist also ein Gebrauchsparadoxon. Oder vielleicht können wir es eine Konvention nennen, die die Leute dazu bringt zu denken, dass es eine Regel ist, obwohl es das in Wirklichkeit nicht ist.

Wenn wir „leer“ sagen, beziehen wir uns fast immer auf eine leere Wahrheit. Aber es ist nicht logisch notwendig. Es ist nur eine sprachliche Konvention. In jedem formellen Rahmen, wenn sich jemand auf eine leere Aussage bezieht, wäre es gerechtfertigt, sie zu fragen, ob sie meint, dass sie leer wahr oder falsch ist.

Angenommen, Sie versuchen, das folgende algebraische Problem in den reellen Zahlen zu lösen:

Finde die Lösungen von x ² = 6x - 11

Ihr erster Schritt zur Herangehensweise an das Problem könnte darin bestehen, alles auf eine Seite zu bringen, um eine quadratische Gleichung aufzustellen:

x ² - 6x + 11 = 0

Was ist hier die eigentliche logische Begründung? Die Gesetze der Arithmetik besagen, dass Folgendes gilt:

Wenn x ² = 11 - 6x, dann x ² + 6x - 11 = 0.

Stimmen Sie zu, dass dies ein gültiger Schritt in einer Argumentation ist?

Überraschung! Das ist eigentlich eine leere Aussage.

Ich habe das Obige so gestaltet, dass der Geschmack "wenn x in der leeren Menge ist" beibehalten wird. Ein noch einfacheres Beispiel für eine leere Bedingung wäre

Wenn x = 1, dann x + 1 = 2.

Dies sollte eindeutig eine wahre Aussage sein. Aber es ist in jedem Problem leer, wo zum Beispiel x=2 ist.

Leere Wahrheit ist nicht nur eine Kuriosität; Es ist ein kritischer Teil des Denkens mit klassischer Logik, der natürlich und häufig auftaucht.

Bei der Idee der Implikation geht es darum, was eine gültige Argumentation ausmacht – es ist die Behauptung, dass ein gültiges Argument von der Hypothese zur Schlussfolgerung führen kann. Es hat absolut nichts mit der Frage zu tun, ob die Hypothese selbst aufgestellt werden kann.

Wenn Sie die Aussage machen wollen, dass eine Hypothese P wahr ist und dass eine Schlussfolgerung Q wahr ist, würden Sie "P und Q" sagen, nicht "wenn P, dann Q".

Ich finde es hilfreich, dieses Problem mit dem traditionellen „Quadrat der Opposition“ zu betrachten. Demnach haben wir unter anderem (siehe https://plato.stanford.edu/entries/square/ für eine vollständige Erklärung und ein Diagramm des gesamten Quadrats) die folgenden Thesen:

(1) „Alle Fs sind G“ bedeutet „Einige Fs sind G“

(2) „Kein F ist G“ ist äquivalent zu „Alle Fs sind nicht G“.

Wenn es einige Fs gibt, ist alles gut mit dem traditionellen Quadrat.

Aber wenn es keine Fs gibt, können wir nicht sowohl (1) als auch (2) beibehalten. Warum nicht? Angenommen, es gibt keine Fs. Dann ist „Kein F ist G“ wahr, also ist gemäß (2) „alle Fs sind nicht G“ wahr. Aber dann ist nach (1) "irgendein F ist nicht G" wahr. Aber daraus folgt, dass es doch Fs gibt.

Die moderne Lösung für dieses Problem besteht darin, (1) abzulehnen und (2) beizubehalten. Daraus folgt, dass, wenn es keine Fs gibt, wir für jedes G haben, dass „kein F ist nicht G“ wahr ist, und aus (2) folgt, dass für jedes beliebige G „jedes F ist G“ wahr ist, was die Schlussfolgerung ist, dass finden Sie zu Recht kontraintuitiv.

Wir hätten uns für eine Lösung entscheiden können, die (2) statt (1) verwirft. Aber es gibt keine Lösung, die alle Aspekte des traditionellen Oppositionsquadrats beibehält. Da das traditionelle Quadrat intuitiv ist, gibt es keine Lösung, die nicht irgendwo kontraintuitive Konsequenzen hat.

Wir betrachten ⱯxϵS P(x) ↔ ¬ƎxϵS ¬P(x) als gültig für alle Mengen, einschließlich der leeren Menge; oder äquivalent ¬ⱯxϵS P(x) ↔ ƎxϵS ¬P(x) . Daher wird eine universelle Aussage nur dadurch verfälscht, dass die Existenz eines Gegenbeispiels nachgewiesen wird.

Sie können dies niemals für eine universelle Aussage tun, die auf eine leere Menge beschränkt ist, da innerhalb der leeren Menge nichts existiert. Daher wird ¬ƎxϵՓ ¬P(x) als vakuum falsch betrachtet.

Also gilt ⱯxϵՓ P(x) für jedes P, weil es in der leeren Menge kein Gegenbeispiel geben kann.

„Jedes Element der leeren Menge ist äquivalent zu einem Zebra“ macht keine Aussagen über nicht existierende Elemente, es macht Aussagen über gar keine Elemente. Das ist ein Unterschied. Wenn Sie „Aussage über ein nicht vorhandenes Element“ sagen, geben Sie vor, dass es ein Element mit der Eigenschaft „nicht vorhanden“ gibt. Aber es gibt keine nicht existierenden Elemente.

Logik muss sich vernünftig verhalten. Denken Sie an eine beliebige Menge, zum Beispiel die Menge S mit den Elementen 1, die leere Menge, ein Gnu und ein Zebra. Die Aussage „Jedes Element von S ist ein Zebra“ ist eindeutig falsch – 3 von vier Elementen sind keine Zebras.

Was passiert, wenn wir Elemente entfernen? Das Entfernen von Elementen kann die Aussage wahr machen. Wenn wir die 1, die leere Menge und das GNU entfernen, dann kann sich die Aussage von „Nein“ zu „Ja“ ändern, sie kann sich sonst nicht ändern. Wenn wir also nur das Zebra übrig haben, dann kann das Entfernen dieses Zebras die Aussage „Jedes Element von S ist ein Zebra“ von falsch zu wahr ändern, aber nicht von wahr zu falsch. Daher muss eine Aussage über alle Elemente der leeren Menge wahr sein.

Bei der Erörterung universeller oder existenzieller Quantoren in der Logik erster Ordnung bezieht sich die durch diese Quantoren gebundene Variable auf Mitglieder eines Bereichs. Die Autoren von forallx sagen etwas Wichtiges über die Anzahl der Elemente in einer Domäne: (Seite 160)

Eine Domäne muss mindestens ein Mitglied haben.

Die Domäne ist nicht leer.

Das wirft Existenzängste auf. Warum sollten wir annehmen, dass etwas existiert? Wenn wir sagen, dass für alle x in einem Bereich die Vorhersage P gilt, das heißt, alle x haben diese Eigenschaft, impliziert dies, dass es mindestens ein Etwas im Bereich gibt, für das P(x) wahr ist.

Für diejenigen, die Existenzansprüche einschränken wollen, gibt es freie Logik . Für diejenigen, denen diese Behauptungen nichts ausmachen und die diese Definition zufriedenstellend finden, löst dies einen Teil des Problems des OP, zumindest wie es in diesem Beispiel beschrieben wird:

IF ( x in Empty_Set ) THEN ( Zebra(x) ) ist wahr

Per Definition darf die Domäne nicht leer sein, daher ist die Behauptung „x in Empty_Set“ nicht zulässig. Die Variable x muss Mitglied eines nicht leeren Bereichs sein, sagen wir alle Tiere, die sich derzeit in meinem Haus befinden (wo es keine Zebras gibt).

Dies bringt die nächste Sorge hervor, bei der die Idee leerer Aussagen einen gewissen Gebrauchswert hat. Obwohl Domänen nicht leer sein müssen, könnten Prädikate leer sein, wie es in diesem Beispiel der Fall wäre, da keines der Tiere in meinem Haus Zebras sind.

Um mit diesem Beispiel fortzufahren, sei Cat das Prädikat, das das Tier in meinem Haus beschreibt, das eine Katze ist. Dann wäre folgendes vage wahr :

Für alle x in der Domäne der Tiere in meinem Haus, wenn Zebra(x) dann Katze(x) .

Da Zebra(x) für alle x in der Domäne falsch ist , ist es angesichts dieser Domäne ein leeres Prädikat . Daher ist die Bedingung vage wahr.

Ein möglicher Weg, um einige dieser vage wahren Bedingungen zu umgehen, wäre, sich die Relevanzlogik anzusehen, "die erfordert, dass Vordersatz und Folge von Implikationen relevant zusammenhängen", wenn diese Verwendung einer Aussage, die vage wahr ist, Probleme aufwirft.

Betrachten wir einige letzte Bedenken, die das OP aufwirft:

Warum übersetzen wir die informelle Aussage „für alle x in A so dass Qx “ in die formale Aussage „∀x(x∈A → Qx)“? Wie übersetzen wir „es gibt ein x in A , so dass Qx “? Ist es nur "∃x(x∈A → Qx)"?

Da der Definitionsbereich A nicht leer sein kann, wird die erste Aussage vielleicht besser als „∀x∈A(Qx)“ und die zweite als „∃x∈A(Qx)“ symbolisiert, wenn man den Definitionsbereich explizit notieren möchte.

Bezug

"Freie Logik", Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Free_logic

PD Magnus, Tim Button mit Ergänzungen von J. Robert Loftis, remixt und überarbeitet von Aaron Thomas-Bolduc, Richard Zach, forallx Calgary Remix: An Introduction to Formal Logic, Winter 2018. http://forallx.openlogicproject.org/

„Relevanzlogik“, Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Relevance_logic

Denn so haben wir ein Viertel so viele Deduktionsregeln wie Aristoteles hatte. Sie haben zwei Möglichkeiten. Beides macht gleich wenig Sinn, das eine macht den Formalismus viermal effizienter. Triff eine Entscheidung.

Auch „wir“ haben diese Entscheidung nicht getroffen, wir alle sind einer Person gefolgt, die sie getroffen hat: George Boole. Deshalb nennen wir das Boolesche Logik.

Aristoteles handhabte vier Arten der Quantifizierung, weil er diese Art der künstlichen Zumutung nicht machen wollte. Aber Boole bemerkte, dass Disjunktion so etwas wie Addition war und Konjunktion so etwas wie Multiplikation. Wir können die Disjunktion nicht genau wie die Addition machen, aber wir können mit dieser albernen Konvention die Konjunktion genau wie die Multiplikation machen. Die guten Eigenschaften der Multiplikation zahlen sich aus, indem sie prägnantere Aussagen über die Konjunktion als über die Disjunktion erlauben.

Sobald Sie sich entschieden haben, die Disjunktion auf diese Weise zu sehen, folgt die universelle Quantifizierung diesem Beispiel, und die beiden passen auf die gleiche Weise zusammen, wie es einfache und unendliche Produkte tun. Auch hier verschwinden mehr Sonderfälle. Die Logik von Boole sieht also besser aus, sie ist einfacher zu verfolgen, und wir haben sie beibehalten.

Allgemein lässt sich das Prinzip der leeren Wahrheit wie folgt formulieren:

A => [~ A => B ] für alle logischen Sätze A und B

Hier ist die Wahrheitstabelle:

Es folgt ein formaler Beweis unter Verwendung einer Form der natürlichen Deduktion. Es verwendet die Prinzipien des bedingten Beweises (Zeile 7-8), des Beweises durch Widerspruch (Zeile 5) und der Eliminierung der doppelten Negation (Zeile 6):

In Ihrem Beispiel haben Sie A = ' x not in Empty Set' und B = ' Zebra ( x ).' Die daraus resultierende Implikation ist immer wahr (eine Tautologie), aber Sie können daraus nicht schließen, dass Zebra ( x ) wahr ist, da sein unmittelbarer Vorläufer (~ A ) falsch sein wird, vorausgesetzt, dass A wahr ist.