Warum interpolieren wir immer noch in Leistungstabellen?

Ich war in einem anderen Leben im technischen Verlagsgeschäft (Flug- und Wartungshandbücher). Tabellen werden als Alternative zu grafischen Darstellungen in Flughandbüchern verwendet und erleichtern den Zugriff auf Informationen ein wenig, indem Sie beispielsweise einfach mit dem Buch auf dem Schoß sitzen. Bei der grafischen Darstellung müssen Sie das Blatt entfalten und flach auslegen, damit Sie über die Seite arbeiten können, wobei Sie möglicherweise Dinge wie gerade Kanten benötigen, um Datenpunkte relativ zu den Randskalen in einem Diagramm zu lokalisieren. Mathematische Formeln werden normalerweise nicht präsentiert, weil dies dann erfordern würde, dass Piloten Mathematik machen, und die meisten Piloten werden katatonisch, wenn sie gezwungen werden, Mathematik zu machen.

Das Aufteilen der Informationen in Tabellen verkürzt den Prozess des Sichtens der benötigten Daten im Vergleich zu einem grafischen Diagramm, aber um Platz für die Veröffentlichung zu sparen, sind die Inkremente der Datenpräsentation auf ziemlich große Inkremente beschränkt. Eine Tabelle könnte präsentiert werden, die jede Informationseinheit enthält, aber dazu könnte es erforderlich sein, dass sich die Tabelle über 20 statt 2 Seiten erstreckt. Die Begrenzung der Tabelle auf, sagen wir, 10-Einheiten-Schritte, reduziert den Platz, den sie benötigt, aber erheblich Sie müssen die genaue Einheit innerhalb dieses 10-Einheiten-Blocks interpolieren oder eine fundierte Vermutung anstellen. Wenn Tabellen so verwendet werden, liegt das daran, dass die interpolierte "Schätzung" für den Job genau genug ist.

Das extremste Beispiel hierfür findet sich in Kurzanleitungen, die von Flugbesatzungen für Verfahren und Leistungsdaten verwendet werden. Die ursprünglichen Informationen für einige Leistungsparameter befinden sich immer im Flughandbuch des Flugzeugs in Form einer grafischen Grafik mit mehreren Elementen (im Grunde das Stammzertifizierungsdokument), aber normalerweise haben Sie diese im Cockpit nicht zur Hand, und wenn, dann haben Sie sie man konnte es ohnehin nicht wirklich gebrauchen; Sie haben den QRH.

Sie verwenden den QRH normalerweise im Cockpit mit einem kleinen Kartenlicht, um zu sehen, und ein grafisches Plotformat wird einfach nicht funktionieren. Der QRH verdichtet die Daten zu Tabellen, wodurch Sie die benötigten Daten viel schneller ausarbeiten können, und wenn Sie die Tabellen verwenden, ist das Interpolieren von Werten zwischen aufgelisteten Inkrementen genau genug, um die Arbeit zu erledigen.

Es ist also völlig in Ordnung, eine Tabelle zu sehen, die ein Ergebnis von 10, 20, 30 und 40 ergibt, und Sie vermuten, dass der benötigte Wert zwischen 10 und 20 liegt und 17 "ungefähr richtig aussieht". Die Idee ist, dass, wenn der wahre Wert 16 oder 18 ist, es in diesem Fall in der realen Welt kaum einen materiellen Unterschied macht.

Es erinnert mich daran, als in den 80er Jahren die Verwendung elektronischer Flugrechner als Ersatz für kreisförmige Rechenschieber populär wurde. Jeder, den ich kannte, kaufte sich diese neuen modernen Flugrechner, aber ich machte mir nie die Mühe, weil ich billig war und weil das superpräzise Ergebnis, das er lieferte, etwas war, was man im normalen Fliegen ohnehin nicht erreichen konnte. Der kreisförmige Rechenschieber von Jeppesen ist möglicherweise nur auf einen Knoten oder Grad genau, während der elektronische Taschenrechner auf Dezimalstellen heruntergeht, aber niemand kann tatsächlich mit dieser Präzision fliegen, und der Rechenschieber ist gut genug, wenn Sie nicht versuchen, zum zu navigieren Mond. Und wenn Sie mit dem kreisförmigen Rechenschieber von Jepps gut zurechtkommen, können Sie ihn halten und mit einer Hand Lösungen machen, wodurch Sie ein brauchbares Ergebnis in viel weniger Zeit erhalten, als der Taschenrechner mit all dem Tastenlochen benötigt hat.

Die Verwendung einer Tabelle anstelle einer genauen Formel oder einer grafischen Darstellung ist so ähnlich.

Für die meisten Informationen in diesen Diagrammen gibt es keine einzige Formel , die alle Aspekte abdecken würde. Der grafische Weg ist der einfachste und hat noch weitere Vorteile:

1. Bei einer Formel ist es leicht, eine falsche Zahl zu verwenden, ohne es zu merken. In der Grafik sehen Sie, wohin benachbarte Werte führen, sodass Sie leicht überprüfen können, ob Ihr Ergebnis einigermaßen korrekt ist.
2. Einige Beziehungen sind nicht linear, sodass Sie mehrere Formeln benötigen würden, jede für ihren eigenen Bereich gültiger Eingabedaten. Das Diagramm passt einfach die Steigungen der Kurven an – in den meisten Fällen werden Sie es nicht einmal bemerken.
3. Die Luftfahrt ist äußerst konservativ. Wenn eine Methode schon einmal funktioniert hat, bedeutet eine Änderung ein zusätzliches Risiko für wenig Belohnung. Das Auslesen von Performance-Werten aus Diagrammen funktioniert so gut, dass sich die schrittweise Verbesserung einer Formel (falls es sie überhaupt gibt!) nicht lohnt.

Die Gleichungen, falls vorhanden, sind oft ziemlich nichtlinear und es macht keinen Spaß, sie im Handumdrehen zu berechnen.

Ich habe keine Gleichung für die Drehzahl bei einer bestimmten Druckhöhe für eine Cessna 162, aber wenn ich eine andere Gleichung als konkretes Beispiel verwenden darf: Druckkorrektur für bestimmte Höhe:

$$P(h)=P_0 e^{-\frac{Mg}{RT}h}$$ Diese Gleichung ist die barometrische Formel . Es ignoriert alle möglichen realen Effekte, aber es ist eine ziemlich gute kleine Gleichung.$M$,$g$,$R$, Und$T$sind Konstanten, also können wir es auf ein überschaubareres reduzieren$P(h)=P_0 e^{-kh}$.

Ich weiß nicht, wie es euch geht, aber es ist schwierig für mich, Exponentiale zu machen. Ich kann sie nicht intuitiv in meinem Kopf ausführen, und es ist schwer zu bestätigen, dass ich sie richtig in den Taschenrechner eingegeben habe. Aber ich kann eine lineare Interpolation durchführen oder meinen Taschenrechner überprüfen, ob er die lineare Interpolation durchführt.

Und ehrlich gesagt ist das eine der einfacheren Gleichungen, die auftauchen. Die von Ihnen erwähnten Gleichungen sprechen für das Produkt sehr komplizierter Modelle (oder nur empirischer Daten, die abgetastet wurden).

/Achtung – Kalkül voraus!/

Wenn Sie interessiert sind, können Sie den maximalen Fehler berechnen, der durch diese lineare Interpolation verursacht wird. Die Mathematik hat dafür Gleichungen. Praktisch gesehen haben alle Gleichungen, die Sie interessieren, überall eine zweite Ableitung, sodass Sie den Satz von Rolle verwenden können, um den Fehler bei dieser linearen Interpolation zu finden :

$$|R_T| \le\frac{(x_1-x_0)^2}{8} max_{x_0\le x\le x_1}[F^{\prime\prime}(x)]$$ wohin Sie aus der Höhe schauen$x_0$Zu$x_1$Und$F^{\prime\prime}$ist die 2. Ableitung der zu interpolierenden Funktion oder eine obere Grenze davon. Sie haben nicht$F$(Das ist die Gleichung, nach der Sie in der Frage fragen), aber Sie können sie mit endlicher Differenzierung schätzen , z$F^{\prime\prime}(x_1)\approx \frac{F(x_0) + 2F(x_1) + F(x_2)}{x_1 - x_0}$und setzen Sie dann eine gesunde Marge darauf.

Das ist eine Menge Arbeit. Ich erwarte nicht wirklich, dass du es tust. Aber es bietet einen nützlichen Vergleich. Wenn man nicht bereit ist, eine Reihe von Fehlerschätzungen zu erarbeiten, während man auf dem Boden sitzt, wie bereit ist man dann, die tatsächlichen Gleichungen in der Luft zu berechnen?

Und wenn Sie die Fehlerschätzungen ausarbeiten, können Sie sie jetzt gegen Unsicherheiten koppeln, z. B. wie gut Sie die Druckhöhe angesichts der Instrumente, die Sie an Bord haben, tatsächlich berechnen können?

Wie bereits erwähnt, sind viele Daten keine Ergebnisse einer (einzelnen) Formel. Neben (nichtlinearen) Differentialgleichungen sind selbst viele algebraische Zusammenhänge nicht analytisch lösbar. Diese müssen numerisch gelöst werden (wie x + ln(x) = 0 ..)

Viele von ihnen sind selbst empirische Gleichungen, was bedeutet, dass die Gleichungen nicht auf physikalischen Modellen basieren, sondern lediglich eine Annäherung, die versucht, gemessene Werte anzupassen, was sich nicht sehr von der Interpolation unterscheidet. z.B. Darcy-Reibungsfaktoren ( https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae )

Einige sind sogar beides - rein empirisch und nicht analytisch lösbar: (zum Vergnügen ... scrollen Sie ganz nach unten zu "Tabelle der Colebrook-Gleichungsannäherungen")

Dann gibt es Mischformen, wie Korrelationen, die durch Dimensionsanalyse ("Pi-Theorem") abgeleitet werden, und die Koeffizienten, die aus empirischen Messungen stammen.

Einige Beispiele:

Einige Daten sind wahrscheinlich die Ergebnisse von Designprozessberechnungen und vielen Validierungsmessungen:

• Für den Kraftstoffverbrauch bei verschiedenen Höhen und Temperaturen gehe ich stark davon aus, dass Ihre Cessna 162 für bestimmte Leistungswerte ausgelegt wurde, und dann hat jemand bei Cessna gerade bei diesen Bedingungen geflogen und tatsächlich gemessen, und das sind die Datenpunkte, die Sie in der Tabelle haben ( plus etwas Datenglättung und Hinzufügen eines kleinen Spielraums)

Andere Daten sind rein empirisch:

• Welche Oktanzahl braucht man um Klopfen zu vermeiden? Wie hängt die Zündung des Kraftstoff-Luft-Gemisches von der Oktanzahl ab?
• wie hoch ist der druck im reifen? (als Referenz - wie haben Sie den Druck im Reifen Ihres Fahrrads bestimmt? Auto?)

Endeffekt

Das Interpolieren in einer Datentabelle ist ausreichend genau (wahrscheinlich nicht schlechter als die anderen Methoden), aber einfacher und weniger fehleranfällig - daher wird es im Cockpit durchgeführt

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Zusätzlicher Hinweis: Die anderen Methoden eignen sich für Vorhersagen während der Entwurfsphase, während die Datentabellen statisch sind und auf bekannte Werte innerhalb der Betriebsgrenzen beschränkt sind, sobald der Entwurf festgelegt ist. Ich würde diese Datentabellen nicht verwenden, wenn Sie beabsichtigen, die Spannweite zu ändern?