Warum kam meine vis-viva-Mathematiklösung so nahe, obwohl sie falsch war? Unter welchen Bedingungen wäre es eine gute Annäherung gewesen?

Ich habe versucht, die Gleichung für Geschwindigkeit und Entfernung von der Sonne eines mit Sonnensegeln angetriebenen Raumfahrzeugs zu beantworten , aber mir fehlt etwas.

Ich habe eine mathematische Lösung erstellt und ungefähr 0,4 Jahre gebraucht, um die Nullgeschwindigkeit basierend auf der Vis-Viva-Gleichung zu erreichen. Ich habe offensichtlich einige Fehler in Annahmen gemacht, weil es bedeutet, dass es sich in einer kreisförmigen Umlaufbahn mit Nullgeschwindigkeit befindet, was unendliche Entfernung bedeutet, und unendliche Entfernung zu endlicher Zeit ist schlecht.

Wenn ich numerisch löse, bekomme ich eine ähnliche Zahl von etwa 0,5 Jahren, um eine positive Energie, heliozentrisches C3, Fluchtgeschwindigkeit usw. zu erreichen, und diese Simulation, glaube ich.

Frage: Warum kam meine vis-viva-Mathematiklösung so nahe, obwohl sie falsch war? Unter welchen Bedingungen wäre es eine gute Annäherung gewesen?

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Diese Antwort sagt:

Mathematik

Gegeben ist eine Anfangsbeschleunigung bei 1 AU$8.17 \times 10^{-4} m/s^2$.

Neigen Sie es um 45 Grad, um den Schub tangential zu machen, dividieren Sie durch$\sqrt{2}$da es jetzt schräg zur Sonne steht und den Abfall mit der Entfernung von der Sonne berücksichtigt:

$$a_0 = 5.78 \times 10^{-4} m/s^2$$

$$a(r) = a_0 \frac{AU^2}{r^2}$$

in der prograden Richtung (gleiche Richtung wie die aktuelle Geschwindigkeit).

Vis-Viva-Gleichung :

$$v^2 = \frac{GM}{r}$$

Jetzt

$$\frac{dv}{dt} = -\frac{a_0 AU^2}{GM^2} v^4$$

Wo$GM$ist der Standard-Gravitationsparameter der Sonne $1.327 \times 10^{20} m^3/s^2$. Das Minuszeichen kommt ins Spiel, weil wir wissen, dass wir entgegen unserem ersten Instinkt, wenn wir eine Beschleunigungskraft in Vorwärtsrichtung haben, wir entgegen der Intuition um den gleichen Betrag verlangsamen . Dies wird auch in mehreren anderen Beiträgen hier zitiert, ich werde nach anderen Antworten suchen, die ich zitieren kann ...

Umschreiben und lösen:

$$\frac{dt}{dv} = -\frac{GM^2}{a_0 AU^2} v^{-4}$$

$$t(v) = t_0 - \frac{GM^2}{4 a_0 AU^2} v^{-3}$$

Wenn wir setzen$t(v_0) = 0$mit anderen Worten, zum Zeitpunkt Null bewegen wir uns mit Umlaufgeschwindigkeit$v_0 = \sqrt{GM/AU}$ wir erhalten 0,408 Jahre.

Numerisch

Interessanterweise erhalte ich, wenn ich versuche, dasselbe numerisch zu simulieren, eine Fluchtzeit von 0,515 Jahren! Das überrascht mich aus zwei Gründen:

1. Die Geschwindigkeit erreicht niemals Null, was bedeutet, dass die obige Mathematik falsch ist!
2. Und doch ist es ziemlich nah!

Abschluss

Es wird ungefähr ein halbes Jahr dauern, um zu entkommen, aber ich habe noch nicht die vollständige Gleichung.

Weiterlesen:

• Ist es möglich, die Sonne zu erreichen, ohne Brennstoff/Reaktionsmasse zu verbrauchen?
• Was ist der optimale Winkel für ein Sonnensegel, das sich der Sonne zuwendet, wenn der Radialschub einbezogen wird? (derzeit unbeantwortet)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

AU = 150E+06 * 1000   # meters
GM = 1.327E+20   # m^3/s^2
a0 = 8.17E-04 / np.sqrt(2)  # dv/dt at 1 AU
year = 365.2564 * 24 * 3600 

coef = ( GM**2 / (4 * a0 * AU**2) )

v0 = np.sqrt(GM/AU)
print('v0: ', v0)
print('coef: ', coef)

t0 = coef / v0**3
print('t0 / year: ', t0 / year)

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    vhat = v / np.sqrt((v**2).sum())
    rsq = (x**2).sum()
    acc_thrust = vhat * a0 * rsq / AU**2
    acc = acc_thrust - GM * x * rsq**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

X0 = np.array([AU, 0, 0, v0])

time = np.linspace(0, 0.6, 10001) * year  # half year

answer, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

print(answer.shape)

x, y, vx, vy = answer.T
r, speed = [np.sqrt((thing**2).sum(axis=0))
            for thing in answer.T.reshape(2, 2, -1)]

E = 0.5 * speed**2 - GM/r
E_norm = np.abs(E[0])

i_esc = np.argmax(E>=0)
things = time, r, x, y, speed, E
t_esc, r_esc, x_esc, y_esc, s_esc, E_esc = [thing[i_esc]
                                            for thing in things]

print('t_esc / year: ', t_esc / year)

if True:
    plt.figure()
    plt.subplot(2, 2, 1)
    plt.plot(time/year, r/AU)
    plt.plot([t_esc/year], [r_esc/AU], 'ok')
    plt.ylabel('r/AU')
    plt.xlabel('time (years)')
    
    plt.subplot(2, 2, 2)
    plt.plot(time/year, speed/1000)
    plt.plot([t_esc/year], [s_esc/1000], 'ok')
    plt.ylabel('speed (km/s)')
    plt.xlabel('time (years)')

    plt.subplot(2, 2, 3)
    plt.plot(time/year, E/E_norm)
    plt.plot([t_esc/year], [E_esc/E_norm], 'ok')
    plt.plot(time/year, np.zeros_like(time), '-k')
    plt.ylabel('Energy (norm)')
    plt.xlabel('time (years)')

    plt.subplot(2, 2, 4)
    plt.plot(x/AU, y/AU)
    plt.plot([x_esc/AU], [y_esc/AU], 'ok')
    plt.plot([0], [0], 'oy')
    th = np.linspace(0, 2*np.pi, 201)
    plt.plot(np.cos(th), np.sin(th), '-r', linewidth=0.5)
    plt.ylim(-1, 1.5)
    plt.gca().set_aspect('equal')
    plt.xlabel('AU')
    plt.ylabel('AU')
    plt.show()