Warum pendelt [xpy,x][xpy,x][xp_{y},x]?

Question

Warum pendelt [xpy,x][xpy,x][xp_{y},x]?

neugierigGeorge119

Ich schaue mir eine Lösung in meinem Buch an, die besagt $[xp_{y},x]$ pendelt.
Bedeutet die Klammernotation:

$[A,B]=AB-BA$

so dass

$[xp_{y},x]=xp_{y}x-xxp_{y}$

Nehmen Sie den Kommentar von Max Graves und lösen Sie eine etwas andere Kommutierungsbeziehung:

\begin{aligned} - [j P_{X}, X] F & = j ich ℏ \frac{\partial}{\partial X} (X F) - X j ich ℏ \\ = ich ℏ j ((X \frac{\partial F}{\partial X} - \frac{\partial X}{\partial X} F) - X \frac{\partial F}{\partial X}) \\ = j ich ℏ (X \frac{\partial F}{\partial X} + F - X \frac{\partial F}{\partial X}) \\ = j ich ℏ F \Rightarrow - [j P_{X}, X] = j ich ℏ \end{aligned}

$\begin{align} -[yp_{x},x]f &= yi\hbar\frac{\partial}{\partial x}(xf)-xyi\hbar \\ &=i\hbar y \bigg( (x\frac{\partial f}{\partial x} -\frac{\partial x}{\partial x}f)-x\frac{\partial f}{\partial x} \bigg) \notag\\ &=yi\hbar \bigg( x\frac{\partial f}{\partial x}+ f-x\frac{\partial f}{\partial x} \bigg) \notag\\ &=yi\hbar f\ \Rightarrow -[yp_{x},x] = yi\hbar \end{align}$ Sieht das richtig aus? Entfällt der erste und der letzte Begriff, obwohl die Reihenfolge nicht genau gleich ist?

CodeAndStuff

Sie müssen häufig eine Testfunktion verwenden, um diese Kommutierungsbeziehungen zu überprüfen.

CodeAndStuff

Ja, das sieht ok aus. Siehe meine Bearbeitung, ich habe es etwas aufgeräumt. Aber ja, sobald Sie eine Reihe dieser Beziehungen abgeleitet haben, wird es einfacher, keine Testfunktion zu verwenden, aber der einfachste Weg, keinen Fehler zu machen, besteht darin, eine einfache Testfunktion einzufügen.

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Warum pendelt [xpy,x][xpy,x][xp_{y},x]?

Sie müssen häufig eine Testfunktion verwenden, um diese Kommutierungsbeziehungen zu überprüfen.
Ja, das sieht ok aus. Siehe meine Bearbeitung, ich habe es etwas aufgeräumt. Aber ja, sobald Sie eine Reihe dieser Beziehungen abgeleitet haben, wird es einfacher, keine Testfunktion zu verwenden, aber der einfachste Weg, keinen Fehler zu machen, besteht darin, eine einfache Testfunktion einzufügen.

Federico Carta · Answer 1

Sie können sich hier einfach nicht die Mühe machen, eine Testfunktion zu verwenden. Dieses Problem ist so einfach, dass Sie alles nur mit den Eigenschaften des Kommutators lösen können.

[X P_{j}, X] = X [P_{j}, X] + [X, X] P_{j}

$[xp_y,x]=x[p_y,x]+[x,x]p_y$

Jetzt $[p_y,x]$ verschwindet wegen der fundamentalen Vertauschungsbeziehung zwischen $p_i$ Und $x_i$ welches ist

[P_{ich}, X_{J}] = - ich ℏ δ_{ich J}

$[p_i, x_j]= -i\hbar \delta_{ij}$

Andererseits $[x,x]=0$ weil alles mit sich selbst kommutiert.

Danke Frederico! So $[p_{y},x]$ verschwindet, weil $i=y$ Und $j=x$ und das Kronecker-Delta ist $0$ Wenn $i\neq j$ ?
Exakt. In diesen Konventionen $i,j=1,2,3$ Und $p_1=p_x$ , $p_y=p_y$ , usw.
@curiousGeorge119 Aus Gründen des Interesses ist die Eigenschaft, die Frederico verwendet, dass die Lie-Klammer eine Ableitung ist (etwas, das die Regel von Liebnitz erfüllt). Ableitungen bilden immer eine Lie-Algebra und im endlichdimensionalen Fall die Lie-Algebra der Ableitungen $Der(\mathfrak{g})\subset \mathfrak{g}$ der Lie-Algebra $\mathfrak{g} = {\rm Lie}(\mathfrak{G})$ einer Lie-Gruppe $\mathfrak{G}$ ist die Lie-Untergruppe der Automorphismen ${\rm Aut}(\mathfrak{G})\subset\mathfrak{G}$ , dh ${\rm Der}(\mathfrak{g}) = {\rm Lie}({\rm Aut}(\mathfrak{G})$ ; etwas stumpfer: ...
@neugierigGeorge119 ... ${\rm Der}({\rm Lie}(\mathfrak{G})) = {\rm Lie}({\rm Aut}(\mathfrak{G}))$ , da ich weiß, dass Sie an diesem Zeug interessiert sind. Siehe en.wikipedia.org/wiki/Derivation_(abstract_algebra)

Warum pendelt [xpy,x][xpy,x][xp_{y},x]?

neugierigGeorge119

CodeAndStuff

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Federico Carta

neugierigGeorge119

Federico Carta

Selene Rouley

Selene Rouley

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