Warum skalieren und normalisieren wir Felder neu?

Das Renormalisierungsverfahren ist allgemein in drei Schritte unterteilt (siehe z. B. Kardar Statistical Fields, Kapitel 4).

1) Coarse Grain (typischerweise läuft dies auf die Integration der schnellen Fourier-Modi hinaus − Λ B < | Q | < Λ )

2) Längen neu skalieren ( X ' = X B )

3) Felder neu normalisieren ( ϕ ' ( X ) = z ϕ ( X ) )

Ich habe Probleme zu verstehen, warum man die Schritte 2 und 3 im Zusammenhang mit einem kontinuierlichen Phasenübergang durchführen würde. Mein bisheriges Verständnis ist, dass das System am kritischen Punkt auf allen Längenskalen statistisch selbstähnlich ist und sich daher die Kopplungskonstanten nicht ändern sollten, wenn wir einen effektiven Hamilton-Operator für die längerwelligen Moden des Systems konstruieren. Schritt 1 scheint dann alles zu sein, was notwendig ist. Die Schritte 2 und 3 scheinen nur eine Koordinatenänderung und eine Feldneudefinition zu sein, die beide die Kopplungskonstanten nicht beeinflussen können (wenn eine Kopplung in einem Koordinatensystem signifikant ist, ist sie in allen Koordinatensystemen signifikant). Es ist jedoch im Allgemeinen Schritt 2, der höhere Ableitungsterme unterdrückt, sodass es nicht nur eine Koordinatentransformation sein kann.

Warum führen wir die Schritte 2 und 3 durch?

Da Sie diesen Vorgang wiederholt durchführen möchten, müssen Sie dafür sorgen, dass das System funktional so aussieht, wie Sie es begonnen haben. Die Neuskalierung von Längen gibt Ihnen das gleiche Integral zurück, und die Neunormierung von Feldern ist erforderlich, um die Interpretation des Felds beizubehalten (denken Sie an die LSZ-Normalisierung).
Aber man kann das Verfahren in der Praxis wiederholt mit oder ohne Längenumskalierung durchführen. Von allen Kontinuumsbeispielen, die ich bisher durchgearbeitet habe (Gaußsches Modell, Wilson-Fischer-Fixpunkt, sphärisches Modell), ist es ebenso einfach, das Ergebnis wiederholter Impulsintegrationen mit oder ohne Neuskalierungslängen abzuleiten.
Stimmt, aber dann hätten Sie Probleme zu definieren, was Sie mit Fixpunkt meinen. Wenn Sie beispielsweise unendlich oft grobkörnen, muss Ihr endgültiges Integral 0 sein, da Ihre Integrationsgrenzen beide 0 sind. Damit diese Grenze gut definiert ist, müssen Sie neu skalieren. Man sollte sich die Renormalisierungsgruppe (wie von Kardar beschrieben) so vorstellen, dass sie das ursprüngliche Problem nur mit modifizierten Koeffizienten auf ein äquivalentes Problem abbildet. Ich habe allerdings noch nicht allzu tief über die Kontinuumsmodelle nachgedacht.
Mein Fehler, die spezifischen Beispiele, die ich mir angesehen habe, waren leicht das Ergebnis vieler Integrale zu erkennen, aber im Allgemeinen ist es viel sinnvoller, die Koordinaten und Felder zu transformieren, um das Iterationsverfahren so einfach wie möglich zu gestalten. Danke!

Antworten (1)

Wie Aaron betont, werden die Koordinatentransformation und Feldneudefinition durchgeführt, um das Iterieren des Integrals in Schritt 1 so einfach wie möglich zu machen.

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