Warum um einen Gleichgewichtspunkt herum linearisieren?

Bei der Verwendung von Taylor-Reihen müssen zwei grundlegende Entscheidungen getroffen werden:

1. Ein Punkt ($x_0$), um die Ableitungen auszuwerten und die Reihenkoeffizienten zu erhalten
2. Die Koeffizientenreihenfolge, auf die die Reihe gekürzt werden soll.

Das Abschneiden der Taylor-Reihe bewirkt, dass die linearisierte Darstellung nicht exakt ist, mit anderen Worten, es entsteht ein Linearisierungsfehler. Dieser Linearisierungsfehler ist an diesem Punkt Null$x_0$. Je weiter weg Sie das System nehmen$x_0$, desto größer ist dieser Fehler.

Warum gerade Gleichgewichtspunkt? Was passiert, wenn Sie es nicht verwenden?

Der Gleichgewichtspunkt ist häufig eine sinnvolle Wahl für$x_0$wenn gefolgert wird, dass das System um diesen Punkt oszilliert oder gravitiert. Je nach Anwendung kann sich dies ändern. Wenn ich eine Aussage darüber machen würde, wie man einen Mittelpunkt wählt$x_0$für Taylor-Reihen wäre es etwa so:

„Systeme sollten um einen Punkt herum linearisiert werden$x_0$, so dass die Wahl von$x_0$minimiert den Linearisierungsfehler für alle erwarteten Systemtrajektorien. Wenn das System um einen Gleichgewichtspunkt oszilliert oder gravitiert, dann ist dies eine sinnvolle Wahl für$x_0$."

Eine Auswahl von$x_0$das diesen Richtlinien nicht folgt, würde zu einem linearisierten Modell führen, das innerhalb akzeptabler Toleranzen das nichtlineare System nicht darstellt.

Denken Sie daran, dass sich das dynamische System an den Gleichgewichtspunkten nicht bewegt (dh die Geschwindigkeit ist Null). In diesem Zustand bleibt es für immer. Dies ist sinnvoll, da die Geschwindigkeit Null ist (dh$\dot{x}=0$). Denken Sie auch daran, dass die Flugbahn des Systems an diesen Gleichgewichtspunkten konstant ist. Darüber hinaus könnten die Gleichgewichtspunkte jeder Punkt sein, aber wir können eine Transformation durchführen, um den Gleichgewichtspunkt ungleich Null in den Gleichgewichtspunkt am Ursprung umzuwandeln, um die Analyse zu vereinfachen und Theoreme direkt anzuwenden, da viele Theoreme über die Stabilität von sprechen der Ursprung. Schließlich, sobald wir wissen, dass die Trajektorie bei diesen Gleichgewichten konstant ist, ausgehend von einem beliebigen Anfangswert oder wenn sie gestört ist, konvergiert oder divergiert sie zu/von einem Gleichgewichtspunkt. Das Verständnis dieser Informationen ermöglicht es uns, die Stabilität zu überprüfen, ohne die Differentialgleichung zu lösen.

Warum verwenden wir nun die Linearisierung ?? Denken Sie an den Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Systemen. Lineare Systeme sind sehr gut verstanden und es ist in der Tat ein ausgereiftes Gebiet. Sie können feststellen, ob das System stabil oder instabil ist, indem Sie einfach die Eigenwerte der Matrix des Systems oder äquivalent die Pole der Eigenschaftsgleichung betrachten. Leider lassen sich nichtlineare Systeme nicht auf einen Blick überprüfen. Jedes nichtlineare System muss unabhängig untersucht werden. Anstatt diesen Ärger zu machen, linearisieren wir das System und überprüfen seine Stabilität, und wir sind fertig. Wenn mindestens einer der Eigenwerte einen Realteil von Null hat, kann die Linearisierung Sie leider über die Stabilität irreführen und Ihnen eine falsche Antwort liefern. Sie können die Linearisierung als schmutzigen/faulen oder sogar cleveren Ansatz betrachten, aber der Preis ist, dass sie nicht alle Szenarien behandelt.