Was bedeuten die Koordinaten, wenn wir ein Polarkoordinatensystem verwenden?

Im Allgemeinen werden die Koordinaten eines Vektors als seine Projektionen auf die Koordinatenachse definiert. Außerdem sind in einem Polarkoordinatensystem die Basisvektoren e ^ ϕ , e ^ R hängen vom Standort ab.

Nehmen wir der Konkretheit halber an, dass wir ein Objekt beschreiben wollen, das bei beginnt A → = ( 1 , 1 ) X , j = ( 2 , 45 ∘ ) R , ϕ und endet bei A → = ( 1 , − 1 ) X , j = ( 2 , − 45 ∘ ) R , ϕ .

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Wie können wir die Koordinaten im Polarkoordinatensystem als Projektionen auf die Koordinatenachse verstehen, e ^ ϕ , e ^ R ? Welche Basisvektoren verwenden wir insbesondere? (Dies ist nicht trivial, da die Basisvektoren e ^ ϕ , e ^ R hängen vom Standort ab. Wenn wir also die Basisvektoren an der Stelle verwenden, auf die unsere Vektoren zeigen, finden wir immer Null für die Projektion darauf e ^ ϕ was offensichtlich falsch ist.)

Antworten (1)

Was Sie herausgefunden haben, ist der Unterschied zwischen affinen Räumen und Vektorräumen. Affine Räume sind nur eine Ansammlung von Punkten ohne Ursprung (obwohl Ihre Koordinaten möglicherweise eine Ansammlung von Nullen haben, bedeutet dies physikalisch nichts, im Gegensatz zum Nullvektor in einem Vektorraum mit dem Zusatz Identität).

In affinen Räumen treten Vektoren als Differenz zwischen Punkten auf, sodass wir bei Verwendung kartesischer Koordinaten den Punkt ersetzen können ( X , j ) mit dem Vektor definiert durch:

v → ( X , j ) ≡ ( X , j ) − ( 0 , 0 )

was uns dann den falschen Eindruck vermittelt, dass ein Punkt ein Vektor ist.

Es ist nicht.

Wenn Sie es wie einen Vektor behandeln und Koordinaten verallgemeinern, stoßen Sie auf genau das Problem, das Ihre Frage generiert hat.

Es ist nicht genau klar, was Sie fragen, aber es sieht aus wie das, was als "Das erste geodätische Problem" ( https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesy#Geodetic_problems ) bekannt ist, nämlich:

"Wenn ein Punkt (in Bezug auf seine Koordinaten) und die Richtung (Azimut) und die Entfernung von diesem Punkt zu einem zweiten Punkt gegeben sind, bestimme (die Koordinaten von) diesem zweiten Punkt."

Die Koordinaten der beiden in der obigen Abbildung angegebenen Punkte sind ( 2 , 45 ∘ ) R , ϕ Und ( 2 , − 45 ∘ ) R , ϕ . Aber das sind nicht die Projektionen der Vektoren A → Und B → auf die Koordinatenachsen an den entsprechenden Stellen. Wie wir aus der Abbildung ersehen können, geben die Projektionen nach ( 2 , 0 ∘ ) R , ϕ Und ( 2 , 0 ∘ ) R , ϕ . Meine Frage ist also eigentlich, in welchem ​​Sinne können wir die Koordinaten verstehen ( 2 , 45 ∘ ) R , ϕ Und ( 2 , − 45 ∘ ) R , ϕ in Bezug auf Projektionen auf Koordinatenachsen?
Oder macht das nur Sinn, wenn wir ein Vektorfeld betrachten? v → ( X → ) statt eines isolierten Vektors? Das Vektorfeld ordnet jedem Punkt in unserem, sagen wir, zweidimensionalen Realraum einen Vektor zu R 2 ? Ich kann mir vorstellen, dass wir in diesem Fall die Projektionen auf die Koordinatenachsen an den entsprechenden Orten verwenden müssen, um die Koordinaten von zu bestimmen v → ( X → ) in Kugelkoordinaten?!
@jak Punkte leben in affinen Räumen, nicht in Vektorräumen. Aus dem affinen Raumeintrag von Wikipedia: "In einem affinen Raum gibt es keinen bestimmten Punkt, der als Ursprung dient. Daher hat kein Vektor einen festen Ursprung und kein Vektor kann eindeutig einem Punkt zugeordnet werden." Und umgekehrt. Punkte sind keine Vektoren und können (können) keine Projektionen auf andere Vektoren haben.
Was bedeuten die Koordinaten, wenn wir ein Polarkoordinatensystem verwenden?
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