Was genau bedeutet universelle Variable x und z?

Folgende Seite von 204 der Grundlagen der Astrodynamik :

Dies sind nur praktische Variablen, die von der Änderung der exzentrischen Anomalie vom Anfangs- zum Endpunkt der analysierten (oder vorhergesagten) Bewegung abhängen.

Für elliptische Umlaufbahn:

oder für negativ$a$(hyperbolische Umlaufbahn),

Für eine parabolische Umlaufbahn

Für elliptische Umlaufbahn:

Für hyperbolische Umlaufbahn:

Für eine parabolische Umlaufbahn$z = 0$(Auch wenn sich die exzentrische Anomalie nicht ändert.)

wo$E$ist die exzentrische Anomalie (Seite 183):

$D$ist "parabolische exzentrische Anomalie" und$F$- "hyperbolische exzentrische Anomalie" (immer ein imaginärer Wert) - Gegenstücke zu$E$für parabolische und hyperbolische Trajektorien. Auf den folgenden Seiten wird deren Ableitung erläutert.

Als Randbemerkung denke ich, dass die exzentrische Anomalie eine bessere Rechtfertigung und Erklärung verdient als das, was sie bekommt, mit der Erweiterung willkürlicher Linien auf zufällig ausgewählte Kreise für unbekannte Zwecke.

Wie die Standard-Ellipsengleichung ist$({x\over a})^2 + ({y \over b})^2 = 1$(Das ist eine karthesische Koordinate$x$, nicht die universelle Variable$x$) ist die typische Parametrisierung:

Die Antwort von @SF. sieht sehr gut aus! xSF=xOP und zSF = zOP.

Ich habe einige Gleichungen aus dieser Antwort verwendet .

Ich bin mir nicht sicher, ob es die Frage des OP vollständig beantwortet, aber da es mathematisch überprüft wird, werde ich dieses spezielle Kopfgeld vergeben.

Wie Meatloaf sagt, alles funktioniert, wenn man es zulässt.

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc  = -x * mu * ((x**2).sum())**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint   as ODEint
from scipy.integrate import cumtrapz as CTrapz

# https://space.stackexchange.com/questions/31032/what-exactly-means-universal-variable-x-and-z

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]

mu     = 1.0
a      = 1.0
peri   = 0.5
apo    = 2.*a - peri
vperi  = np.sqrt(mu*(2./peri - 1./a))
vapo   = np.sqrt(mu*(2./apo  - 1./a))

X0     = np.array([peri, 0, 0, vperi])

time   = np.linspace(0, twopi, 201)

answer, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

x, y, vx, vy = answer.T
theta        = np.arctan2(y, x)
half_theta   = 0.5 * theta


r     = np.sqrt(x**2 + y**2)
xdot  = np.sqrt(mu)/r
xOP   = CTrapz(xdot, time, initial=0)
zOP   = xOP**2/a

# https://space.stackexchange.com/questions/27602/what-is-hyperbolic-eccentric-anomaly-f/27604#27604

ecc       = (apo-peri)/(apo+peri)
term      = np.sqrt((1. - ecc)/(1. + ecc))
tanEover2 = term * np.tan(half_theta)
E         = 2. * np.arctan(tanEover2)
E0        = E[0]
E[E<0]   += twopi  # keep it positive

xSF       = np.sqrt(a)*(E - E0)
zSF       = (E - E0)**2

things    = ( r,   theta,   xOP,   zOP,   xdot,   E,   xSF,   zSF )
names     = ('r', 'theta', 'xOP', 'zOP', 'xdot', 'E', 'xSF', 'zSF')

if True:
    plt.figure()
    for i, (thing, name) in enumerate(zip(things, names)):
        plt.subplot(2, 4, i+1)
        plt.plot(time, thing)
        plt.title(name, fontsize=16)
    plt.show()

if True:
    plt.figure()
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.title('x and xSF versus time')
    plt.plot(time, xOP,  '-r', linewidth=4)
    plt.plot(time, xSF, '--k', linewidth=2)
    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.title('z and zSF versus time')
    plt.plot(time, zOP,  '-r', linewidth=4)
    plt.plot(time, zSF, '--k', linewidth=2)
    plt.show()

if True:
    x, y, vx, vy = answer.T
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.title('y versus x')
    plt.plot(x, y)
    plt.plot([0], [0], 'ok')
    plt.subplot(2, 2, 2)
    plt.title('x and y versus time')
    plt.plot(time, x)
    plt.plot(time, y)
    plt.subplot(2, 2, 4)
    plt.title('vx and vy versus time')
    plt.plot(time, vx)
    plt.plot(time, vy)
    plt.show()