Was ist das numerische Verfahren, um die nächstnächste Annäherung zwischen zwei Körpern auf Keplerbahnen zu finden?

Nur Teilantwort: Ich hoffe, dass auch eine spezifischere Antwort gepostet wird!

Ich sehe, Sie haben Ihre Frage gut aktualisiert. Es ist sicherlich immer noch ein Thema hier, aber ich denke, Sie können es auch ein wenig abstrahieren und eine verwandte Frage auch in Math SE oder SciComp SE stellen.

Eine mathematische Frage könnte so aussehen:

Gegeben sind zwei Periodenfunktionen$g_1, g_2$der unabhängigen Variablen$t$wie können alle Minima einer parametrischen Funktion $f(g_1, g_2)$in einem Bereich zu finden$t_1 \le t \le t_2$?

Analytische Ansätze

Wenn Sie wissen$g_1, g_2$Und$f$ analytisch (in diesem Fall$\mathbf{x_1}(t), \ \mathbf{x_2}(t)$Und$|\mathbf{x_2} - \mathbf{x_1}|$) dann kannst du einfach mit der Kettenregel analytisch differenzieren und dann alles anwenden, was Mathematik und Numerik zu bieten haben, um nach Nullstellen zu suchen.

Aber für Keplersche Bahnen gibt es keine einfachen analytischen Lösungen für$\mathbf{x}(t)$.

Diese Antwort auf Was ist die analytische geschlossene Lösung des Zweikörperproblems, um seine numerischen Integrationsergebnisse zu überprüfen? erklärt, dass es eine analytische Lösung für das inverse Problem gibt, finde die Zeit für eine gegebene Zeit$\theta$(oder die zwei Zeiten für eine bestimmte$r$) innerhalb eines Zeitraums, und das kann hilfreich sein oder auch nicht.

Unendliche Serie

Es gibt jedoch unendliche Reihenlösungen für$\mathbf{x}(t)$und für leicht exzentrische Bahnen könnten Sie in Betracht ziehen, die ersten paar Terme als analytische Lösungen zu verwenden und dann mit der Nullfindung fortzufahren.

Fortgeschrittene Techniken

• Dies gerade eingetroffen: Keplers Ziegenherde: Eine exakte Lösung der Kepler-Gleichung für elliptische Bahnen

Eine grundlegende Beziehung in der Himmelsmechanik ist die Kepler-Gleichung, die die mittlere Anomalie einer Umlaufbahn mit ihrer exzentrischen Anomalie und Exzentrizität verbindet. Da die Gleichung transzendental ist, kann sie durch herkömmliche Behandlungen nicht direkt für exzentrische Anomalien gelöst werden; Näherungsverfahren wurde viel Arbeit gewidmet. Hier geben wir eine explizite integrale Lösung unter Verwendung von Methoden, die kürzlich auf das "geometrische Ziegenproblem" und auf die Dynamik des sphärischen Kollapses angewendet wurden. Die Lösung wird als Verhältnis von Konturintegralen angegeben; diese können effizient durch numerische Integration für beliebige Exzentrizitäten berechnet werden. Die Methode hat sich in der Praxis als sehr genau erwiesen, wobei unsere C++-Implementierung herkömmliche Wurzelfindungs- und Reihenansätze um einen Faktor von mehr als zwei übertrifft.

• Auf dem Weg zum automatisierten Management von Satellitenverbindungen mit Bayesian Deep Learning

[...] Aus diesem Grund ist die Entwicklung automatisierter Tools, die potenzielle Kollisionsereignisse (Konjunktionen) vorhersagen, von entscheidender Bedeutung. Wir führen einen Bayes'schen Deep-Learning-Ansatz für dieses Problem ein und entwickeln rekurrente neuronale Netzwerkarchitekturen (LSTMs), die mit Zeitreihen von Konjunktionsdatennachrichten (CDMs) arbeiten, einem Standarddatenformat, das von der Weltraumgemeinschaft verwendet wird. Wir zeigen, dass unsere Methode verwendet werden kann, um alle CDM-Merkmale gleichzeitig zu modellieren, einschließlich der Ankunftszeit zukünftiger CDMs, und liefert Vorhersagen über die Entwicklung von Konjunktionsereignissen mit den damit verbundenen Unsicherheiten.

Siehe auch:

• Wie könnte man mit KI (Convolutional Neural Network) vorgehen, um Kollisionen im Orbit vorherzusagen?
• Was hat die NASA mit dem „größten Quantencomputer der Welt“ gemacht? (zu Frage von 2013)
• https://www.seertracking.com/

Youtube:

• Die Weltraumschrott-Apokalypse | Amber Yang | TEDxJacksonville
• Dieser 19-Jährige kann Astronauten vor Weltraumschrott schützen

Lissajous-Muster und sich wiederholende/nicht wiederholende Muster

Es ist bemerkenswert, dass der Wikipedia-Artikel über parametrische Gleichungen mit einer Diskussion der Schmetterlingskurve beginnt und einen ganzen Abschnitt über Lissajous-Kurven enthält .

@RogerWood weist darauf hin , dass es wichtig ist zu entscheiden, ob Sie das Verhältnis der beiden Perioden als vernünftig große rationale Zahl (z. B. 42:137) behandeln können oder ob sie auf einfache Weise nicht miteinander verbunden und im Grunde unabhängig sind.

Wer macht sowas?

Das Weltraumkommando und jede satellitenbesitzende oder abhängige Organisation tut dies!

Wenn der Mindestabstand zwischen zwei erdumkreisenden Satelliten für Komfort zu eng wird, was ein Vielfaches der Unsicherheit in der Umlaufbahn jedes Satelliten bedeutet, spricht man von einer Konjunktion .

Bei Millionen von Satelliten ist es ein großes Geschäft, potenzielle Konjunktionen in der Zukunft zu berechnen und zu bestimmen, wann Maßnahmen ergriffen werden müssen (z. B. Tweets generieren und vielleicht einige Satelliten verschieben).

Weitere Informationen dazu finden Sie im Folgenden:

• Celestrak: SOKRATES
• Algorithmische Methoden oder Techniken, um Konjunktionen in großen Ensembles von Zustandsvektoren zu finden?
• Algorithmische Methoden oder Techniken, um Konjunktionen in Kepler-Element-Ensembles mit hohem N zu finden?

Aber was ist, wenn ich versuchen möchte, das selbst zu lösen?

Definieren Sie Ihr Problem auf praktische Weise.

Interessieren Sie sich für jedes Minimum oder nur für diejenigen, die tatsächlich nah beieinander liegen, wie beim Konjunktionsfinden?

Wenn sie sich auf gegenüberliegenden Seiten des Zentralkörpers befinden, werden sie kurze Zeit später nicht direkt nebeneinander liegen.

Ich denke, eine Art Teile-und-Herrsche -Ansatz könnte hilfreich sein. Teilen Sie die Zeit in Kästchen auf, die klein genug sind, dass sie null oder ein Minimum enthalten, aber nicht zwei. Dann teilen Sie diese wieder in zwei Hälften. Überprüfen Sie die Ableitungen an den Kanten, wenn es das Vorzeichen ändert, dann ist vielleicht ein Minimum in der Nähe.

Was kommt als nächstes?

Ich denke immer noch, dass eine sorgfältig geschriebene Frage in Math SE oder SciComp SE sehr fruchtbar sein wird.

Dies ist eine Antwort, aber definitiv keine gute Antwort. Wenn,$d$, der Abstand zwischen den beiden Satelliten ist, dann können wir die Newton-Methode auf die Zeitableitungen anwenden$d'$Und$d''$um das Minimum iterativ zu finden.

Angesichts der 12 Orbitalelemente finden wir zuerst die Trennung,$d$und die relative Geschwindigkeit und Beschleunigung zwischen den beiden Satelliten. Wir lösen dann die Komponenten parallel zur Richtung von auf$d$und orthogonal zu _$d$mit der Schreibweise ($v_p,v_o$) Und ($a_p,a_o$).

Für die erste Ableitung von$d$, haben wir einfach$d'=v_p$. Die zweite Ableitung$d''$schließt offensichtlich die Beschleunigungskomponente mit ein$d$, aber es ist auch eine Funktion der orthogonalen Geschwindigkeitskomponente, die wie eine Beschleunigung wirkt, indem sie bewirkt, dass der Abstand quadratisch zunimmt. Der Ausdruck für die zweite Ableitung lautet somit$d''=a_p+(1/2)v_o^2/d$. Wenn wir uns einem Minimum nähern,$v_p$muss negativ sein und$a_p+(1/2)v_o^2/d$muss positiv sein. Jedoch,$a_p$ist immer negativ, da beide Satelliten kontinuierlich auf die zentrale Masse zubeschleunigen. Die Relativgeschwindigkeit muss also mindestens sein$v>\sqrt(2a_pd)$am Punkt der engsten Annäherung.

Nahezu ein Minimum an Trennung,$d$ist wahrscheinlich eine halbwegs quadratische Funktion der Zeit und Newtons Methode wird sehr gut funktionieren. An anderen Stellen bricht die Hölle los! Leider vermeidet nichts davon die Notwendigkeit einer guten Methode zur rechtzeitigen Ausbreitung der Umlaufbahnen (gemäß @uhoh-Kommentaren).

Dies ist keine tatsächliche Antwort, aber Sie könnten sie von Interesse finden. ;)

Wie uhoh bereits erwähnt hat, besteht die zentrale Schwierigkeit bei einer analytischen Lösung dieses Problems darin, dass es keine Möglichkeit gibt, die Kepler-Gleichung mit elementaren Funktionen umzukehren. Die Gleichung ist

Wo$M$ist die mittlere Anomalie ,$E$ist die exzentrische Anomalie , und$e$ist die Exzentrizität.

Es ist einfach genug, es mit ein paar Runden der Newton-Methode zu lösen (es sei denn$e$ist sehr nahe an 1), aber das ist bei einem analytischen Ansatz nicht sehr hilfreich, und Ihr Problem muss es zweimal lösen, einmal für jeden Körper. Der traditionelle analytische Ansatz besteht darin, ihn mit wenigen Termen einer Reihe zu approximieren; Im Wikipedia-Artikel werden mehrere Optionen angegeben.

Die Alternative ist, einfach numerisch nach Lösungen zu suchen. Wenn Sie den Zeitpunkt der letzten größten Annäherung kennen, können Sie eine vernünftige erste Schätzung des Zeitpunkts der nächsten vornehmen, indem Sie einfach die relative synodische Periode der beiden Körper addieren.

Lassen$T_1 < T_2$seien die Perioden der Körper. Dann ist die synodische Periode

Wenn beide Umlaufbahnen kreisförmig sind, ergibt dies die exakte Lösung. Bei exzentrischen Umlaufbahnen erhalten Sie die mittlere Zeit zwischen engsten Annäherungen.

Beachten Sie, dass die relative Geschwindigkeit der beiden Körper bei der engsten (und weitesten) Annäherung Null ist, sodass sich die relative Entfernung zu diesem Zeitpunkt nicht wesentlich ändert.

Ich gehe davon aus, dass Sie eine allgemeine Lösung für dieses Problem wünschen. OTOH, wenn Sie es für tatsächliche Körper des Sonnensystems lösen möchten, können Sie JPL Horizons dazu bringen, die Umlaufbahnberechnungen durchzuführen. Es kann Ihnen leicht die Entfernung (und seine Änderungsrate) zwischen jedem Paar von Objekten in seinem System geben, und es kennt viele Objekte : 1130203 Asteroiden, 3757 Kometen, 209 Planetensatelliten, 8 Planeten, die Sonne, L1, L2 , ausgewählte Raumfahrzeuge und System-Baryzentren. 

Hier ist ein Diagramm der Entfernung zwischen Mars und Merkur im Zeitraum vom 4. Februar 2000 bis zum 30. Dezember 2003. Ich habe sie ausgewählt, weil sie die Planeten mit den exzentrischsten Umlaufbahnen sind. Die Exzentrizität von Merkur beträgt 0,20563, die von Mars 0,0934. Ihre Perioden betragen 87,9691 Tage bzw. 686,98 Tage, sodass ihre relative synodische Periode ~100,888 Tage beträgt, was ~1,1469 Merkurperioden und ~0,1469 Marsperioden entspricht. Sie hatten eine enge Annäherung innerhalb eines Tages nach der Startzeit der Grafik. Das Intervall zwischen den vertikalen Datumslinien beträgt 100 Tage.

Wie Sie sehen können, liegt der Zeitraum zwischen aufeinanderfolgenden engen Annäherungen ziemlich nahe bei 100 Tagen, obwohl es eine kleine Abweichung gibt.

Hier ist ein Link zu einer Live-Version des Sage / Python-Programms, mit dem ich diese Grafik erstellt habe. Es kann in SVG- und PNG-Formaten geplottet werden. Sie können es für alle Objekte verwenden, die Horizons kennt. Es kann verwendet werden, um "manuell" nach Lösungen für Ihr Problem zu suchen, und vielleicht ist es nützlich, um andere Lösungsmethoden zu validieren.

Ausführliche Informationen zur Angabe von Körper-IDs, Zeiten und Zeitschritten finden Sie in der Horizons-Dokumentation . Kurz gesagt, eine Zahl von 1 bis 9 identifiziert einen Planeten-Schwerpunkt (einschließlich Pluto), z. B. 1 ist Merkur, 4 ist Mars. Anhängen 99, um die Körpermitte anzugeben. Sie müssen der Beobachtungsstelle das Präfix voranstellen @, sonst wird die Nummer als ID einer Sternwarte behandelt. targetWenn Sie eine Zeichenfolge in die Felder oder eingeben center, antwortet Horizons mit einer Liste von IDs, die mit dieser Zeichenfolge übereinstimmen.

Horizons akzeptiert zahlreiche Datums- und Zeitformate. Um eine julianische Tageszahl einzugeben, stellen Sie ihr das Präfix voran jd.

Der datestepParameter meines Programms legt den Abstand der vertikalen Gitterlinien im Diagramm fest. Ein datestepWert von 10 bedeutet, dass diese Linien alle 10 Datenpunkte gezeichnet werden.

Um die Anzahl der Horizons-Anfragen zu reduzieren, speichert das Programm die letzten 3 Datensätze, die es abruft, im Cache. Wenn Sie "kosmetische" Änderungen an der Grafik vornehmen, ohne die Ziel-, Mittelpunkt- oder Zeitparameter zu ändern, werden die alten Daten wiederverwendet.

Ich würde einen numerischen Ansatz mit grundlegenden technischen Ansätzen versuchen. Richten Sie zuerst 2 beliebige keplersche Umlaufbahnen mit r- und v-Daten oder elementaren Daten ein. Wenn Umlaufbahnen tatsächlicher Objekte von Interesse sind, verwenden Sie genaue Sonnensystemdaten.

Wählen Sie zweitens beliebige Startpositionen für jedes Objekt aus.

Drittens: Richten Sie die Berechnung des Abstands zwischen den beiden Objekten in zylindrischen (oder sphärischen) Koordinaten oder durch Transformation in kartesische Koordinaten ein.

Viertens: Richten Sie ein Verfahren ein, um die Objekte für einen kurzen Zeitraum (höchstwahrscheinlich einige Minuten) im Orbit zu verbreiten, und berechnen Sie dann die Entfernung zwischen ihnen neu.

Fünfte. das System für ein paar Computerstunden laufen lassen (verbreiten) (wahrscheinlich Zehntausende von Umlaufbahnen), ein Protokoll der Zeit und Entfernung zwischen den Objekten und anderer Parameter erstellen, die für die Analyse der Ergebnisse von Interesse sein könnten.

Sechs. Zeigen Sie den Abstandsparameter gegenüber der Zeit an und untersuchen Sie auf Minimumpunkte und Zeit zwischen Minima und anderen interessierenden Parametern. Wenn die Daten nicht ausreichen, lassen Sie es einige Stunden länger laufen.

An einer geschlossenen Formlösung hierfür zu arbeiten scheint den Aufwand nicht zu lohnen.