Was ist der Zweck der Quantifizierung über der leeren Menge?

Diese Frage ist ziemlich kurz, aber ich konnte nirgendwo die spezifische Antwort finden, nach der ich gesucht habe.

Mein bisheriges Verständnis: (Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich in einigen Punkten falsch liege)

  • Ich kann jede Aussage annehmen P ( X ) für alle X ∈ ∅ wahr, weil die leere Menge überhaupt keine Elemente enthält.
  • Ich kann auch jede Aussage übernehmen Q ( X ) für alle falsch sein X ∈ ∅ wegen dem gleichen Grund.
  • Ein Beispiel wäre ∀ M ⊆ ∅ Wo M ≠ ∅ , das hält es M = ∅ . Diese Aussage muss für alle Teilmengen gelten M weil die Prämisse (es gibt keine Teilmengen von ∅ die nicht die leere Menge selbst sind) ist falsch.

Meine Frage: Wozu ist das gut? Ist dieses Verhalten nur eine triviale Eigenschaft der leeren Menge? Die einzige Verwendung, die mir einfällt, ist, wenn ich etwas Bestimmtes für die leere Menge selbst beweisen möchte (zum Beispiel das ∅ ist eine Ordnungszahl).

Was meinst du damit, ob eine Funktion "true" oder "false" ist?
@Peter Ich bin davon ausgegangen, dass das Wort "Funktion" hier eigentlich (logisch) "Prädikat" sein sollte.
Ich habe den Beitrag bearbeitet und das Wort Funktion in Aussage geändert. Ich habe auch versucht, deutlich zu machen, was ich in dem Beispiel sagen wollte.
Nein, Sie können nicht davon ausgehen, dass eine Aussage für alle falsch ist Q ( X ) . Sie MÜSSEN davon ausgehen, dass alle Aussagen für alle wahr sind X ∈ ∅ . Das bedeutet, dass sowohl eine Aussage als auch die Verneinung einer Aussage für alle wahr sind X ∈ ∅ aber eine Negation einer Aussage, die über einer leeren Menge wahr ist, impliziert nicht , dass eine Aussage über einer leeren Menge falsch ist.
Es kommt vor, dass die Quantifizierung über die leere Menge zu einigen Witzen führen kann, zB "Während all meiner Jahre als König von England war ich ein perfekter Herrscher".
Das ist ein guter Zweck! @FiMePr

Antworten (1)

Vorsichtig sein: P ( X ) ist keine Aussage, es sei denn X ist eine Konstante. Wenn X ist eine Variable, dann P ( X ) ist eine Aussagefunktion und ihr Wahrheitswert ist im Allgemeinen unbestimmt.

Die Aussage: ∀ X P ( X ) , ist falsch, wenn es Werte von gibt X , für die, P ( X ) ist falsch. Die Aussage: " ∀ X ∈ ∅ P ( X ) “, ist immer wahr, da ∅ hat keine Mitglieder. Aber das ist eigentlich eine Abkürzung für:

∀ X [ X ∈ ∅ → P ( X ) ]
Das ist wahr, denn wenn A ist immer falsch, A → B ist immer wahr. Also, wenn du sagst:

Ich kann jede Aussage annehmen P ( X ) für alle X ∈ ∅ wahr, weil die leere Menge überhaupt keine Elemente enthält.

Das ist nicht richtig. Sie sollten nicht annehmen P ( X ) wahr sein. Sie sollten nur annehmen „ Für alle X ∈ ∅ , P ( X ) " um wahr zu sein. Ebenso sollten Sie nicht annehmen Q ( X ) falsch sein. Es hat keinen Wahrheitswert. Wenn Sie außerdem davon ausgehen, dass „ Für alle X ∈ ∅ , Q ( X ) " ist falsch, du bist falsch. Dies ist immer eine wahre Aussage.

Ihr Beispiel ergibt, formal ausgedrückt, Folgendes:

∀ M [ M ⊆ ∅ ∧ M ≠ ∅ → M = ∅ ]

Seit " M ⊆ ∅ ∧ M ≠ ∅ " ist immer falsch (für jeden Wert von M ), Dann " M ⊆ ∅ ∧ M ≠ ∅ → M = ∅ " ist immer wahr. Daher ist das Obige eine wahre Aussage. Aber daraus könnte man niemals schließen: " M ≠ ∅ Und M = ∅ ".

Was ist der Zweck der Quantifizierung über der leeren Menge?
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