Was ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (entlang zzz) und die durchschnittliche Position (entlang zzz) eines Objekts im freien Fall?

Question

Was ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (entlang zzz) und die durchschnittliche Position (entlang zzz) eines Objekts im freien Fall?

Quantenkraft

Ich möchte die Durchschnittsgeschwindigkeit (entlang z) und die durchschnittliche Position (entlang z) eines Objekts im freien Fall berechnen.

Der anfängliche Augenblick ist $t_0$ und wir haben:

$z(t=t_0)=z_0$
$v_z(t=t_0)=v_0=0$

Ich habe den letzten Moment berechnet, den Moment, in dem das Objekt den Boden berührt, und ich habe Folgendes gefunden:

T_{F} = \sqrt{\frac{2 z_{0}}{G}}

$t_f = \sqrt{ \dfrac{2 z_0}{g} }$

Für die durchschnittliche Position entlang $z$ Ich habe das gefunden :

< z >= \int (- \frac{1}{2} G T^{2} + z_{0}) D T = z_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{3}{2} \sqrt{\frac{2}{G}}

$<z> = \int (- \frac{1}{2} g t^2 + z_0) dt = z_0^{\frac{3}{2}} \dfrac{3}{2} \sqrt{\dfrac{2}{g}}$

Für die Durchschnittsgeschwindigkeit entlang $z$ Ich habe das gefunden :

< v_{z} >= \int (- G T) D T = - z_{0}

$<v_z> = \int (-gt) dt = - z_0$

Beide Ausdrücke sind nicht homogen genug, also sind sie beide völlig falsch ...

Gert

Dein Durchschnitt

< z >

$<z>$ Ist einfach

\frac{z_{0} + z_{f}}{2}

$\frac{z_0+z_f}{2}$ Und

< v >= \frac{v_{0} + v_{f}}{2}

$<v>=\frac{v_0+v_f}{2}$ Wo

f

$f$ steht für „Finale“ oder „Ende“. Es hat keinen Sinn, Integrale dafür zu verschwenden.

Quantenkraft

@Gert: Gilt nicht für das durchschnittliche z, da z mitwächst

t^{2}

$t^2$ . Vielleicht

< z >= \frac{2}{3} z_{0}

$<z>=\frac{2}{3}z_0$ aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es beweisen soll.

Gert

Ihr Integral

< z >= \int (- \frac{1}{2} g t^{2} + z_{0}) d t

$<z> = \int (- \frac{1}{2} g t^2 + z_0) dt$ gibt dir nur

z

$z$ nach der Zeit

t

$t$ , kein Erwartungswert. Sie müssen dies durch die Gesamtreisezeit teilen. Ähnlich,

< v_{z} >= \int (- g t) d t

$<v_z> = \int (-gt) dt$ gibt dir nur

v

$v$ nach der Zeit

t

$t$ , keine Durchschnittsgeschwindigkeit. Es ist auch einfacher einzustellen

z_{0} = 0

$z_0=0$ . Den Integralen fehlen auch Grenzen.

Gert

In der Tat:

z (t) = z_{0} + \int_{0}^{t} (- \frac{1}{2} g t^{2}) d t

$z(t) =z_0 + \int_0^t (- \frac{1}{2} g t^2) dt$

David Weiß

Die OP-Frage macht keinen Sinn. Wenn Sie Position und Geschwindigkeit als Funktionen der Zeit haben, warum um alles in der Welt sollten Sie all diese Informationen zerstören wollen, indem Sie fragen, was die Durchschnittswerte dieser Variablen sind?

Antworten (1)

Was ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (entlang zzz) und die durchschnittliche Position (entlang zzz) eines Objekts im freien Fall?

Dein Durchschnitt $<z>$ Ist einfach $\frac{z_0+z_f}{2}$ Und $<v>=\frac{v_0+v_f}{2}$ Wo $f$ steht für „Finale“ oder „Ende“. Es hat keinen Sinn, Integrale dafür zu verschwenden.
@Gert: Gilt nicht für das durchschnittliche z, da z mitwächst $t^2$ . Vielleicht $<z>=\frac{2}{3}z_0$ aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es beweisen soll.
Ihr Integral $<z> = \int (- \frac{1}{2} g t^2 + z_0) dt$ gibt dir nur $z$ nach der Zeit $t$ , kein Erwartungswert. Sie müssen dies durch die Gesamtreisezeit teilen. Ähnlich, $<v_z> = \int (-gt) dt$ gibt dir nur $v$ nach der Zeit $t$ , keine Durchschnittsgeschwindigkeit. Es ist auch einfacher einzustellen $z_0=0$ . Den Integralen fehlen auch Grenzen.
Die OP-Frage macht keinen Sinn. Wenn Sie Position und Geschwindigkeit als Funktionen der Zeit haben, warum um alles in der Welt sollten Sie all diese Informationen zerstören wollen, indem Sie fragen, was die Durchschnittswerte dieser Variablen sind?

Gert · Answer 1

Wir haben also eine $z$ nach oben gerichtete Achse und ein Objekt im freien Fall aus $z=z_0$ Zu $z=0$ .

Die Bewegungsgleichung im freien Fall ist $-ma=mg$ oder $a=-g$ .

$\large{a=\frac{dv}{dt}}$ .

$dv=-gdt$ und integriert erhalten wir:

$v=\int_0^t(-g)dt=-gt$ .

$v=\frac{dz}{dt}$ , So $dz=vdt$ , $dz=-gtdt$ und integriert erhalten wir:

$z=z_0-\frac{gt^2}{2}$ .

Für $z=0$ , $0=z_0-\frac{gt_f^2}{2}$ Und $t_f=\sqrt{\frac{2z_0}{g}}$ .

So dass $v_f=-g\sqrt{\frac{2z_0}{g}}=-\sqrt{2z_0g}$ .

Die durchschnittliche Geschwindigkeit über die Zeit beträgt:

$\Large{<v>=\frac{\int_0^{t_f} vdt}{(t_f -0)}=-\frac{\sqrt{2z_0g}}{2}}$ .

Die durchschnittliche Position im Laufe der Zeit ist:

$<z>=\frac{\int_0^{t_f} zdt}{(t_f -0)}$ .

Mit $\int_0^{t_f} zdt= \int_0^{t_f}(z_0-\frac{dt^2}{2})dt=z_0t_f-\frac{gt_f^3}{6}$ .

Teilen durch $t_f$ zu bekommen:

$<z>=z_0-\frac{gt_f^2}{6}$ , Einfügung $t_f=\sqrt{\frac{2z_0}{g}}$ und überarbeiten, um zu erhalten:

$\Large{<z>=\frac{2}{3} z_0}$ .

Was ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (entlang zzz) und die durchschnittliche Position (entlang zzz) eines Objekts im freien Fall?

Quantenkraft

Gert

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Gert

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David Weiß

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Gert

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