Was ist die Methode, um die reziproken Gittervektoren in diesem 2D-Gitter zu finden?

Betrachten Sie ein rechteckiges Gitter in zwei Dimensionen mit primitiven Gittervektoren ( A , 0 ) Und ( 0 , 2 A ) .

Welche der folgenden sind reziproke Gittervektoren für dieses Gitter?

(A) π A ( 1 , 1 2 )

(B) π A ( 1 , 2 )

(C) π A ( 2 , − 1 )

(D) π A ( 0 , 2 )

(e) π A ( 1 2 , − 2 )

Also haben wir

A → 1 = A ich ^
Und
A → 2 = 2 A J ^
Und
A → 3 = k ^
da ich die dreidimensionale Formel für die reziproken Gittervektoren verwenden werde:

B → 1 = 2 π A → 2 × A → 3 A → 1 ⋅ ( A → 2 × A → 3 ) , B → 2 = 2 π A → 3 × A → 1 A → 1 ⋅ ( A → 2 × A → 3 ) , B → 3 = 2 π A → 1 × A → 2 A → 1 ⋅ ( A → 2 × A → 3 )

Für ein 2D-Gitter wurde mir das gesagt

Wenn Sie die 3D-Definition mit den Kreuzprodukten verwenden möchten, um die abzuleiten B → Vektoren, wählen A → 3 = k ^ .

Das hat mir mein Dozent gesagt und steht in meinem Vorlesungsskript.

Also beginne ich mit dem Rechnen

A → 2 × A → 3 = | ich ^ J ^ k ^ 0 2 A 0 0 0 1 | = 2 A ich ^ , A → 3 × A → 1 = | ich ^ J ^ k ^ 0 0 1 A 0 0 | = A J ^ , A → 1 × A → 2 = | ich ^ J ^ k ^ A 0 0 0 2 A 0 | = 2 A 2 k ^

Das Einsetzen dieser Ergebnisse in die Formel für die reziproken Gittervektoren ergibt

B → 1 = 2 π 2 A ich ^ A ich ^ ⋅ ( 2 A ich ^ ) , B → 2 = 2 π A J ^ A ich ^ ⋅ ( 2 A ich ^ ) , B → 3 = 2 π 2 A 2 k ^ A ich ^ ⋅ ( 2 A ich ^ )
Seit ich ^ 2 = Einheit, und alle Nenner sind identisch; auf Vereinfachung gibt dies
B → 1 = 2 π 2 A ich ^ 2 A 2 , B → 2 = 2 π A J ^ 2 A 2 , B → 3 = 2 π 2 A 2 k ^ 2 A 2
und so

B → 1 = 2 π A ich ^ , B → 2 = π A J ^ , B → 3 = 2 π k ^

Ich weiss B → 3 = 2 π k ^ kann nicht gültig sein, da die Auswahlmöglichkeiten in der Frage kein a enthalten z Komponente. Aber das ist das erste Problem, das andere ist, dass die einzige Kombination aus B → 1 Und B → 2 Ich kann es machen

π A ( 2 , 1 )
was keiner der Auswahlmöglichkeiten in der Frage entspricht.

Die zwei richtigen Antworten sind (c) und (d).

Kann mir bitte jemand erklären, wie man reziproke Gittervektoren findet?

Antworten (1)

Du bist fast am Ziel. Jeder reziproke Gittervektor kann geschrieben werden als v → = M B → 1 + N B → 2 , Wo M Und N sind ganze Zahlen. Indem Sie das anschließen, was Sie erhalten haben B → 1 Und B → 2 , du erhältst v → = π A ( 2 N , M ) . Das erste Element ist also eine ganze Zahl (Antworten a, b, e sind falsch) und das zweite Element ist eine ganze Zahl (Antwort a ist falsch).

Beachten Sie, dass der einfachere Weg zur Berechnung Ihrer reziproken Gittervektoren ist A → ich ⋅ B → J = 2 π δ ich J

Danke für deine Antwort, tut mir leid, dass es etwas länger gedauert hat, bis ich antworte. Sie erwähnen, dass "der einfachere Weg, Ihre reziproken Gittervektoren zu berechnen, ist A → ich ⋅ B → J = 2 π δ ich J ". Also, wenn ich wollte A → 1 = A ich ^ und schrieb A ich ^ ⋅ B → 1 = 2 π δ ich J . Mit einem Unbekannten B → 1 wie würde ich vorgehen? Könnten Sie mir bitte in Ihrer Antwort zeigen, wie man reziproke Gittervektoren auf diese Weise berechnet? Vielen Dank.
B → 1 = ( X , j ) . Dann A → 1 ⋅ B → 1 = A X . Das heisst X = 2 π / A . Wenn A → 2 = ( 0 , 2 A ) Dann A → 2 ⋅ B → 1 = 2 A j = 0 So j = 0 . Sie tun das gleiche vor B → 2
Was ist die Methode, um die reziproken Gittervektoren in diesem 2D-Gitter zu finden?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v