Was ist die richtige Art, über Quotientenmengen und Äquivalenzbeziehungen nachzudenken?

Ehrlich gesagt scheint mir die Art und Weise, wie Sie das alles formuliert haben, sehr vernünftig zu sein.

Das einzige Problem ist, dass man im Allgemeinen nicht erwarten kann, ein "kanonisches" Element auswählen zu können. Wir sind also im Allgemeinen mit der Mehrdeutigkeit des "Namens" zufrieden$[x]$für die Äquivalenzklasse, die enthält$x$. Formal verwendet man einfach die Aussagen$[x]=[y]$Und$x \sim y$sind logisch äquivalent, und man erinnert sich (genau wie Sie sagen), zu überprüfen, ob alle Definitionen, die auf solchen "Namen" basieren, wohldefiniert sind.

Tatsächlich ist es sogar etwas problematisch, die Existenz einer Zuordnung eines Mitglieds dieser Klasse zu jeder Äquivalenzklasse zu behaupten. Es gibt ein spezielles mengentheoretisches Axiom, das der Behauptung gewidmet ist, dass solche Zuweisungen in vollständiger Allgemeinheit existieren: das Auswahlaxiom. Es gibt jedoch viele Situationen, in denen man ohne dieses Axiom eine Auswahlzuweisung von Hand konstruieren kann, und es gibt viele Situationen, in denen man sich nicht um eine Auswahlzuweisung kümmern muss.

In Bezug auf Ihre letzte Änderung ist es in dieser Situation nicht erforderlich, Vertreter auszuwählen. Um eine Funktion zu definieren$f : X/\!\sim \, \to A$, können Sie zunächst eine Funktion definieren$F : X \to A$, und dann beweisen Sie das$F$hat folgende Eigenschaft:

Für alle$x,y \in X$, Wenn$x \sim y$Dann$F(x)=F(y)$.

Sie können dann die Formel aufschreiben

Die Menge aller Äquivalenzklassen stelle ich mir so vor, dass man alle äquivalenten Elemente in einer Menge für alle Elemente zusammenfasst und die Menge ganz rechts im Beispiel erhält. Dann wählt man einen "Namen" für jede dieser Mengen aus und nennt sie von einem ihrer Mitglieder.

Ja, genau das tun wir.

Die gut definierte Funktion läuft darauf hinaus, zu zeigen, dass sie unabhängig von dem Namen ist, den jedes Objekt erhalten hat.

Wieder ja.

Ich vermute jedoch, dass Sie den Sinn dieser Übung möglicherweise übersehen/missverstehen. Unsere Absicht ist es nicht, einer Äquivalenzklasse, die wir erstellt haben, nur einen Namen zu geben. Der ganze Sinn der Definition einer Äquivalenzbeziehung besteht darin, das Konzept der Identifizierung verschiedener Elemente der Menge zu verschärfen.

Es kann Situationen geben, in denen wir zwei Elemente einer Menge als „gleich“ betrachten möchten, selbst wenn sie im normalen Sinne eigentlich nicht gleich sind. Betrachten Sie beispielsweise in Geometrie Dreiecke auf einer Ebene. Zwei Dreiecke mit unterschiedlichen Eckpunkten sind im strengsten Sinne nicht gleich, da ihre Eckpunkte unterschiedliche Punkte sind. Wir können jedoch zwei kongruente Dreiecke als „gleich“ betrachten, und diese Denkweise könnte sich tatsächlich als nützlich erweisen.

In ähnlicher Weise müssen wir in Ihrem Fall die ganzen Zahlen nur danach klassifizieren, ob sie ungerade oder gerade sind (und sagen, dass zwei ganze Zahlen "gleich" sind, wenn sie dieselbe Parität haben). Eine Äquivalenzbeziehung ist eine Möglichkeit, dies zu rigorosisieren, da sie unsere Elemente in zwei verschiedene Klassen unterteilt, wobei jede Klasse aus Elementen besteht, die gleich sein müssen. Daher,$\{n | n \text{ is even} \}$ist jetzt nur noch ein einzelnes Element Ihres Sets, nämlich$[0]$. Die Tatsache, dass es sich um die Menge der geraden Zahlen handelt, interessiert uns nicht mehr. Ebenso auch für ungerade Zahlen.

Kurz gesagt, eine Äquivalenzrelation verallgemeinert das Konzept dessen, was es bedeutet, wenn zwei Elemente gleich sind . Die Quotientenmenge stellt nur die ursprüngliche Menge dar, jedoch mit einem anderen Gleichheitsbegriff als zuvor.

Die Idee ist, die Struktur durch eine Linse zu betrachten, die bestimmte Informationen verwirft (oder für den Moment ignoriert). Tatsächlich neigen Mathematiker selbst in der Umgangssprache dazu, Dinge zu sagen wie: „Modding out durch (mit anderen Worten, Ignorieren) von Details wie X, Y und Z, die große Geschichte ist dies …“

Die menschliche Sprache tut dies, wenn wir abstrahieren , und verliert einige Informationen über bestimmte Hunde, wenn wir sie in die Kategorie Hund subsumieren . (Das wäre so etwas wie „Tiere mod ‚gleiche Art‘“.)

Dies lässt sich auf Pfeile in einer Kategorie verallgemeinern … normalerweise können Sie das Bild eines Morphismus (ein Unterobjekt der Kodomäne) als eine Art niedrig aufgelöste Version der Domäne betrachten. Dies ist der Inhalt des ersten Isomorphiesatzes in Gruppen, Ringen usw., aber wenn Sie Glück haben, können Sie in vielen Kategorien ähnliche Dinge tun. Siehe Tom Leinsters Einführungsbuch zur Kategorientheorie für diese Perspektive.

Das ist sozusagen der einzige Trick, den wir in der Mathematik haben … Um X zu verstehen, schauen Sie sich Morphismen aus X („Schatten von X“) und Morphismen in X an („Dinge, von denen ein Teil von X ein Schatten ist“).

Ich stelle es mir als das Bild einer Karte mit dem ursprünglichen Satz als Domäne vor. Für jeden Quotienten$Z/\sim$die Karte$Z\to Z/\sim$die jedes Element von abbildet$Z$zu seiner Äquivalenzklasse ist eine solche Karte. Und für jede surjektive Abbildung$Z\to Y$, können wir eine Äquivalenzrelation definieren$\sim$wo das Urbild jedes Elements von$Y$ist eine Äquivalenzklasse. Und dann$Y$Und$Z/\sim$haben die gleiche Kardinalität.

Diese Art des Denkens erstreckt sich auf alle Arten von Quotientenstrukturen. Quotienten von Gruppen, Ringen, Vektorräumen, topologischen Räumen usw. fallen mir alle ein. Aber "gleiche Kardinalität" kann durch "isomorph" ersetzt werden. Die Quotienten einer Menge/Gruppe/Ring/... sind im Wesentlichen genau alle Bilder der entsprechenden Morphismen (Abbildungen für Mengen, Homomorphismen für Gruppen, stetige Abbildungen für topologische Räume usw.) bis auf die Isomorphie.

$X/{\sim}$ist eine Partition von$X$.$\sim$ist die Beziehung zwischen zwei Elementen in demselben Teil der Partition. Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die auf diese Weise aus einer Partition hervorgeht.

Im Allgemeinen sollten Sie bei "Namen" nicht so sehr an Äquivalenzklassen denken: In einer abstrakten Umgebung gibt es möglicherweise keine offensichtliche Möglichkeit, sie auszuwählen. Tatsächlich ist die Möglichkeit, gleichzeitig einen Repräsentanten für alle Klassen einer beliebigen Äquivalenzrelation zu wählen, (ganz einfach) äquivalent zum Auswahlaxiom. In einigen Fällen (wie bei ganzen Zahlen) ist dies einfacher, aber selbst dann ist die Wahl nie wirklich "kanonisch" in sinnvoller Weise.

Stattdessen sollten Sie sich Äquivalenzklassen als Teilmengen der Domäne vorstellen. Sie benötigen keine besonderen Namen, sie benennen sich selbst. Es kann nützlich sein, die ungeraden und geraden ganzen Zahlen mit aufzurufen$1$Und$0$, aber das ist nicht besser, als sie einfach so zu nennen, wie sie sind: die Menge der ungeraden ganzen Zahlen und die Menge der geraden ganzen Zahlen.

Natürlich haben wir für eine beliebige Menge ganzer Zahlen normalerweise überhaupt keinen Namen (und noch weniger für eine beliebige Teilmenge einer beliebigen Menge). Aber das ist in Ordnung. Wir haben keine schönen Namen für die meisten Zahlen dazwischen$0$Und$1$, entweder.

Re: Bearbeiten : Wenn wir eine Karte definieren$X/{\sim}$über eine Formel der Form$[x]_\sim \mapsto f(x)$für irgendeine Funktion von$x\in X$, ist es (meiner Erfahrung nach) nicht üblich, an einen vollständigen Satz von Repräsentanten zu denken. Ich kann mir zwei natürlichere Arten vorstellen, was in diesen Fällen passiert, die erste etwas konkreter, die zweite vielleicht etwas fortgeschrittener, aber meiner Meinung nach auch expliziter:

1. Such dir irgendeine aus$c\in X/{\sim}$, beachten Sie, dass es die Form hat$[x]_\sim$für einige$x$, und beweisen Sie dann, dass das Ergebnis$f(x)$hängt nicht von der Wahl ab$x$, also die Formel$\bar f(c)=f(x)$ist wohldefiniert.
2. Zeigen Sie, dass wenn$x_1\sim x_2$, Dann$f(x_1)=f(x_2)$, und verwenden Sie dann die Tatsache, dass die Quotientenkarte$X\to X/{\sim}$ist universell in dem Sinne, dass für jede Karte$f\colon X\to Y$mit der Eigenschaft, dass$f(x_1)=f(x_2)$wann immer$x_1\sim x_2$, gibt es einen eindeutigen vertikalen Pfeil, der das folgende Diagramm pendeln lässt: $$\require{AMScd} \def\diaguparrow#1{\smash{ \raise.6em\rlap{\scriptstyle #1} \lower.3em{\mathord{\diagup}} \raise.52em{\!\mathord{\nearrow}} }} \begin{CD} && Y\\ & \diaguparrow{ f} @A\bar fAA \\ X @>>> X/{\sim} \end{CD}$$

Natürlich sind sie alle dasselbe, nur (etwas) anders betrachtet.

Ihre Frage berührt etwas, worüber ich früher verwirrt war. Ich bin mir nicht sicher, ob Sie es sind oder nicht, aber ich werde darauf hinweisen.

Lassen$X$Und$Y$Seien Sie Sätze, lassen Sie$\sim$sei eine Äquivalenzrelation auf$X$und lass$f : X \to Y$eine Funktion sein, so dass, wenn$x_1 \sim x_2$Dann$f(x_1) = f(x_2)$. Dann möchten wir$f$eine Funktion zu induzieren$g:(X/\sim) \to Y$.

Früher habe ich darüber nachgedacht: Für$S$In$X/\sim$, wählen$x \in S$und definieren$g(S) = f(x)$, dann zeige, dass dies unabhängig von meiner Wahl ist. Tatsächlich denke ich intuitiv immer noch so darüber. Aber ich war besorgt, weil dies das Axiom der Wahl zu berühren schien. Wie Lee Mosher betont, ist das Axiom of Choice tatsächlich äquivalent zu der Bedingung, dass es immer eine Funktion gibt$\sigma : (X/\sim) \to X$mit$\sigma(S) \in S$. Mir war nicht klar, ob$g$immer ohne Wahl existiert.

Aus Sicht der formalen Mengenlehre wird hier beschrieben, wie man definiert$g$ohne dass dieses Problem auftaucht und ohne Choice zu verwenden. Definieren$R \subseteq (X/\sim) \times Y$die Menge der geordneten Paare sein$\{ (S, y) : \ \text{there is some}\ x \in S \ \text{with}\ f(x) = y \}$. Beweisen Sie das dann für jeden$S \in (X/\sim)$, gibt es ein Unikat$y \in Y$mit$(S,y)$In$R$. Per Definition bedeutet dies das$R$ist eine Funktion$(X/\sim) \to Y$.

Ich finde die Definition der geordneten Paare einer Funktion sehr seltsam; Meine Sympathien gelten viel mehr für so etwas wie ETCS , wo Funktionen als primitives Konzept angesehen werden. Aber hier ist eine Stelle, an der die Definition geordneter Paare hilft.

Ich denke, der beste Weg, über einen Quotienten nachzudenken, sind seine Eigenschaften. Die Konstruktion von$X/\sim$da eine Menge von Mengen nur ein Implementierungsdetail ist und es sehr nützlich sein kann, das, was ein Quotient "ist", von seiner Implementierung zu unterscheiden.

Vermuten$X$ist eine Menge und$\sim$ist eine Äquivalenzrelation auf$X$. Ein Quotient von$X$von$\sim$Ist ein Satz$Q$zusammen mit einer surjektiven Funktion$q:X\to Q$so dass für alle$x,y\in X$,

Wie auch immer, das ist es. Ein Quotient ist etwas, das eine Beziehung in eine Gleichheit umwandelt.

Die Konstruktion, die Sie geben, Einstellung$X/{\sim} = \{\{y\in X\mid x\sim y\}\mid x\in X\}$und definieren$q:X\to X/{\sim}$von$q(x) = \{y\in X\mid x\sim y\}$, zeigt lediglich, dass es einen Quotienten gibt. Es ist sicherlich eine nützliche Darstellung eines Quotienten, und es kann manchmal praktisch sein, dies als Quotient zu verwenden, da Sie die Tatsache nutzen können, dass Elemente von$X/{\sim}$sind Sätze zur Vereinfachung der Notation. Aber es ist einschränkend, es und nur es als den Quotienten zu betrachten.

Lassen Sie uns also die Auswirkungen der abstrakten Definition eines Quotienten verstehen.

1. Um eine Funktion zu definieren$\overline{f}:X/{\sim}\to Y$, genügt es, eine Funktion zu definieren$f:X\to Y$und beweise das für alle$x,x'\in X$mit$x\sim x'$Das$f(x)=f(x')$. Sie sehen normalerweise eine Definition für$f$indirekt als Regel für gegeben$\overline{f}$des Formulars$[x]\mapsto f(x)$. Es wird gezeigt, dass diese Regel "wohldefiniert" ist (d.h. dass$x\sim x'$impliziert$f(x)=f(x')$), und somit$f$veranlasst dies$\overline{f}$Funktion. Bemerkung: Sie erwähnen die Wahl eines Systems von Repräsentanten, um eine Funktion auf einem Quotienten zu definieren – dies stellt eigentlich die normale Art dar, eine Funktion zu definieren! Ein System von Repräsentanten ist nur eine Art zu beschreiben$X/\sim$selbst als einfache alte Menge, aber in Bezug auf eine Teilmenge von$X$.

2. Wenn$Q$Und$Q'$beide Quotienten von sind$X$von$\sim$, dann gibt es eine kanonische Bijektion zwischen ihnen. Dies gibt uns die Möglichkeit, uns auf „den“ Quotienten zu beziehen. Die Idee ist, dass die Quotientenkarte$q':X \to Q'$veranlasst eine Karte$\overline{q'}:Q\to Q'$seit$x\sim x'$impliziert$q'(x)=q'(x')$, und ähnlich$q:X\to Q$veranlasst eine Karte$\overline{q}:Q'\to Q$. Die Karten$\overline{q}$Und$\overline{q'}$sind Umkehrungen. Durch die Verwendung der kanonischen Bijektion können Sie jede bestimmte Darstellung eines Quotienten durch eine andere ersetzen.

3. Seit$q:X\to Q$surjektiv ist, gibt es nach dem Wahlaxiom eine Teilmenge$R$von$X$so dass$q|_R:R\to Q$ist eine Bijektion. Dieser Satz$R$ist ein Repräsentantensystem. Aber es mag überraschen,$R$ist auch ein Quotient von$X$von$\sim$. Definieren$r:X\to R$von$r(x) = (q|_R)^{-1}(q(x))$, die die notwendigen Eigenschaften erfüllt. Zum Beispiel aus dieser Sicht$\{0,1,\dots,n-1\}$ist die ganze Zahl modulo$n$mit der durch Reduktion modulo gegebenen Quotientenfunktion$n$.

Eine Anwendung dieser Sichtweise in der abstrakten Algebra ist, dass es üblich ist, sie zu betrachten$C$in einer kurzen exakten Folge$0\to A \to B \to C \to 0$als "der" Quotient von$B$nach dem Bild von$A$(unter Verwendung der üblichen Äquivalenzrelation that$b\sim b'$Wenn$b-b'$ist im Bild von$A$).

Interessanterweise gibt es in gewissem Sinne keinen Unterschied zwischen einer Quotienten- und einer Surjektivfunktion$q:X\to Q$: eine surjektive Funktion hat immer eine implizite Äquivalenzrelation, wo wir sagen$x\sim x'$Wenn$q(x)=q(x')$. Äquivalenzklassen werden einfach durch die Mengen angegeben$q^{-1}(x)$, und wir können die wiederherstellen$X/{\sim}$Konstruktion für diese Beziehung durch Nehmen$\{q^{-1}(x)\mid x\in X\}$. (Daher steht die Menge der Urbilder einer surjektiven Funktion in kanonischer bijektiver Übereinstimmung mit der Kodomäne.)

Die Idee, eine Funktion zu definieren$\overline{f}:Q\to Y$mit einer Funktion$f:X\to Y$Aus dieser Sicht wird normalerweise mit den Worten gesagt: "$f$Faktoren durch$q$." Das heißt, wenn$f(x)=f(x')$wann immer$q(x)=q(x')$, dann gibt es eine induzierte Funktion$\overline{f}:Q \to Y$so dass$f=\overline{f}\circ q$. Dies ist absolut dasselbe wie beim Definieren von Funktionen auf einem Quotienten.

Eine der häufigsten Intuitionen besteht darin, Objekte, die unter einer Äquivalenzbeziehung zueinander äquivalent sind, einfach als "gleich" zu denken. Offensichtlich ist dies nicht streng in dem Sinne, dass diese Objekte nicht gleich sind, aber solange Sie sich an die wahre Bedeutung von „gleich“ (Äquivalenzbeziehung) erinnern, sind Sie oft berechtigt, sich dieses vereinfachende mentale Bild zu machen.

Zum Beispiel beim modularen Arithmetik-Mod$p$, Lass uns nehmen$p=7$zum Beispiel wird es ermüdend Dinge zu sagen wie "$2$Und$9$sind äquivalent unter der Äquivalenzrelation von Kongruenz mod$7$" oder "$2$ist ein Vertreter der Äquivalenzklasse enthaltend$2,-5,9,\cdots$". Stattdessen überlegen wir einfach$2$Und$9$genau dasselbe sein in$\mathbb Z/7\mathbb Z$auch wenn das technisch nicht ganz richtig ist.

Als weiteres Beispiel werden isomorphe Gruppen für die Zwecke der Gruppentheorie oder isomorphe Ringe in der Ringtheorie usw. fast immer als genau dasselbe angesehen Strenge, neben anderen Gründen, davon auszugehen, dass sie gleich sind, ist oft nicht so weit vom richtigen Bild entfernt, solange Sie sich bewusst sind, was Sie tatsächlich tun.

Das bedeutet, dass der Prozess der Quotientenbildung im Grunde der Quotient der Identifizierung bestimmter Punkte im ursprünglichen Objekt ist; mit anderen Worten, verschiedene Punkte nehmen und sie gleich machen. Eines der klarsten Bildbeispiele findet sich in der Topologie: Quotienten topologischer Räume laufen darauf hinaus, verschiedene Punkte zusammenzufügen, so dass sie ein und derselbe Punkt werden. Die gleiche Idee taucht überall in der Mathematik auf.

In Bezug auf die von Ihnen vorgenommene Bearbeitung glaube ich, dass beide von Ihnen erwähnten Möglichkeiten gültig sind, um über die Definition einer Funktion in den Äquivalenzklassen nachzudenken. Du kannst entweder :

1. Wählen Sie für jede Klasse einen bestimmten Repräsentanten, was natürlich eine willkürliche Auswahl beinhaltet, und definieren Sie dann eine Funktion für die Sammlung dieser repräsentativen Elemente. Dies wird dann auf natürliche Weise auf die Sammlung von Äquivalenzklassen (dh die Quotientenmenge) ausgedehnt; ODER :
2. Definieren Sie eine Funktion für die ursprüngliche Menge so, dass jedes Element in einer Äquivalenzklasse unter der Funktion denselben Wert annimmt. Dies gibt uns eine wohldefinierte Funktion auf der Quotientenmenge.

Ich habe sehr selten (wenn überhaupt) gesehen, dass die erste Methode verwendet wird, wahrscheinlich weil sie zunächst eine bestimmte (künstliche und daher vielleicht etwas umständliche) Wahl auswählt, selbst wenn sie sich schließlich als irrelevant herausstellt (Jede solche Wahl ergibt dasselbe endgültige Antwort). Die zweite Methode habe ich jedoch an den meisten Stellen gesehen und ist normalerweise die Standardmethode, um eine Funktion auf einer Quotientenmenge zu definieren.

Es gibt kein konzeptionelles Problem, das ich sehen kann, wenn man (1) annimmt, dass das Axiom der Wahl angenommen werden kann.