Was ist ein gutes Modell zur Berechnung von Wassertropfen auf einer Oberfläche?

Wie ich kommentierte, würde ich denken, dass jeder 3D-Hydrodynamikcode funktionieren würde. Die Grundlagen der Hydrodynamik lassen sich in den folgenden fünf Gleichungen zusammenfassen:

$$\begin{eqnarray} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\rho\mathbf{v}=0 \tag{1} \\ \frac{\partial \rho\mathbf{v}}{\partial t}+\nabla\cdot\left[\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}+P\mathbb I\right]=\rho\mathbf{g} \tag{2,3,4} \\ \frac{\partial E}{\partial t}+\nabla\cdot\left[\left(E+P\right)\mathbf{v}\right]=\rho\mathbf{g}\cdot\mathbf{v} \tag{5} \end{eqnarray}$$ Wo $\rho$ist deine Massendichte, $\mathbf{v}$die Geschwindigkeit, $P=\left(\gamma-1\right)\left(E-\frac12\rho v^2\right)$ist der Flüssigkeitsdruck (nimmt ein ideales Gas mit adiabatischem Index an $\gamma$), $\mathbb I$die Identitätsmatrix (Tensor), $E$ist die Gesamtenergie (intern und kinetisch) und $\mathbf{g}$die Erdbeschleunigung. Der Reihe nach beschreiben diese drei Massenerhaltung , Impulserhaltung und Energieerhaltung .

Da Computer diskrete Objekte sind, definieren wir ein Volumen$dx\cdot dy\cdot dz$(normalerweise$dx=dy=dz$also die Lautstärke$dx^3$, aber es ist nicht unbedingt wahr) mit einer zellenzentrierten Position von$(x_i,\,y_j,\,z_k,\,t_n)$Wo$i,j,k,n\in \mathbb Z$. Jede Variable wird dann durch einen volumengemittelten Wert definiert:

$$\rho_{i,j,k}^n = \rho\left(x_i,\,y_j,\,z_k,\,t_n\right)$$

Wir können dann die drei Erhaltungsgleichungen numerisch modellieren als (ich werde die Massenerhaltung für das Beispiel verwenden)

$$\frac{\rho^{n+1}_{i,j,k}-\rho^n_{i,j,k}}{dt}=\frac{\pi_{x;\,i+1,j,k}^n-\pi_{x;\,i-1,j,k}^n}{2dx}+\frac{\pi_{y;\,i,j+1,k}^n-\pi_{y;\,i,j-1,k}^n}{2dy}+\frac{\pi_{z;\,i,j,k+1}^n-\pi_{z;\,i,j,k-1}^n}{2dz}$$ Wo $\pi=\rho\mathbf{v}$. Das Obige verwendet eine Vorwärtsdifferenz für die zeitliche Ableitung, während die räumlichen Ableitungen eine zentrale Differenz verwenden. Es gibt einige Stabilitätseinschränkungen bei dieser Gleichung (z $dt\leq c_{s,max}dx/n_{dim}$die zeitliche Ableitung wird durch die maximale Wellengeschwindigkeit geteilt durch die Anzahl der Dimensionen mal der Zellenlänge begrenzt), ist aber ziemlich einfach zu implementieren.

In drei Dimensionen können Sie die Gleichungen entweder gerichtet lösen (d. h.$x,\,y,\,z$unabhängig gelöst, aber in wechselnder Reihenfolge bei jedem Zeitschritt) oder Sie können sie zu einem sogenannten "Ecktransport" kombinieren, von dem der Fluss beispielsweise stammt$\pi_{i-1,j-1,k}$wird beim Finden berücksichtigt$\rho_{i,j,k}^{n+1}$. Die letztere Wahl ist schwieriger zu codieren, bietet aber eine genauere Lösung, während die erstere ziemlich einfach zu implementieren ist.

Als Randbedingungen möchten Sie eine reflektierende Grenze an der Oberfläche ($\mathbf{v}\cdot\hat{n}\to-\mathbf{v}\cdot\hat{n}$Wo$\hat{n}$ist die normale Richtung zur Oberfläche) und wahrscheinlich überall sonst extrapoliert ($\rho_{I,j,k}=\rho_{I-1,j,k}$Wo$I$ist die maximale Anzahl von Zellen in der$x$Richtung). Diese beiden Grenzen und die obigen 5 Gleichungen sollten es Ihnen ermöglichen, den Wassertropfen, der mit einer Oberfläche kollidiert, vollständig zu modellieren.

Sie können den Gleichungen (2,3,4) auch viskose Effekte hinzufügen, indem Sie zur RHS die Divergenz des Viskositätstensors hinzufügen,$\tau$:

$$\tau=\rho\nu\left[\nabla\mathbf{v}+\left(\nabla\mathbf{v}\right)^T-\frac23\mathbb I\nabla\cdot\mathbf{v}\right]$$ mit $\nu$die kinematische Viskosität . Dies verkompliziert die Sache, weil Sie Ableitungen zweiter Ordnung einführen ( $\sim\nabla^2\mathbf v$) und die Stabilitätsbedingung für diese Gleichungen ist $dt\leq \kappa dx^2/n_{dim}$Wo $\kappa$ist in diesem Fall der Parabelkoeffizient $\nu$. Es gibt Möglichkeiten, dies zu umgehen (z. B. mit einer impliziten Methode , die einen Matrixlöser erfordert), aber es verkompliziert die Sache definitiv.

---

Aus all dem schließe ich, dass Sie zwei Möglichkeiten haben:

1. Schreiben Sie Ihren eigenen 3D-Code von Grund auf neu
2. Durchsuchen Sie github nach dem Code einer anderen Person, der die gesamte erforderliche Physik enthält, und weisen Sie den Autor bei Bedarf zu

Angesichts der Schwierigkeit, einen mehrdimensionalen Hydrodynamik-Code zu codieren (persönliche Erfahrung hier), ist es für Sie möglicherweise wesentlich einfacher, Option 2 zu wählen, aber meine einzige Warnung dazu lautet: Der Code, den Sie finden und verwenden, ist keine Black Box und sollte nicht als solche behandelt werden ; Sie müssen verstehen, was der Code tut und warum , bevor Sie den Code überhaupt ausführen können .

Zuerst ein Ratschlag: Ignorieren Sie die Luft nicht! Die Forschung der letzten Jahre hat gezeigt, dass die Luft (insbesondere der Luftdruck) entscheidend dafür ist, ob der Tropfen spritzt und wenn ja, wie hoch die Dynamik ist. Eines der wegweisenden Papiere auf diesem Gebiet ist das der Weitz Group in PRL im Jahr 2012 .

Dann zu Ihrer Frage, wie Sie den fallenden Tropfen als Spritzer modellieren. Ich denke, dass ein Lagrange-Ansatz für die Flüssigkeit (dh flüssige „Partikel“) tatsächlich die realistischste Simulation ergeben würde, aber es wird auch extrem rechenintensiv sein. Daher könnten Sie Finite-Volumen-Methoden wie Volume-of-Fluid , Level-Set und Front-Tracking in Betracht ziehen. Es ist schwer, Ihnen einen Rat zu geben, welches das Beste ist, weil es sehr von der Erfahrung und den Details der Implementierung abhängt, aber vielleicht finden Sie einige gute Diskussionen auf dieser Website des Institut Jean Le Rond d'Alembert .