Was ist eine intuitive Art, über die Determinante nachzudenken?

Ihre Probleme mit Determinanten sind ziemlich häufig. Es ist auch schwer, sie gut zu lehren, aus zwei Hauptgründen, die ich sehe: Die Formeln, die Sie lernen, um sie zu berechnen, sind chaotisch und kompliziert, und es gibt keinen „natürlichen“ Weg, den Wert der Determinante, des Weges, zu interpretieren Es ist einfach, die Ableitungen, die Sie in der Analysis verwenden, zunächst als Steigung der Tangente zu interpretieren. Es ist schwer, Dinge wie die Invertierbarkeitsbedingung zu glauben, die Sie angegeben haben, wenn nicht einmal klar ist, was die Zahlen bedeuten und woher sie kommen.

Anstatt zu zeigen, dass die vielen üblichen Definitionen alle gleich sind, indem ich sie miteinander vergleiche, werde ich einige allgemeine Eigenschaften der Determinante angeben, von denen ich behaupte, dass sie ausreichen, um eindeutig zu spezifizieren, welche Zahl Sie erhalten sollten, wenn Sie eine gegebene eingeben Matrix. Dann ist es nicht schlecht, zu überprüfen, ob alle Definitionen für Determinante, die Sie gesehen haben, die Eigenschaften erfüllen, die ich angeben werde.

Das erste, woran Sie denken sollten, wenn Sie eine „abstrakte“ Definition der Determinante wünschen, um all diese anderen zu vereinheitlichen, ist, dass es sich nicht um eine Reihe von Zahlen mit Balken an der Seite handelt. Was wir wirklich suchen, ist eine Funktion, die N Vektoren (die N Spalten der Matrix) nimmt und eine Zahl zurückgibt. Nehmen wir an, wir arbeiten vorerst mit reellen Zahlen.

Erinnern Sie sich, wie diese Operationen, die Sie erwähnt haben, den Wert der Determinante ändern?

1. Das Vertauschen von zwei Zeilen oder Spalten ändert das Vorzeichen.

2. Die Multiplikation einer Zeile mit einer Konstanten multipliziert die gesamte Determinante mit dieser Konstante.

3. Die allgemeine Tatsache, dass Nummer zwei ausmacht: Die Determinante ist in jeder Zeile linear . Das heißt, wenn Sie es als Funktion betrachten$\det: \mathbb{R}^{n^2} \rightarrow \mathbb{R}$, Dann

   $$\det(a \vec v_1 +b \vec w_1 , \vec v_2 ,\ldots,\vec v_n ) = a \det(\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n) + b \det(\vec w_1, \vec v_2, \ldots,\vec v_n),$$ und die entsprechende Bedingung in jedem anderen Steckplatz.

4. Die Determinante der Identitätsmatrix$I$Ist$1$.

Ich behaupte, dass diese Tatsachen ausreichen, um eine eindeutige Funktion zu definieren , die N Vektoren (jeder der Länge N) aufnimmt und eine reelle Zahl zurückgibt, die Determinante der durch diese Vektoren gegebenen Matrix. Ich werde das nicht beweisen, aber ich werde Ihnen zeigen, wie es bei einigen anderen Interpretationen der Determinante hilft.

Insbesondere gibt es eine schöne geometrische Art, sich eine Determinante vorzustellen. Betrachten Sie den Einheitswürfel im N-dimensionalen Raum: die Menge von N Vektoren der Länge 1 mit den Koordinaten 0 oder 1 an jedem Punkt. Die Determinante der linearen Transformation (Matrix) T ist das vorzeichenbehaftete Volumen der Region, die durch Anwendung von T auf den Einheitswürfel erhalten wird . (Machen Sie sich nicht zu viele Sorgen, wenn Sie nicht wissen, was der „signierte“ Teil vorerst bedeutet).

Wie folgt das aus unserer abstrakten Definition?

Nun, wenn Sie die Identität auf den Einheitswürfel anwenden, erhalten Sie den Einheitswürfel zurück. Und das Volumen des Einheitswürfels ist 1.

Wenn Sie den Würfel um einen konstanten Faktor nur in eine Richtung dehnen, ist das neue Volumen so konstant. Und wenn Sie zwei Blöcke zusammenstapeln, die in derselben Richtung ausgerichtet sind, ist ihr kombiniertes Volumen die Summe ihrer Volumina: Dies alles zeigt, dass das vorzeichenbehaftete Volumen, das wir haben, in jeder Koordinate linear ist, wenn es als Funktion der Eingabevektoren betrachtet wird.

Wenn Sie schließlich zwei der Vektoren vertauschen, die den Einheitswürfel definieren, kehren Sie die Ausrichtung um. (Auch dies ist etwas, auf das Sie später zurückkommen sollten, wenn Sie nicht wissen, was das bedeutet).

Es gibt also Möglichkeiten, über die Determinante nachzudenken, die kein Symbol-Pushing sind. Wenn Sie sich mit Kalkül mit mehreren Variablen beschäftigt haben, könnten Sie mit dieser geometrischen Definition der Determinante darüber nachdenken, warum Determinanten (die Jacobi-Methode) auftauchen, wenn wir die Koordinaten bei der Integration ändern. Hinweis: Eine Ableitung ist eine lineare Annäherung an die zugehörige Funktion, und betrachten Sie ein „differenzielles Volumenelement“ in Ihrem Startkoordinatensystem.

Es ist nicht allzu viel Arbeit zu überprüfen, ob die Fläche des Parallelogramms von Vektoren gebildet wird$(a,b)$Und$(c,d)$Ist$\Big|{}^{a\;b}_{c\;d}\Big|$entweder: Sie könnten das versuchen, um ein Gefühl für die Dinge zu bekommen.

Sie können sich eine Determinante als Volumen vorstellen. Stellen Sie sich die Spalten der Matrix als Vektoren am Ursprung vor, die die Kanten eines schiefen Kastens bilden. Die Determinante gibt das Volumen dieser Kiste an. Beispielsweise sind in 2 Dimensionen die Spalten der Matrix die Kanten einer Raute.

Aus dieser geometrischen Interpretation lassen sich die algebraischen Eigenschaften ableiten. Wenn beispielsweise zwei der Spalten linear abhängig sind, fehlt Ihrer Box eine Dimension und sie wurde auf ein Volumen von null reduziert.

Zusätzlich zu den obigen Antworten ist die Determinante eine Funktion aus der Menge der quadratischen Matrizen in die reellen Zahlen, die die Operation der Multiplikation beibehält :

$$\begin{equation}\det(AB) = \det(A)\det(B) \end{equation}$$ und so trägt es $some$Informationen über quadratische Matrizen in die viel bekanntere Menge reeller Zahlen.

Einige Beispiele:

Die Determinantenfunktion bildet die Identitätsmatrix ab$I$zum Identitätselement der reellen Zahlen ($\det(I) = 1$.)

Welche reelle Zahl hat keine multiplikative Inverse? Die Zahl 0. Welche quadratischen Matrizen haben also keine multiplikativen Inversen? Diejenigen, die durch die Determinantenfunktion auf 0 abgebildet werden.

Was ist die Determinante der Inversen einer Matrix? Natürlich die Umkehrung der Determinante. (Usw.)

Diese "operationserhaltende" Eigenschaft der Determinante erklärt einen Teil des Wertes der Determinantenfunktion und bietet mir ein gewisses Maß an "Intuition" bei der Arbeit mit Matrizen.

Hier ist eine Aufzeichnung meiner Vorlesung über die geometrische Definition von Determinanten:

Geometrische Definition von Determinanten

Es enthält Elemente aus den Antworten von Jamie Banks und John Cook und geht gemächlich ins Detail.

Auch ich finde die Art und Weise, wie Determinanten in der äußeren Algebra behandelt werden, am intuitivsten. Die Definition findet sich auf Seite 46 von Landsbergs "Tensors: Geometry and Applications". An zwei Beispielen unten erfahren Sie alles, was Sie wissen müssen.

Angenommen, Sie erhalten eine Matrix

$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$ und gebeten, ihre Determinante zu berechnen. Sie können sich die Matrix als linearen Operator vorstellen $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$definiert von

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$$

Wenn Sie den Standardbasisvektor durch definieren$e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$Und$e_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$, können Sie dann definieren$f$durch die Werte, die es auf Basis von Vektoren annimmt:$f(e_1)=ae_1+ce_2$Und$f(e_2)=be_1+de_2$.

Der lineare Operator$f$wird auf Bivektoren um erweitert

$$f(e_1\wedge e_2)=f(e_1)\wedge f(e_2).$$

Dann kannst du schreiben

$$f(e_1\wedge e_2)=(ae_1+ce_2)\wedge(be_1+de_2)=(ad-bc)e_1\wedge e_2,$$

wobei ich Distributivität und Antikommutativität des Keilprodukts verwendet habe (letzteres impliziert$a\wedge a=0$für jeden Vektor$a$). Wir erhalten also die Determinante als Skalarfaktor in der obigen Gleichung

$$f(e_1\wedge e_2)=\det(A)\,e_1\wedge e_2.$$

Das gleiche Verfahren funktioniert für 3-mal-3-Matrizen, Sie müssen nur einen Trivektor verwenden. Sprich, du bist gegeben

$$B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}.$$

Es definiert einen linearen Operator$g:\mathbb R^3\to \mathbb R^3$

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},$$

für die wir haben

$$g(e_1)=a_{11}e_1+a_{21}e_2+a_{31}e_3,\quad g(e_2)=a_{12}e_1+a_{22}e_2+a_{32}e_3,\quad g(e_3)=a_{13}e_1+a_{23}e_2+a_{33}e_3$$

auf der Standardbasis$e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$,$e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$,$e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. Der Betreiber$g$wird um Trivektoren erweitert

$$g(e_1\wedge e_2\wedge e_3)=g(e_1)\wedge g(e_2)\wedge g(e_3),$$

was gibt

$$g(e_1\wedge e_2\wedge e_3)=(a_{11}e_1+a_{21}e_2+a_{31}e_3)\wedge(a_{12}e_1+a_{22}e_2+a_{32}e_3)\wedge(a_{13}e_1+a_{23}e_2+a_{33}e_3).$$

Wenn Sie dann die Regeln von befolgen$\wedge$wie Distributivität, Antikommutativität und Assoziativität, erhalten Sie

$$g(e_1\wedge e_2\wedge e_3)=\det(B)\, e_1\wedge e_2\wedge e_3.$$

In höheren Dimensionen funktioniert es genauso.

Fürs Protokoll werde ich versuchen, eine Antwort auf diese alte Frage zu geben, da ich denke, dass dem, was bereits gesagt wurde, einige Elemente hinzugefügt werden können.

Obwohl es sich im Grunde nur um (komplizierte) Ausdrücke handelt, können Determinanten auf den ersten Blick mysteriös sein. Fragen, die sich natürlich stellen, sind: (1) wie werden sie allgemein definiert?, (2) was sind ihre wichtigen Eigenschaften?, (3) warum existieren sie?, (4) warum sollten wir uns darum kümmern? und (5) warum Wird ihr Ausdruck für große Matrizen so groß?

Seit$2\times2$Und$3\times3$Determinanten lassen sich leicht explizit definieren, Frage (1) kann warten. Während (2) viele Antworten hat, sind die wichtigsten für mich: Determinanten erkennen (indem sie 0 werden) die lineare Abhängigkeit von$n$Vektoren in der Dimension$n$, und sie sind ein Ausdruck in den Koordinaten dieser Vektoren (und nicht etwa ein Algorithmus). Wenn Sie eine Familie von Vektoren haben, die von einem Parameter abhängen (oder mindestens einer davon abhängt), und Sie wissen müssen, für welche Parameterwerte sie linear abhängig sind, kann der Versuch, beispielsweise die Gaußsche Eliminierung zu verwenden, um eine lineare Abhängigkeit zu erkennen, ausgeführt werden in Schwierigkeiten geraten: Man könnte Annahmen über den Parameter benötigen, um sicherzustellen, dass ein Koeffizient ungleich Null ist, und selbst dann ergibt eine Division durch ihn sehr unordentliche Ausdrücke. Vorausgesetzt, die Anzahl der Vektoren entspricht der Dimension$n$des Raums, eine Determinante zu nehmen, wird die Frage jedoch sofort in eine Gleichung für den Parameter umwandeln (die man lösen kann oder nicht, aber das ist eine andere Sache). Genau so erhält man eine Gleichung bei Eigenwertproblemen, falls Sie diese gesehen haben. Dies liefert eine erste Antwort auf (4). (Aber es gibt noch viel mehr, was Sie mit Determinanten tun können, sobald Sie sich an sie gewöhnt haben.)

Was Frage (3) anbelangt, so kann das Mysterium, warum Determinanten überhaupt existieren, reduziert werden, indem man die Situation betrachtet, in der man sie hat$n-1$gegebenen linear unabhängigen Vektoren, und fragt nach einem endgültigen unbekannten Vektor$\vec x$bleibt bezüglich seiner Koordinaten davon unabhängig. Die Antwort ist, dass dies normalerweise der Fall ist, eigentlich immer, es sei denn$\vec x$liegt zufällig im linearen Bereich$S$von diesen$n-1$Vektoren, was ein Unterraum der Dimension ist$n-1$. Zum Beispiel, wenn$n=2$(mit einem Vektor$\vec v$gegeben) lautet die Antwort "es sei denn$\vec x$ist ein skalares Vielfaches von$\vec v$". Wenn man sich nun eine feste (von Null verschiedene) Linearkombination der Koordinaten von vorstellt$\vec x$(der Fachbegriff ist eine lineare Form auf dem Raum), dann wird es$0$genau wann$\vec x$befindet sich in einem Unterraum der Dimension$n-1$. Mit etwas Glück lässt sich dies genau auf die lineare Spanne einstellen$S$. (Eigentlich ist kein Glück im Spiel: Verlängert man die$n-1$Vektoren um einen weiteren Vektor zur Basis, dann ausdrückend$\vec x$auf dieser Basis und unter Verwendung ihrer endgültigen Koordinate wird eine solche lineare Form definiert; Sie können dieses Argument jedoch ignorieren, es sei denn, Sie sind besonders misstrauisch.) Nun ist die entscheidende Beobachtung, dass nicht nur eine solche Linearkombination existiert, sondern dass ihre Koeffizienten auch als Ausdrücke in den Koordinaten unserer betrachtet werden können$n-1$Vektoren. Zum Beispiel im Fall$n=2$wenn man setzt$\vec v={a\choose b}$Und$\vec x={x_1\choose x_2}$, dann die Linearkombination$-bx_1+ax_2$macht den Job (es wird genau dann 0, wenn$\vec x$ist ein skalares Vielfaches von$\vec v$), Und$-b$Und$a$sind eindeutig Ausdrücke in den Koordinaten von$\vec v$. Tatsächlich sind sie lineare Ausdrücke. Für$n=3$mit zwei gegebenen Vektoren sind die Ausdrücke für die Koeffizienten der Linearkombination komplizierter, aber sie können immer noch explizit niedergeschrieben werden (jeder Koeffizient ist die Differenz zweier Koordinatenprodukte, eines aus jedem Vektor). Diese Ausdrücke sind in jedem der Vektoren linear, wenn der andere fest ist.

So gelangt man zum Begriff eines multilinearen Ausdrucks (oder einer Form). Die Determinante ist in der Tat eine multilineare Form: ein Ausdruck, der davon abhängt$n$Vektoren und ist in jedem von ihnen einzeln genommen linear (wobei die anderen Vektoren auf willkürliche Werte festgelegt werden). Dies bedeutet, dass es sich um eine Summe von Termen handelt, von denen jeder das Produkt eines Koeffizienten und jeweils einer Koordinate aller ist$n$Vektoren. Aber selbst wenn man die Koeffizienten ignoriert, sind viele solcher Begriffe möglich: ein sattes$n^n$von ihnen!

Wir wollen jedoch einen Ausdruck, der wird$0$wenn die Vektoren linear abhängig sind. Nun, die Magie (irgendwie) ist, dass sogar die scheinbar viel schwächere Anforderung, die der Ausdruck wird$0$wenn zwei aufeinanderfolgende Vektoren unter den$n$gleich sind, wird dies sicherstellen, und es wird uns außerdem fast die Form unseres Ausdrucks aufzwingen. Multilineare Formen, die diese Anforderung erfüllen, werden als alternierend bezeichnet. Ich überspringe die (einfachen) Argumente, aber eine alternierende Form kann keine Terme beinhalten, die die gleiche Koordinate von zwei verschiedenen Vektoren annehmen, und sie müssen das Vorzeichen ändern, wenn man die Rolle zweier Vektoren vertauscht (insbesondere können sie nicht symmetrisch sein in Bezug auf zu den Vektoren, obwohl der Begriff der linearen Abhängigkeit symmetrisch ist; beachten Sie das bereits$-bx_1+ax_2$nicht symmetrisch in Bezug auf den Austausch von ist$(a,b)$Und$(x_1,x_2)$). Daher muss jeder Begriff jeden der beinhalten$n$Koordinaten einmal, aber nicht unbedingt in der Reihenfolge: Es gilt eine Permutation der Koordinaten$1,2,\ldots,n$zu den aufeinanderfolgenden Vektoren. Wenn ein Term eine solche Permutation enthält, muss außerdem jeder Term, der durch Vertauschen zweier Positionen in der Permutation erhalten wird, mit einem entgegengesetzten Koeffizienten auftreten. Aber zwei beliebige Permutationen können durch wiederholtes Vertauschen zweier Positionen ineinander überführt werden; Wenn es also überhaupt Bedingungen gibt, dann muss es Bedingungen für alle geben$n!$Permutationen, und ihre Koeffizienten sind alle gleich oder entgegengesetzt. Dies erklärt Frage (5), warum die Determinante wann so ein großer Ausdruck ist$n$ist groß.

Schließlich stellt sich heraus, dass die Tatsache, dass es Determinanten gibt, direkt damit zusammenhängt, dass allen Permutationen Vorzeichen zugeordnet werden können, so dass durch Vertauschen von Einträgen immer das Vorzeichen geändert wird, was Teil der Antwort auf Frage (3) ist. Zu Frage (1) können wir nun sagen, dass die Determinante eindeutig dadurch bestimmt ist, dass sie an ist$n$-linearer Wechselausdruck in den Einträgen von$n$Spaltenvektoren, die einen Term enthalten, der aus dem Produkt ihrer Koordinaten besteht$1,2,\ldots,n$in dieser Reihenfolge (der Diagonalterm) mit Koeffizient$+1$. Der explizite Ausdruck ist eine Summe über alles$n!$Permutationen, wobei der entsprechende Term durch Anwenden dieser Koordinaten in permutierter Reihenfolge und mit dem Vorzeichen der Permutation als Koeffizient erhalten wird. Zu Frage (2) könnte noch viel mehr gesagt werden, aber ich höre hier auf.

Die oberste äußere Kraft eines$n$-dimensionaler Vektorraum$V$ist eindimensional. Seine Elemente werden manchmal als Pseudoskalare bezeichnet und repräsentieren orientiert$n$-dimensionale Volumenelemente.

Ein linearer Operator$f$An$V$lässt sich regelkonform zu einer linearen Abbildung der äußeren Algebra erweitern$f(\alpha) = \alpha$für$\alpha$ein Skalar und$f(A \wedge B) = f(A) \wedge f(B), f(A + B) = f(A) + f(B)$für$A$Und$B$Klingen beliebiger Qualität. Wissenswertes: Einige Autoren nennen diese Erweiterung einen Outermorphismus . Die erweiterte Karte wird höhenerhaltend sein; das heißt, wenn$A$ist ein homogenes Element der äußeren Gradenalgebra$m$, Dann$f(A)$wird auch Grad haben$m$. (Dies kann anhand der Eigenschaften der erweiterten Karte überprüft werden, die ich gerade aufgelistet habe.)

All dies impliziert, dass eine lineare Karte auf der äußeren Algebra von$V$die einmal auf die Spitze beschränkte äußere Kraft reduziert sich auf die Multiplikation mit einer Konstanten: der Determinante der ursprünglichen linearen Transformation. Da Pseudoskalare orientierte Volumenelemente darstellen, bedeutet dies, dass die Determinante genau der Faktor ist, mit dem die Karte orientierte Volumen skaliert.

Hier gibt es ausgezeichnete Antworten, die sehr detailliert sind.

Hier gebe ich eine einfachere Antwort, die auch in Wikipedia diskutiert wird . Stellen Sie sich die Determinante als die Fläche (in 2D; in 3D wäre es das Volumen usw.) des Parallelogramms vor, das von den Vektoren gebildet wird:

Denken Sie daran, dass die Fläche eines Parallelogramms die Basis ist$\times$Höhe . Durch einige Tricks mit dem Skalarprodukt ergibt sich die Determinante:

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc = Area_{parallelogram}$$

Sie können die Einheitsvektoren für jede Dimension platzieren, um die Identitätsmatrix zu testen, indem Sie Folgendes sehen:

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = ad - bc = 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1$$

Dies ist ein Volumen mit einer 3-mal-3-Matrix und ist in allen Fällen gleich 1, da die nicht-diagonalen Elemente jeden Effekt von dem einzigen Wert entfernen, der als Diagonalprodukt von 1s zum Volumen beiträgt. Es versteht sich in einigen Kontexten, dass das Koordinatensystem nicht modifiziert ist.

Wenn ich in diesen Begriffen denke, finde ich es auch einfacher, über singuläre Matrizen nachzudenken: Nicht in der Lage zu sein, die Inverse einer Matrix mit einer Determinante von 0 zu nehmen, fühlt sich jetzt an, als würde man versuchen, durch 0 zu dividieren, da ich mir die Determinante als die vorstellen kann "skalarer Wert" der Matrix. Das hilft anderen vielleicht nicht, aber wenn es dir hilft, großartig!

Wenn Sie eine Matrix haben

• $H$dann kannst du mit die korrelationsmatrix berechnen
• $G = H \times H^H$(H^H bezeichnet die komplex konjugierte und transponierte Version von$H$).

Wenn Sie eine Eigenwertzerlegung von machen$G$Sie erhalten Eigenwerte$\lambda$und Eigenvektoren$v$, das in Kombination$\lambda\times v$beschreibt denselben Raum.

Jetzt gibt es die folgende Gleichung, die besagt:

• Bestimmend($H*H^H$) = Produkt aller Eigenwerte$\lambda$

Dh, wenn Sie eine haben$3\times3$Matrix$H$Dann$G$Ist$3\times3$zu geben uns drei Eigenwerte. Das Produkt dieser Eigenwerte ergibt das Volumen eines Quaders. Mit jeder zusätzlichen Dimension/Eigenwert erhält der Quader eine zusätzliche Dimension.

(Ich habe überlegt, dies zu einem Kommentar zu machen, aber ich dachte, es verdient vielleicht mehr Aufmerksamkeit, als ein Kommentar erhalten würde. Upvotes und Downvotes zeigen, ob ich richtig oder falsch liege).

Ergänzung über das Vorzeichen der Determinante

Ich mochte die akzeptierte Antwort von Jamie, aber ich war frustriert, dass sie das Vorzeichen der Determinante und den Begriff der "Rotation" oder "Orientierung" eines Vektors nicht näher erläuterte. Die Antwort von Marc Van Leeuwen kommentiert dies näher, reicht aber möglicherweise nicht für alle – zumindest nicht für mich – aus, um zu verstehen, was es bedeutet, dass eine Matrix die Ausrichtung des Raums ändert, den sie transformiert. Also habe ich das Problem gegoogelt und bin auf die folgende Erklärung gestoßen, die ich ausgezeichnet und zugänglich finde:

http://mathinsight.org/determinant_linear_transformation#lintrans3D

Obwohl es bereits einige ausgezeichnete Antworten gibt, denke ich, dass es einen Aspekt gibt, der noch nicht ausreichend abgedeckt ist. Da nämlich die Matrix als Darstellung einer linearen Transformation in einer gegebenen Basis betrachtet werden kann, was sagt uns die Determinante der Matrix über eine gegebene Transformation?

Angenommen, wir haben eine Form in unserem Vektorraum, jede Form, mit der einzigen Einschränkung, dass sie ein wohldefiniertes Volumen hat. Nun können wir fragen, was bewirkt eine gegebene lineare Transformation des Volumens dieser Form?

Nun, das erste, was uns auffällt, ist, dass, wenn wir eine Richtung nehmen, eine beliebige Richtung, und die Form entlang dieser Richtung mit einem positiven Faktor strecken, während alle orthogonalen Richtungen unverändert bleiben, das Volumen auch mit diesem Faktor multipliziert wird. Auch wenn wir die Form mit Faktor „strecken“.$0$(es flach machen), es wird eindeutig Volumen haben$0$danach, so dass sich diese Regel auch gut auf diesen Grenzfall erstreckt.

Wenn wir die Form drehen (oder so lassen, wie sie ist), ändert sich auch die Lautstärke nicht. Beachten Sie, dass die Lautstärke nicht zu ändern bedeutet, die Lautstärke mit eins zu multiplizieren.

Beachten Sie, dass all dies nicht von der Form abhängt, sondern nur eine Eigenschaft der Transformation ist. Daher ist es sinnvoll, jede solche Transformation zuzuordnen$T$eine Funktion, nennen wir sie$\det T$, der uns den Faktor angibt, den wir auf ein Volumen anwenden müssen, um das Volumen des Bildes zu erhalten.

Wenn wir natürlich mehrere solcher Transformationen hintereinander machen und jede die Lautstärke mit einem bestimmten Faktor multipliziert, dann multiplizieren sich auch die Faktoren. Das ist,

$$\det(T_1T_2) = (\det T_1)(\det T_2).$$

Wenn wir uns das Obige nun genauer ansehen, sehen wir, dass wir noch nicht alle möglichen Transformationen abgedeckt haben. Wir haben all diese Transformationen behandelt, die durch Kombinationen aus Dehnen und Drehen durchgeführt werden können, aber wir wissen noch nicht, was beim Spiegeln zu tun ist. Betrachten wir den speziellen Fall der Spiegelung in eine Richtung, also die Umkehrung des Vorzeichens einer Richtung und Beibehaltung des Rests. Nennen wir das Spiegeltransformation$M$.

Nun, auf den ersten Blick scheint es offensichtlich, was zu tun ist: Die Spiegelung ändert also nicht die Lautstärke irgendeiner Form$\det M=1$, Rechts? Aber dann bemerken wir das, wenn wir fertig schreiben$M$, es dehnt sich wirklich mit dem Faktor aus$-1$. Da wir immer multiplizieren, ist dieser Faktor$-1$kann immer durch Anwenden des Absolutwerts am Ende beseitigt werden. Aber macht der Faktor geometrisch überhaupt Sinn?

Nun, es gibt viele Formen, die nicht mit ihrem Spiegelbild identisch sind, und es stellt sich heraus, dass Sie, wenn Sie sie durch lineare Transformationen kontinuierlich in ihr Spiegelbild verwandeln möchten, immer eine Form mit Volumen durchlaufen müssen$0$. Das Zeichen trägt also tatsächlich geometrische Informationen, also ist es auch geometrisch sinnvoll, es beizubehalten.

Da alle linearen Transformationen durch Folgen von eindimensionalen Streckungen, Drehungen und eindimensionalen Spiegeltransformationen erhalten werden können, haben wir nun den Wert von vollständig bestimmt$\det T$für jede Verwandlung. Es ist auch intuitiv klar, dass es wohldefiniert ist (wenn wir dieselbe Transformation auf unterschiedliche Weise erreichen, wirkt sich dies immer noch auf die gleiche Weise auf das Volumen von Formen aus).

Nachdem wir nun die Auswirkung auf die Transformation definiert haben, können wir uns ansehen, was dies für die Matrix bedeutet.

Offensichtlich ist eine diagonale Matrix das Produkt von Strecken/Spiegeln in den Koordinatenrichtungen, daher ist die Determinante einer diagonalen Matrix einfach das Produkt ihrer diagonalen Einträge. Das Vertauschen von zwei Spalten oder Zeilen der Matrix bedeutet eine Spiegelung in die entsprechende Diagonalrichtung vor oder nach Anwendung der ursprünglichen Transformation, ergibt also einen Faktor$-1$. Wenn die Matrix nicht invertierbar ist (die Spalten sind linear abhängig), hat das Bild ein Volumen von Null, daher ist die Determinante$0$. Und die Standardbasisvektoren werden auf die Spalten des Vektors abgebildet, daher wird der von den Basisvektoren aufgespannte Einheitswürfel auf das von den Spaltenvektoren aufgespannte Parallelepiped abgebildet, dessen Volumen daher gegeben ist durch$|\det A|$.

Denken Sie an eine Skalargleichung,

$$ax = b$$ wo wir lösen wollen $x$. Wir wissen, dass wir die Gleichung immer lösen können, wenn $a\neq 0$, Wie auch immer, wenn $a=0$dann ist die Antwort "es kommt darauf an". Wenn $b\neq 0$, dann können wir es aber nicht lösen, wenn $b=0$dann gibt es viele Lösungen (zB $x \in \mathbb{R}$). Der entscheidende Punkt ist, dass die Fähigkeit, die Gleichung eindeutig zu lösen, davon abhängt, ob $a=0$.

Wenn wir die ähnliche Gleichung für Matrizen betrachten

$$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$

die Frage, ob wir sie lösen können, ist nicht so leicht mit dem ob zu beantworten$\mathbf{A}=\mathbf{0}$Weil$\mathbf{A}$könnte aus allen Nicht-Null-Elementen bestehen und trotzdem nicht auflösbar sein$\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$. Tatsächlich für zwei verschiedene Vektoren$\mathbf{y}_1 \neq \mathbf{0}$Und$\mathbf{y}_2\neq \mathbf{0}$das könnten wir sehr wohl haben

$$\mathbf{Ay}_1 \neq \mathbf{0}$$ Und $$\mathbf{Ay}_2 = \mathbf{0}.$$

Wenn wir daran denken$\mathbf{y}$als Vektor, dann gibt es einige Richtungen, in die$\mathbf{A}$verhält sich wie Nicht-Null (dies wird als Zeilenabstand bezeichnet ) und andere Richtungen, in denen$\mathbf{A}$verhält sich wie Null (dies wird als Nullraum bezeichnet ). Die Quintessenz ist, dass wenn $\mathbf{A}$sich in einigen Richtungen wie Null verhält, dann ist die Antwort auf die Frage "ist$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$allgemein für jeden lösbar$\mathbf{b}$?" ist "es kommt darauf an$\mathbf{b}$". Genauer gesagt, wenn$\mathbf{b}$befindet sich im Spaltenraum von$\mathbf{A}$, dann gibt es eine Lösung.

Gibt es also eine Möglichkeit, wie wir feststellen können, ob$\mathbf{A}$verhält sich in einigen Richtungen wie Null? Ja, es ist die Determinante! Wenn$\det(\mathbf{A})\neq 0$Dann$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$hat immer eine Lösung. Jedoch, wenn,$\det(\mathbf{A}) = 0$Dann$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$kann eine Lösung haben oder nicht, je nachdem$\mathbf{b}$und wenn es eine gibt, dann gibt es unendlich viele Lösungen.

Eine Möglichkeit, die Determinante zu definieren, die die Beziehung zwischen all den verschiedenen von Ihnen erwähnten Begriffen verdeutlicht, ist wie folgt:

Gegeben sei ein Vektorraum$E$der Dimension$n$über das Feld$K$und eine Grundlage$B=(b_1,...,b_n)$von$E$, ist die Determinante das eindeutige (von Null verschiedene) alternierende Multilinear$n$-form$\phi$von$E$was befriedigt$\phi(b_1,...,b_n)=1$.

Dies bedeutet einfach, dass die Determinante eine Funktion ist$\phi$was ein Tupel braucht$(x_1,...,x_n)$von$n$Vektoren von$E$und gibt einen Skalar aus dem Feld zurück$K$, so dass

(1)$\phi$ist in jedem der linear$n$Variablen$(x_1,...,x_n)$(es ist "multilinear")

(2) wenn zwei der$x_i$'s sind dann gleich$\phi(x_1,...,x_n)=0$($\phi$ist "abwechselnd")

(3) Es stellt sich heraus, dass die Menge der Funktionen$\phi$die die beiden obigen Eigenschaften erfüllen, sind alle Vielfache voneinander. Also wählen wir eine Basis$B$von$e$und sagen, dass die Determinante die Funktion ist$\phi$die Erfüllung der obigen Eigenschaften, die abbildet$B$Zu$1$.

Natürlich ist es nicht sofort ersichtlich, dass eine solche Funktion$\phi$existiert und ist einzigartig!

Zur leichten Vereinfachung nehmen wir den Vektorraum$E$sein$K^n$und die Grundlage$B$die kanonische Grundlage sein.

Es stellt sich heraus, dass die Determinante die wunderbare Eigenschaft that erfüllt$det(x_1,...,x_n) \neq 0$dann und nur dann, wenn$(x_1,...,x_n)$ist eine Grundlage.

Jetzt ... gegeben$n$Vektoren$x_1,...,x_n$so dass für die Koordinaten in der Basis$B$von$x_i$Sind$(a_{i,1},...,a_{i,n})$, die Determinante der$n$-Vektoren$x_1,...,x_n$gleich gezeigt werden kann

$\sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma)a_{1,\sigma(1)}...a_{n,\sigma(n)}$

was Ihnen als Ausdruck für die Determinante in Bezug auf Permutationen bekannt sein sollte. Hier$S_n$ist die symmetrische Gruppe, dh die Menge der Permutationen von$\{1,2,..,n\}$Und$sgn(\sigma)$ist die Signatur der Permutation$\sigma$.

Um die Verbindung zwischen der Determinante einer Menge herzustellen$n$Vektoren zur Determinante einer Matrix, beachten Sie nur, dass die Matrix$A=(a_{i,j})$ist genau die Matrix, deren Spaltenvektoren sind$x_1,...,x_n$.

Wenn wir also die Determinante einer Matrix nehmen, werten wir eigentlich eine Funktion in Bezug auf aus$n$Spaltenvektoren. Wir haben vorher gesagt, dass diese Funktion genau dann ungleich Null ist, wenn die$n$Vektoren bilden eine Basis - mit anderen Worten genau dann, wenn die Matrix vollen Rang hat, dh genau dann, wenn sie invertierbar ist.

Die abstrakte Definition der Determinante als Funktion, die eine Reihe von Vektoren auf das Skalarfeld abbildet (während sie einige nette Eigenschaften wie Linearität befolgt), ist äquivalent zu einer Funktion von Matrizen zum Skalarfeld, die genau dann ungleich Null ist, wenn die Matrix invertierbar ist. Außerdem erweist sich diese Funktion als multiplikativ! (Folglich ergibt die Beschränkung dieser Funktion auf die Menge der invertierbaren Matrizen einen Gruppenhomomorphismus aus$(Gl_n(K), \times)$Zu$(K/\{0\},*)$.

Der Ausdruck der Determinante einer Matrix in Form von Permutationen kann verwendet werden, um beispielsweise viele der netten Eigenschaften abzuleiten, mit denen Sie vertraut sind

• eine Matrix und ihre Transponierte haben dasselbe det

• det einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente

• die Laplace-Formel alias Cofaktor-Erweiterung, die Ihnen sagt, wie Sie die Determinante in Bezug auf eine gewichtete Summe von Determinanten von Teilmatrizen berechnen:

$\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}\Delta_{i,j}$

Wo$\Delta_{i,j}$ist die Determinante der erhaltenen Matrix$A$indem Sie die Zeile entfernen$i$und die Säule$j$, bekannt als der Minderjährige$(i,j)$.

Stellen Sie sich ein völlig allgemeines Gleichungssystem vor

$$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = b_1$$ $$a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2$$ $$a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 = b_3$$

Wenn wir nach den Variablen auflösen$x_i$in Bezug auf die anderen Variablen und schreiben Sie die Ergebnisse in niedrigsten Termen, wir werden sehen, dass die Ausdrücke für jede$x_i$alle haben die gleichen Funktionen$a_{ij}$im Nenner. (Angenommen, wir arbeiten mit den ganzen Zahlen.) Dieser Ausdruck ist (bis auf eine Einheit) die Determinante des Systems.

Wenn Sie sich für einen systematischen Lösungsweg entscheiden$n \times n$Systeme, sagen wir die Gaußsche Elimination, können Sie damit eine Formel für diese Determinante aufstellen.

Ich denke, das ist viel natürlicher als die anderen Ansätze, weil Sie mit etwas Einfachem und Gemeinsamem wie einem System linearer Gleichungen beginnen, dann den Kopf senken und es lösen, und dieser Begriff taucht auf.

Dies gibt Ihnen natürlich nur die Antwort bis zu einem Zeichen, aber das macht tatsächlich Sinn, weil es eine willkürliche Auswahl des Zeichens gibt.

Garibaldi hat eine Abhandlung, die diesen Ansatz und einige verwandte vorstellt, mit dem Titel The determinant and characteristic polynomial are not ad hoc constructions . (Um dies zu formalisieren, möchten Sie eine kleine Ringtheorie einführen, damit Sie formale Vorstellungen von Unbestimmtheiten usw. haben.)

Ich werde versuchen, dies intuitiv zu erklären. Aber zuerst müssen Sie bestimmte Konzepte verstehen. Ich empfehle 3b1b-Videos für die Intuition in "Linearkombinationen". Wie auch immer, es ist kein schwer zu verstehendes Konzept, ich werde es ein wenig einführen.

Beginnen wir zunächst mit einem Beispiel und versuchen dann zu verallgemeinern. Stellen Sie sich also vor, wir hätten die Matrix$A=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 1.5 & 2 \end{matrix} \right]$.

Nehmen wir nun die Spaltenvektoren dieser Matrix,$\left[ \begin{matrix} 3 \\ 1.5 \end{matrix} \right]$Und$\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right]$. Die lineare Kombination dieser Vektoren nennen wir den Spaltenraum - Col(A) , alle möglichen Kombinationen dieser Vektoren:

$$a\left[ \begin{matrix} 3 \\ 1.5 \end{matrix} \right] + b\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right] \text{for a and b as real numbers.}$$

Grafisch sieht das ungefähr so ​​aus (z$a$Und$b$als ganze Zahlen):

Außerdem haben wir den Zeilenraum - Zeile (A) , identisch definiert als die linearen Kombinationen der Zeilenvektoren$r_{1}=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \end{matrix} \right]$Und$r_{2}=\left[ \begin{matrix} 1.5 & 2 \end{matrix} \right]$. Sie können genauso wie bei Col(A) grafisch dargestellt werden.

Die Determinante ist also im Grunde die Fläche, die durch das durch die Zeilenvektoren definierte Parallelogramm erstellt wird (der Spaltenvektor erzeugt dieselbe Fläche, aber der Konvention halber verwenden wir die Zeilenvektoren). Im Bild wird es durch das blaue Parallelogramm dargestellt. Also Fläche des Parallelogramms$= Determinant(A) = Det(A)$.

Wie können wir also diese Fläche berechnen? Zum Verständnis dieses Teils sollten Sie über Grundkenntnisse in "Zeilenoperationen" und "Fläche eines Parallelogramms" verfügen.

Lass uns anrufen "$r_{1}$" die erste Reihe und "$r_{2}$" die zweite Zeile. Eine der grundlegenden Zeilenoperationen besteht darin, zu einer Zeile eine andere Zeile zu addieren, die skaliert ist. Stellen Sie sich also eine Zeilenoperation vor$r_{1}$als$r_{1}'=r_{1}+kr_{2}$,$k$jede reelle Zahl. Verzweifeln Sie nicht, wenn Sie nicht verstehen, warum wir rudern, die Dinge werden sofort klar sein.

Nennen wir also B die neue Matrix, die nach dem Ersetzen erzeugt wird$r_{1}$von$r_{1}+kr_{2}$. So,$r_{1}'$mit einem Anführungszeichen wird die transformierte Version von sein$r_{1}$. Was würde mit Row(A) und Det(A) passieren? Sehen Sie, was mit Row(B) und Det(B) passiert, wenn wir uns geändert haben$r_{1}$Zu$r_{1}'=r_{1}+kr_{2}$mit unterschiedlichen Werten für$k$:

Das können wir also sehen$r_{1}'$bewegt sich parallel dazu$r_{2}$was offensichtlich ist, weil wir eine skalierte Version von hinzufügen$r_{2}$Zu$r_{1}$.

Angenommen, Sie haben Kenntnisse in "Parallelogrammbereichen", können Sie überprüfen, ob sich die Basis und die Höhe nicht ändern. Das bedeutet, dass die Fläche konstant bleibt, wenn eine Reihe skaliert zu einer anderen Reihe hinzugefügt wird, weil wir die Höhe nicht ändern, weil wir uns nie parallel bewegen. Also Det(A)=Det(B) .

Hier kommt also der MAGISCHE TEIL , den wir finden sollten$k$so dass wir die y-Komponente von eliminieren$r_{1}$Zeilenvektor (y-Komponente$=A_{12}=0$). Wenden Sie also die Zeilenoperation mit an$k=\frac{1}{2}$so dass$A_{12}=0$, wäre die transformierte Matrix:

$$\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 1.5 & 2 \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_1-\frac{1}{2}r_2} \left[ \begin{matrix} 2.25 & 0 \\ 1.5 & 2 \end{matrix} \right]$$

Unsere Matrix B hat also eine dreieckige Form, Zeile (B) sieht so aus:

Jetzt haben wir ein Parallelogramm mit Basislänge$=2.25$und Höhenlänge$=2$. Somit haben wir per Definition des Parallelogrammbereichs das$Det(A)=Det(B)=2.25*2=4.5$. Die Determinante ist also nur das Produkt der diagonalen Elemente der dreieckigen Matrixform, wir nennen sie die Stufenform. MAGIE

Wir könnten nach einem Rechteck suchen, das dieselbe Fläche wie Det(A) hat, indem wir diesen Vorgang wiederholen, aber dieses Mal die Zeilenoperation auf anwenden$r_{2}$so dass wir seine x-Komponente eliminieren (x-Komponente$=A_{21}=0$), so dass wir ein Rechteck mit der Fläche Det(B) erhalten, das die äquivalente Fläche wie Det(A) hat, aber das ist völlig unnötig, da es die Basis und Höhe des Parallelogramms nicht ändert. Jedenfalls für die Intuition dieses Prozesses$r_{2}'=r_{2}+kr_{1}'$würde aussehen wie:

So$k=-\frac{2}{3}\approx-0.66$.

$$\left[ \begin{matrix} 2.25 & 0 \\ 1.5 & 2 \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_{2}-\frac{2}{3}r_{1}'} \left[ \begin{matrix} 2.25 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right]$$

Wir haben, dass die Basis ist$2.25$und die Höhe ist$2$, also ist die Fläche des Rechtecks$Det(B)=4.5=Det(A)$. Die Determinante ist einfach das Produkt der Diagonalelemente der Diagonalmatrix.

Wir haben also gesehen, dass das Produkt der diagonalen Elemente einer umgewandelten Matrix in Dreiecksform uns die Determinante der Matrix liefert. Warum Dreiecksform? Vorstellen$x_{i}$das sein$i$Dimension, also fügt jeder Zeilenvektor in Stufenform der Matrix eine neue Komponente hinzu$i$Dimension, also fügt es in geometrischer Hinsicht eine Höhe zur Dimension hinzu.

Das Tolle an dieser Technik ist, dass sie auf alle n-Dimensionen angewendet werden kann und die Intuition dessen, was Sie tun, beibehält. Ich würde gerne den 3-D-Grafikbeweis präsentieren, aber es wäre eine Menge Arbeit, die Sie meiner Meinung nach mit ein wenig Vorstellungskraft erledigen könnten. Die Idee ist, dass Sie sich beim Hinzufügen einer maßstäblichen Version eines Vektors zu einem anderen Vektor parallel zur Hyperebene bewegen, in der sich dieser Vektor befindet, sodass die Höhe nicht geändert wird.

Ich versuche, mit dieser Bibliographie einen intuitiven und geometrischen Prozess zu machen:

• Serie Lineare Algebra - 3Blue1Brown (Youtube Channel) - Intuition über Determinanten.
• Eine Ableitung von Determinanten - Mark Demers. http://faculty.fairfield.edu/mdemers/linearalgebra/documents/2019.03.25.detalt.pdf - Für mathematische Genauigkeit und Intuition bei der Berechnung von Determinanten.

The determinant of a matrix gives the signed volume of the parallelepiped
that is generated by the vectors given by the matrix columns.

Eine sehr pädagogische Diskussion finden Sie auf Seite 16 von

Eine visuelle Einführung in Differentialformen und Analysis auf Mannigfaltigkeiten Fortney, JP

Link zum Google-Buch, klicken Sie auf "1 Hintergrundmaterial"

Gegeben ist ein Parallelepiped, dessen Kanten durch gegeben sind$v_1 , v_2 , \dots, v_n \in \mathbb{R}^n$. Dann, wenn Sie diese 3 Eigenschaften akzeptieren:

1. $D(I)=1$, Wo$I=[e_1,e_2,\dots,e_n]$(Identitätsmatrix)
2. $D(v_1,v_2,\dots,v_n)=0$Wenn$v_i=v_j$für alle$i\neq j$
3. $D$ist linear, $$\forall j,\ D(v_1,\dots,v_{j-1},v+cw,v_{j+1},\dots,v_n)=D(v_1,\dots,v_{j-1},v,v_{j+1},\dots,v_n)+cD(v_1,\dots,v_{j-1},w,v_{j+1},\dots,v_n)$$

das kannst du zeigen$D$ist das vorzeichenbehaftete Parallelepiped-Volumen und das$D$ist die Determinante.

Lassen$A _1, \ldots, A _n \in \mathbb{F} ^n$linear unabhängig (und damit eine Basis) sein. Also für jeden$b \in \mathbb{F} ^n,$es gibt einzigartige$x _1, \ldots, x _n$mit$x _1 A _1 + \ldots + x _n A _n = b.$
Aber es ist nicht klar, was die expliziten Werte von sind$x _i$s (im Sinne von$A _i$s und$b$) Sind.

Für jede lineare Karte$T : \mathbb{F} ^n \to \mathbb{F},$ $x _1 T(A _1) + \ldots + x _n T(A _n) = T(b).$
Wenn wir also (explizit) eine lineare Abbildung angeben können$T _1 : \mathbb{F} ^n \to \mathbb{F}$mit$T _1(A _2) = \ldots = T _1 (A _{n}) = 0$Und$T _1 (A _1) \neq 0,$ $x _1$kann berechnet werden als$x _1 = \frac{T _1(b)}{T _1(A _1)}.$
Im Allgemeinen, wenn wir lineare Abbildungen angeben$T _1, \ldots, T _n : \mathbb{F} ^n \to \mathbb{F}$mit$T _i (A _j) = 0$für$i \neq j$Und$T _i (A _i) \neq 0,$Die$x _i$s kann berechnet werden als$x _i = \frac{T _i(b)}{T _i(A _i)}.$

Wenn wir also irgendwie eine multilineare Karte konstruieren$f : \mathbb{F} ^n \times \ldots \times \mathbb{F} ^n \to \mathbb{F}$wo ich)$f(v _1, \ldots, v _n) = 0$wenn zwei Argumente gleich sind, und ii)$f(v _1, \ldots, v _n) \neq 0$wann immer$v _1, \ldots, v _n$linear unabhängig sind, sind wir fertig

Indem$T _j : \mathbb{F} ^n \to \mathbb{F},$

$$\text{ } T _j(v) = f(A _1, \ldots, \underbrace{v} _{j ^{th} \text{ pos.}}, \ldots, A _n).$$

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Es stellt sich heraus, dass eine solche Konstruktion möglich und bis zur Multiplikation mit Skalaren ungleich Null eindeutig ist. Vorbehaltlich der Normalisierungsbeschränkung$f(e _1, \ldots, e _n) = 1,$wir erhalten eine eindeutige Karte, die Determinante genannt wird.