Was ist mit den "Komponenten" des Operators gemeint?

Hinweis: Ich verwende durchgehend die Einstein-Summennotation . Jeder Ausdruck, der einen zweimal wiederholten Index hat, sollte so verstanden werden, dass er eine weggelassene, aber implizite Summierung über diesen Index hat.

Aufstellen

Betrachten Sie den Ausdruck

Wo$|v\rangle \in \mathcal{H}$ist ein abstrakter, endlichdimensionaler Vektor, der in einem Hilbert-Raum lebt und$T : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ist ein Operator auf dem Hilbert-Raum, der alte Vektoren auf neue Vektoren abbildet. Versuchen Sie, dem Vorstellungsdrang zu widerstehen$|v\rangle$als Spaltenvektor und$T$als Matrix. Wir haben noch keine Basis gewählt, daher könnten wir diese Arrays noch nicht mit Zahlen füllen. Das folgt in Kürze.

Die lineare Algebra lehrt uns, dass wir in einem endlichdimensionalen Vektorraum (der Hilbert-Raum ist ein Vektorraum) einen orthonormalen Satz von Vektoren finden können$\{|e_i\rangle\}$die linear unabhängig sind und den Vektorraum aufspannen. Letztere Tatsache bedeutet, dass jeder Vektor geschrieben werden kann

Erweitern eines Vektors in Komponenten

Hier${^e[v]_i}$ist der$i^{th}$Bestandteil von$v$in Bezug auf die Basis$\{e_i\}$.

Daran erinnern, dass BHs mögen$\langle e_i|$sind duale Vektoren, die auf Vektoren (Kets) wirken und Skalare zurückgeben. Einen BH auf einem Ket zu spielen, ist wie das Skalarprodukt der entsprechenden Vektoren zu nehmen, aber etwas allgemeiner für nicht-euklidische Räume (mit denen wir uns in der regulären Quantenmechanik sowieso nicht befassen).

Wir können den BH spielen$\langle e_j |$links von diesem Ausdruck und siehe

Ich habe die Orthonormalität der Basis für verwendet$\langle e_j |e_i \rangle = \delta_{ji}$. Wir sehen also, dass die$j^{th}$Bestandteil des Vektors$|v\rangle$in Bezug auf die Basis$\{e_i\}$(was wir nennen${^e[v]_j}$) ist genau$\langle e_j | v \rangle$. In der Dirac-Notation finden wir Komponenten von Dingen, indem wir "geschlossene" Klammerstrukturen konstruieren.

Erweitern eines Operators in Komponenten

Wie funktioniert das für Betreiber?

Hier habe ich gerade erweitert$|v\rangle$in seine Bestandteile. Beachten Sie, dass es so aussieht, als hätte ich den Operator gerade "gequetscht".$|e_j\rangle \langle e_j| = \sum_j |e_j \rangle \langle e_j|$zwischen$T$Und$|v\rangle$. Es stellt sich heraus, wegen der Vollständigkeit der Basis$\{|e_j\rangle\}$, Das$|e_j\rangle \langle e_j|$entspricht der Identität$I$damit du es überall reindrücken kannst. Dies ist von unbeschreiblichem Nutzen, wenn es darum geht, lineare Algebra in Dirac-Notation durchzuführen.*

Beachten Sie, dass die Konstruktion$\left(T|v\rangle\right) = |v'\rangle$ist nur gleichbedeutend mit einem anderen Ket. Lassen Sie uns die Komponenten dieses Ket finden, indem wir auf der linken Seite mit handeln$\langle e_i |$(Als würde man das Skalarprodukt mit nehmen$\langle e_i|$).

Jetzt die Menge$\langle e_i | T |e_j\rangle$ist ein Skalar und$\langle e_j |v\rangle$ist auch ein Skalar. Wir nennen die frühere Menge die$i, j$Komponente der Matrix, die den Operator darstellt$T$im$e$Basis. Vermuten$\{|f_i\rangle\}$ist eine weitere vollständige orthonormale Basis. Wir definieren dann

Falls wir links und rechts dieselbe Basis verwenden, haben wir${^e_e[T]_{ij}}$und wir könnten das Präsubskript weglassen.**

Matrixausdrücke

Dann können wir schreiben

Was wir hier getan haben, ist, dass wir den ursprünglichen, abstrakten und basisunabhängigen Ausdruck genommen haben$T|v\rangle$und stellte es als eine konkretere Matrixformel in Bezug auf eine bestimmte Basis dar.

Wir können es sogar als echten Matrixausdruck schreiben (im Gegensatz zu einem Ausdruck auf den skalaren Komponenten):

Wo${^e_e [T]}$ist ein$N\times N$Matrix und${^e[v]}$ist eine Länge$N$Spaltenvektor, dessen Komponenten beide oben beschrieben sind.

Diskussion

Sowohl die abstrakten als auch die konkreten Ausdrücke haben ihre Nützlichkeit. Der abstrakte Ausdruck ist nützlich für theoretische Manipulationen und Untersuchungen, während der konkrete Ausdruck besser dazu geeignet ist, tatsächliche numerische Lösungen für Probleme zu finden. Man könnte argumentieren, dass die Koordinatendarstellung intuitiv klarer ist, aber ich würde argumentieren, dass die koordinatenfreie Darstellung mehr Flexibilität bietet und dass es am besten ist, wenn man für die abstrakten Ausdrücke genauso viel Intuition aufbauen kann wie für die Koordinatenausdrücke.

Direkte Antwort auf die Frage

Um die Frage konkret zu beantworten: "Was versteht man unter den Komponenten eines Operators?".

Die intuitive Antwort ist, dass die Komponenten eines Operators die Matrixelemente des Operators sind, wenn er als Matrix in Bezug auf eine bestimmte Basis dargestellt wird. Mathematisch gesehen sind die Komponenten eines Operators die skalaren Ergebnisse, wenn ein Operator zwischen einem BH und einem Ket eingeklemmt wird. Speziell,

Dies ist das$i, j$Bestandteil von$T$in Bezug auf die Basis$\{|e_i\rangle\}$.

Eine geometrische Interpretation

Eine geometrische Interpretation für die Komponenten eines Operators:

Wir können das sehen${^e_e [T]_{ij}}$gibt uns die$i^{th}$Bestandteil von$|e'_j\rangle = T|e_j\rangle$. Das heißt, wie viel tut$T$schräg die$|e_j\rangle$Basisvektor in die$|e_i \rangle$Richtung.

Fußnoten

*Wichtig für die Verwendung der Identitätsauflösung ist auch, dass Sie den Operator nehmen können$(|e_i\rangle \langle e_j|$und "teilen Sie es auf", so dass der Ket auf der linken Seite an dem "befestigt" wird, was links von der Auflösung ist, und der BH auf der rechten Seite an dem, was rechts ist "befestigt". Um dies zu beweisen, müssen Sie einige Dinge definieren und einige Dinge über Klammern beweisen. Ich mache es hier nicht, sondern möchte nur feststellen, dass unter der Haube ein bisschen mehr steckt, was ins Auge fällt. Diese Fließfähigkeit der Klammern (und die Möglichkeit, sich keine Gedanken darüber zu machen) ist die andere Sache, die die Dirac-Notation so großartig macht.

**Und tatsächlich schreiben die meisten Autoren weder Prä-Sub- oder Hochstellungen noch die Klammern noch irgendetwas. Als was ich schreibe${^e_e[T]_{ij}}$wird als gesehen$T_{ij}$. Während aus dem Kontext normalerweise klar ist, auf welcher Grundlage wir arbeiten, kann es für Studienanfänger verwirrend sein, den Unterschied zwischen ihnen zu verstehen$T$Und$T_{ij}$ohne die zusätzliche Notation, die ich eingefügt habe. Daher diese Frage.

Gibt es dafür eine geometrische Deutung?

Ja. Ohne hier zu streng zu sein, wenn Sie einen Operator mit einer Matrix und ein Ket mit einem Spaltenvektor identifizieren, dann wird aus der linearen Algebra, wenn Sie eine Matrix mit einem Basisspaltenvektor (unter der Annahme der Standardbasis ) multiplizieren, nur die herausgegriffen Spalte in der Matrix, die dem Index des Nicht-Null-Eintrags entspricht. Z.B

war$\vec\varepsilon_1$&$\vec\varepsilon_2$sind die Verwandelten$\hat e_1$&$\hat e_2$, bzw. Mit anderen Worten, die Spalten der Matrix sind die neuen Basisvektoren, ausgedrückt in Standardbasis–Komponenten. Die Wirkung der Matrix kann als Neuorientierung und Rückruf der Koordinatenachsen verstanden werden. Die Transformation eines Vektors bringt ihn an seinen entsprechenden Platz in der neuen Basis.

Beachten Sie, dass ein Vektor$\vec v = (x, y)$kann geschrieben werden als$\vec v = x \hat e_1 + y \hat e_2$, oder in Matrixschreibweise:

und so

Sie können dasselbe für die transformierten Basisvektoren tun, wodurch wiederum der von Ihnen angeforderte Ausdruck wiederhergestellt wird.

Wenn

dann ist die$\color{red}{j=1}$Fall, Iteration über$i$)

und das$\color{red}{j=2}$Fall, Iteration über$i$)

Mit anderen Worten

Kurzform für

(Hinweis: In Ihrer Frage haben Sie ursprünglich fälschlicherweise über j in der Summe iteriert.)

Übrigens, BHs als Zeilenvektoren behandeln, tun$\hat e_i^T M$wählt eine Zeile aus, und$\hat e_i^T M \hat e_j$holt die heraus$m_{ij}$Komponente:

So,$a_{ij} = \langle e_i|A|e_j\rangle$.

Die Form eines Operators, der unter einem Basisvektor ausgedrückt wird, ist eine Matrix. Die "Komponenten des Operators" sind die Elemente der Matrix.

Matrixelemente eines Operators

Was Sie beschreiben, sind die sogenannten Matrixkomponenten eines Operators, nicht seine Komponenten. Ein linearer Operator auf a$d$Der dimensionale Hilbert-Raum kann durch Angabe von vollständig und konsistent beschrieben werden$d\times d$innere Produkte$\langle e_i\vert A\vert e_j\rangle$in jeder vollständigen orthonormalen Basis$\{e_i\}$Wo$i,j=1,2,...,d$. Diese Zahlen können als Bildung von a angesehen werden$d\times d$Matrix mit seinen$ij^\mathrm{th}$Komponente$A_{ij}$gegeben von$\langle e_i\vert A\vert e_j\rangle$. Also natürlich die$\langle e_i\vert A\vert e_j\rangle$s heißen die Matrixelemente des Operators$A$. Sobald Sie diese Matrixelemente in einer gegebenen Basis angegeben haben, können Sie den Operator natürlich basisunabhängig darstellen als$A=\sum_{i,j}A_{ij} \vert i\rangle\langle j\vert$.

Ich glaube nicht, dass es eine kontextunabhängige Möglichkeit gibt, ihnen eine geometrische Bedeutung zuzuschreiben.

Komponenten eines Operators

Interessanterweise gibt es einen Sinn, in dem Sie über die Komponenten eines Operators sprechen können, der über dem Hilbert-Raum definiert ist, wenn Sie möchten.

Die Menge aller Operatoren auf einem Hilbert-Dimensionsraum$d$bilden a$2d^2$eigenen dimensionalen Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen mit dem inneren Produkt zweier Operatoren$A, B$(die Vektoren in diesem Vektorraum der Operatoren sind) ist durch die Spur gegeben$\mathrm{Tr}(B^\dagger A)$. So können Sie einen Basissatz von wählen$2d^2$orthonormale Operatoren$O_i$für diesen Vektorraum von Operatoren und Sie können einen Operator vollständig und widerspruchsfrei beschreiben$A$indem seine Erweiterung im Basissatz als angegeben wird$A=\sum_i \mathrm{Tr}(O_i^\dagger A)O_i$. Jetzt können Sie die behandeln$\mathrm{Tr}(O_i^\dagger A)$als Komponenten des Operators$A$in der Grundlage$\{O_i\}$.

Das hat man dir sicher beigebracht$A_{ij}\equiv \langle e_i|A|e_j\rangle$, ebenso gut wie

Die Komponenten (Matrixelemente in einer Basis) sind Zahlen, die beliebig in Vektoren platziert werden können. Sie multiplizieren alle Komponenten eines Vektors matrixartig, um Ihnen alle Komponenten des linearen Bildvektors zu geben.

Es ist einfach nur lineare Algebra, die kaum mehr Bedeutung hat als die Standardoperation einer Matrix auf Vektoren: Drehungen, Spiegelungen, Scherungen und Skalierungen, erweitert auf den komplexen Bereich.

Was sind diese "Komponenten" von Operatoren, die ich erhalte? Gibt es dafür eine geometrische Deutung?

Du hast ja schon geschrieben was du beim Betreiber bekommst$A$arbeitet auf einem Basisvektor$|e_j\rangle$:

$$A|e_j\rangle = \sum_{i=1}^n A_{ij}|e_i\rangle$$

Wir können den Betreiber vertreten$A$durch seine Matrix (mit Matrixelementen$A_{kl}=\langle e_k|A|e_l\rangle$) und die Basiszustände$|e_k\rangle$durch Spaltenvektoren (mit a$1$in Reihe$k$, Und$0$anderswo). Mittels Matrizenmultiplikation erhalten wir:

Sie haben also eine geometrische Interpretation der$j$te Spalte der Matrixelemente von$A$. Sie sind die Vektorkomponenten von$A|e_j\rangle$in der Grundlage$\{|e_1\rangle, ..., |e_n\rangle\}$.