Was mache ich falsch bei dieser Ungleichheit?

Q. Die Lösungsmenge der Ungleichung

| | X | − 1 | < | 1 − X | , X ∈ R

Meine Lösung:
Fall1: Wenn X ≥ 0

| | X | − 1 | < | 1 − X |
=> | X − 1 | < | 1 − X |
Daher S1 => X ∈ ∅

Fall2: Wenn X < 0
| | X | − 1 | < | 1 − X |
=> | − X − 1 | < | 1 − X |
=> | X + 1 | > | X − 1 |
=> | X + 1 | − | X − 1 | > 0

Kritische Punkte sind -1 und 1

Unterfall1: Wenn X < − 1
| X + 1 | − | X − 1 | > 0
=> − ( X + 1 ) − [ − ( X − 1 ) ] > 0
=> − 2 > 0
Daher SubSolution1 => X ∈ ∅

Unterfall2: Wenn − 1 < X < 1 <br | X + 1 | − | X − 1 | > 0
=> X + 1 − [ − ( X + 1 ) ] > 0
=> X > 0
Daher SubSolution2 => X ∈ ( 0 , 1 )

Unterfall 3: Wenn X > 1
| X + 1 | − | X − 1 | > 0
=> X + 1 − ( X − 1 ) > 0
=> 2 > 0
Daher SubSolution3 => X ∈ ( 1 , ∞ )
Daher Lösung2 => S u B S Ö l u T ich Ö N 1 ∪ S u B S Ö l u T ich Ö N 2 ∪ S u B S Ö l u T ich Ö N 3
=> ∅ ∪ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , ∞ )
=> ( 0 , ∞ )

Endgültige Lösung => S 1 ∪ S 2
=> ∅ ∪ ( 0 , ∞ )
=> ( 0 , ∞ )

Aber die eigentliche Antwort ist ( − ∞ , 0 )

Nun, zunächst einmal: Im Fall 2, wo Sie vermuten X < 0 , sollten Ihre Unterfälle keine nichtnegativen Werte von enthalten X . So hätte zum Beispiel Subcase 3 niemals berücksichtigt werden dürfen. (Das ist aber nicht der einzige Fehler...)
Ich denke, ein Fehler ist, wenn Sie in Fall 2 von der zweiten zur dritten Zeile wechseln. Sie multiplizieren nicht wirklich mit − 1 seit | − 1 − X | = | 1 + X |
verwenden | 1 − X | = | X − 1 | und wahrscheinlich finden Sie Ihren Fehler. Oder setzen Sie einfach eine positive Zahl für x ein, um zu sehen, dass Sie falsch liegen
Warum nicht einfach die Ungleichung quadrieren? Wir bekommen
0 < ( | X | − 1 ) 2 < ( 1 − X ) 2 ⟺ | X | > X ,
das ist X < 0 .

Antworten (3)

In Ihrem Fall 2 Ihre Implikation | − X − 1 | < | 1 − X | impliziert | X + 1 | > | 1 − X | ist falsch wie

| − X − 1 | = | X + 1 | < | 1 − X |

Vielen Dank an alle, aber können Sie bitte erklären, wie | − X − 1 | = | X + 1 | ?
@swarnim Im Allgemeinen | − j | = | j | . Versuchen j = X + 1.
@swarnim schau zurück auf die Definition von | X |
Ohh, jetzt verstehe ich es😅. | − X − 1 | = | − ( X + 1 ) | . Danke

Hier ist es aus Neugier eine andere Möglichkeit, sich ihm zu nähern.

Da beide Seiten nichtnegativ sind, können wir sie quadrieren, sodass wir eine äquivalente Ungleichung erhalten:

| | X | − 1 | < | 1 − X | ⟺ ( | X | − 1 ) 2 < ( 1 − X ) 2 ⟺ X 2 − 2 | X | + 1 < 1 − 2 X + X 2 ⟺ | X | > X

was wahr ist, wenn X ∈ ( − ∞ , 0 ) , und wir sind fertig.

Hoffentlich hilft das!

Ich bin mir nicht sicher, ob dies im Sinne der Frage ist, aber wir können die Ungleichung auch lösen, indem wir den Graphen zeichnen oder einfach visualisieren | 1 − X | = | X − 1 | Und | | X | − 1 | .

Zuerst können Sie plotten | X − 1 | welches ist | X | Kurve um eine Einheit nach rechts verschoben. Jetzt in der anderen Kurve X wird ersetzt durch | X | In | X − 1 | was seinen Graphen nur für Negativ anders macht X wo die Kurve | | X | − 1 | ist Reflexion von | X − 1 | um j − A X ich S .

Nun kann leicht festgestellt werden, dass die Ungleichheit für alle erfüllt ist X < 0 .

Ja, ich habe auch solche Methoden gesehen, aber können Sie mir ein Tutorial zeigen, das zeigt, wie man solche Graphen erstellt? (Ich weiß, wie man den Graphen von Ungleichungen in 2 Variablen erstellt)
@swarnim Ein Tutorial? Auf dieser Plattform. Ich weiß nicht, wie das erreicht werden kann. Wenn Sie wissen möchten, wie oder warum diese grafischen Transformationen funktionieren, können Sie jedes Buch über Kalküle auf Grundniveau lesen. Ich füge hier eine Referenz hinzu. facultymembers.sbu.ac.ir/shahrokhi/stewart.pdf Lesen Sie ab Seite 36.
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