Was sind bei gegebenem r/a die Grenzen für die Richtung, in die sich ein umlaufender Körper bewegen könnte (z. B. Raumwinkel vs. r/a)?

Der Richtung sind keine Grenzen gesetzt.

Die Vis-viva-Gleichung gibt Ihnen eine Geschwindigkeit. Unter der Annahme von Punktmassen und dem Festhalten an der klassischen Mechanik kümmert sich die Vis-Viva-Gleichung überhaupt nicht darum, in welche Richtung Sie Ihre Geschwindigkeit richten; Es ist lediglich eine Gleichung, die darauf basiert, wie die gesamte Umlaufbahnenergie (die für alle Umlaufbahnen mit derselben großen Halbachse um denselben Körper gleich ist) zwischen Gravitationspotentialenergie und kinetischer Energie verteilt werden muss.

Für Keplersche Bahnen gelten die einzigen Einschränkungen$r$Und$a$Sind:

• $r$wird ein positiver Wert sein.
• $a$muss ungleich Null sein.
• Wenn$a$ist positiv (bedeutet eine elliptische Umlaufbahn),$r$wird nie überschreiten$2a$(Wenn$r$=$2a$, Sie betrachten die Apoapsis der linear entarteten Ellipse)
• Wenn$a$ist negativ (was eine hyperbolische Bahn bedeutet),$r$kann ein beliebiger positiver Wert sein, den Sie wählen.

Um es anders auszudrücken, durch die vis-viva-Gleichung, wenn ein radialer Abstand gegeben ist$r$und eine große Halbachse$a$um einen Gravitationskörper definiert einen Orbitalgeschwindigkeitswert$v$. Unter den idealen Newtonschen Bedingungen mit zwei Körpern zeigt diese Geschwindigkeit unabhängig davon, in welche Richtung Sie zeigen$v$, befinden Sie sich immer in einer keplerschen Umlaufbahn/Trajektorie.

Ergänzende Antwort, die @notovny bestätigt, ist richtig!

Während vis-viva Ihnen die Geschwindigkeit gibt, scheinen anscheinend noch alle Richtungen möglich zu sein!

Es scheint, dass ich mich dieses Mal selbst verwirrt habe.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

halfpi, pi, twopi   = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]
r       = 1.0
answerz = []
titles  = []

for r_over_a in (0.7, 1.4):
    titles.append('r/a = ' + str(round(r_over_a, 2)))
    answers = []
    a     = r / r_over_a
    T     = twopi * np.sqrt(a**3)
    times = np.linspace(0, T, 1001)
    v0    = np.sqrt(2./r - 1./a)

    thetas = np.linspace(0, pi, 8)[:-1] # make the result odd to avoid singularity

    for theta in thetas:
        s, c = [f(theta) for f in (np.sin, np.cos)]
        X0   = np.array([r, 0, s*v0, c*v0])
        answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True)
        answers.append(answer)
    answerz.append(answers)

if True:
    fig = plt.figure()
    for i, (title, answers) in enumerate(zip(titles, answerz)):
        ax  = fig.add_subplot(2, 1, i+1)
        for a in answers:
            x, y = a.T[:2]
            ax.plot(x, y)
        ax.plot([0], [0], 'oy', markersize=12)
        ax.set_aspect('equal')
        ax.set_title(title, fontsize=16)
    plt.show()