Was sind die Unterschiede zwischen der Differential- und der Integralform von (zB Maxwell'schen) Gleichungen?

Die Gleichungen sind völlig äquivalent, wie mit den Sätzen von Gauß und Stokes bewiesen werden kann.

Die Integralformen sind am nützlichsten, wenn es um makroskopische Probleme mit hohen Symmetriegraden geht (z. B. sphärische oder axiale Symmetrie; oder, in Anlehnung an die folgenden Kommentare, Linien-/Flächenintegrale, bei denen das Feld entweder parallel oder senkrecht zum Linien-/Flächenelement ist ).

Die differentiellen Formen sind streng lokal – sie befassen sich mit Ladungs- und Stromdichten und Feldern an einem Punkt in Raum und Zeit. Die Differentialformen sind viel einfacher zu manipulieren, wenn es um elektromagnetische Wellen geht; sie machen es viel einfacher zu zeigen, dass die Maxwell-Gleichungen in einer kovarianten Form geschrieben werden können, die mit der speziellen Relativitätstheorie kompatibel ist; und viel einfacher in einen Computer zu stecken, um numerische Elektromagnetismus-Berechnungen durchzuführen.

Ich würde denken, dass diese drei Punkte auf jedes System von Differential- und Integralformen in der Physik verallgemeinert werden können.

Ihre Verwirrung liegt darin, dass Sie nicht erkennen, dass es sich um genau dieselben Gleichungen handelt. Nehmen Sie zum Beispiel das Gaußsche Gesetz:

$$\vec \nabla \cdot \vec E = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$$ Das sieht man dort$\rho$ist die Ladungsverteilung und kann im Allgemeinen eine Funktion der Position sein.

Betrachten Sie nun ein Volumen$V$, können Sie einfach die Dichte integrieren, um die Gesamtladung im Volumen zu erhalten, aber Sie können auch den elektrischen Feldgradienten integrieren, um ein Maß für das elektrische Feld zu erhalten

$$\vec \nabla \cdot \vec E = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \hskip 30pt / \int_V dV$$

$$\int_V \vec \nabla \cdot \vec E dV = \int_V \dfrac{\rho}{\epsilon_0} dV$$

Jetzt können Sie den Divergenzsatz auf der linken Seite anwenden.

$$\vec \nabla \cdot \vec E = \iiint_V \vec \nabla \cdot \vec E = \iint_S E\cdot d\vec S$$

Hier$S$ist die Oberfläche des Volumens und$d\vec S$ist das Flächenelement der Oberfläche, das senkrecht zur Oberfläche aus dem Volumen heraus zeigt, so ist die Gleichung endgültige Form

$$\iint_S E\cdot d\vec S = \iiint_V \dfrac{\rho}{\epsilon_0} dV$$

Abgesehen von der Konvention ist die gleiche Gleichung wie in Wikipedia gezeigt. Sie können genau das Gleiche mit jeder der Maxwell-Gleichungen tun, indem Sie das Divergenz-Theorem und das Stokes-Theorem verwenden

Nun, welcher ist welcher. Wenn Sie sich die Gleichungen ansehen, werden Sie sehen, dass jede Gleichung in der Differentialform a hat$\overrightarrow{\nabla}$-Operator (der ein Differentialoperator ist), während die integrale Form keinen räumlichen Differentialoperator hat, sondern die Terme der Gleichungen integriert.

Letztendlich spielt es keine Rolle, welche verwendet werden soll, da es sich um genau dieselben Gleichungen handelt, und um viele Probleme zu lösen, müssen Sie die Gleichungen sowieso integrieren. Davon abgesehen gehe ich gerne von der Differentialform aus und integriere bei Bedarf die Gleichungen.

All dies sagt Ihnen, dass die Felder sowohl die Integral- als auch die Differentialgleichungen erfüllen. Die beiden sind durch die mathematischen Identitäten verbunden, die als Divergenzsatz und Satz von Stokes bezeichnet werden .

Also was bewirbst du dich? Nun, was auch immer Sie wollen! Wenn Sie auf ein Integral stoßen, verwenden Sie die Integralform, und wenn Sie jemals nach der Divergenz oder Kräuselung der elektromagnetischen Felder gefragt werden, wissen Sie genau, was es ist, ohne es überhaupt zu versuchen!

Ich möchte auch auf die Unterschiede zwischen der Maxwell-Faraday-Gleichung und dem Faradayschen Gesetz selbst hinweisen ( emf = -d / dt (magnetischer Fluss)). Das Faradaysche Gesetz kann in Kombination mit der Maxwell-Faraday-Gleichung zeigen, dass die Gesamt-EMK aufgrund JEDER Flussänderung gleich EMF =int (e+Vxb).dl ist, was der Transformator-EMK entspricht, und auch der Bewegungs-EMK (aufgrund von Magnet Gewalt)

Die Maxwell-Faraday-Gleichung beruht nur auf einer induzierten Elektrizität, aber das Faradaysche Gesetz beruht auf Transformator + Bewegungs-EMK.

Tut mir leid, wenn das nicht relevant ist, aber ich fand es erwähnenswert, da dazu auch die Lorentz-Kraft gehört, die genauso wichtig ist wie die Maxwell-Gleichungen. Aktuelle Ableitung hier:

https://en.wikipedia.org/wiki/Faraday's_law_of_induction