Welche interessanten Probleme der Variationsrechnung gibt es? [geschlossen]

Hier ist eine, die ich mir gerade ausgedacht habe, aber sie hat einen netten Geschmack – nehmen wir an, Sie haben eine 2-D-Kugel, die sehr schnell durch ein 2-D-Gas fliegt. Die Gasmoleküle werden spiegelnd von der Kugel reflektiert und verursachen flüchtige Kollisionen. Welche Geschossform eines festen Bereichs hat den geringsten Luftwiderstand?

Dieses Problem gibt

Und die Gleichung für y', die Sie erhalten, ist

oder

Die Sie durch Einstecken in einer Reihe lösen können$y={\lambda x^2\over 2}$und einige Male iterieren, wobei die obige Beziehung als Rekursion verwendet wird.

Während des Studiums der klassischen Mechanik habe ich folgende Simulation gemacht:

1. Betrachten Sie eine Bewegung im Coulomb-Potential:$U(r) = \frac{\alpha}{r}$
2. Anfangs- und Endpunkt festlegen$p_1$Und$p_2$, und betrachten Sie verschiedene Pfade in einem Formular: $$p_1 + (p_2 - p_1)\lambda + \vec{a}\sin(\pi\lambda) + \vec{b}\sin(2\pi\lambda) + \vec{c}\sin(3\pi\lambda)$$ Wo$\lambda$ist der Parameter auf unserem Weg und$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$sind 2D-Vektoren, die es parametrisieren.
3. Nehmen Sie einige anfängliche Parameter$(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$und berechnen Sie die Wirkung entlang des Pfades mit Hilfe des Maupertuis-Prinzips .
4. Nehmen Sie eine kleine zufällige Änderung vor$\vec{a}' = \vec{a} + \mbox{random },\vec{b}' = \vec{b} + \mbox{random }$Und$\vec{c}' = \vec{c} + \mbox{random}$.
5. Berechnen Sie die Aktion für$(\vec{a}',\vec{b}',\vec{c}')$Parameter. Wenn die Aktion kleiner wird – ersetzen Sie die Parameter durch neue Werte$\vec{a}=\vec{a}',\vec{b}=\vec{b}',\vec{c}=\vec{c}'$.
6. Gehen Sie zu Schritt 4.

Hier ist, was ich am Ende habe:

Hier$\alpha = -200, p_1 = (0,-5)$Und$p_2 = (0.17,-0.17)$.
Die Zahlen oben sind: links ("Шаг") -- ist eine Schrittnummer in der Simulation, rechts ("Действие") -- ist der Wert der Maupertuis-Aktion.

Rote und grüne Linien sind reale Trajektorien im Potential und die schwarze Linie ist meine "Test-Trajektorie". Man kann also sehen, dass der einfache Random Walk im Parameterraum einige der realen Pfade des Körpers finden kann.