Welche Schritte sind erforderlich, um nach der Ableitung des Kapitals Pi zu lösen?

Ich habe eine Funktion, die verallgemeinert werden kann als Π k = 1 k v ( k X k ) . v ist in diesem Fall eine weitere differenzierbare Funktion. Ich versuche, die Ableitung dieser Funktion in Bezug auf x zu finden, und ich habe die verallgemeinerte Produktregel gefunden, aber ich kann nicht herausfinden, wie ich die Kettenregel auf die verallgemeinerte Produktregel anwenden soll, wie sie in Wikipedia angegeben ist. Vielen Dank für Ihre Zeit.

Können Sie bitte klarstellen, was ist v ? Wenn es sich um eine Konstante handelt, ist die Kettenregel seit dem Produkt nicht erforderlich ∏ k = 1 N v ( k X k ) ist dann gleich v N ! X N ( N + 1 ) / 2 . Ist v selbst eine Funktion in X ?
@RandyMarsh, ja, das ist eine Funktion, sorry für die Verwirrung

Antworten (1)

Lassen F ( X , N ) = ∏ k = 1 N v ( k X k ) . Dann können wir schreiben

F ( X , N ) = v ( N X N ) ∏ k = 1 N − 1 v ( k X k ) = v ( N X N ) F ( X , N − 1 ) .
Dann
F ' ( X , N ) = v ' ( N X N ) N 2 X N − 1 F ( X , N − 1 ) + v ( N X N ) F ' ( X , N − 1 ) .
Jetzt F ' ( X , N − 1 ) kann auf die gleiche Weise berechnet werden, also
F ' ( X , N ) = v ' ( N X N ) N 2 X N − 1 F ( X , N − 1 ) + v ( N X N ) [ v ' ( ( N − 1 ) X N − 1 ) ( N − 1 ) 2 X N − 2 F ( X , N − 2 ) + v ( ( N − 1 ) X N − 1 ) F ' ( X , N − 2 ) ]
= N 2 v ' ( N X N ) F ( X , N − 1 ) X N − 1 + ( N − 1 ) 2 v ( N X N ) F ( X , N − 2 ) v ' ( ( N − 1 ) X N − 1 ) X N − 2 + v ( N X N ) v ( ( N − 1 ) X N − 1 ) F ' ( X , N − 2 )
Dies endet schließlich als Summe von N Bedingungen, mit der J -ten Term (derjenige, der enthält X J − 1 ) Sein
J 2 X J − 1 [ v ( N X N ) ⋅ v ( ( N − 1 ) X N − 1 ) ⋯ v ( ( J + 1 ) X J + 1 ) ⋅ v ( ( J − 1 ) X J − 1 ) ⋯ v ( X ) ] v ' ( J X J ) .
Das Produkt in den eckigen Klammern ist fast das gesamte Produkt ∏ k = 1 N v ( k X k ) , jedoch der Faktor v ( J X J ) wurde weggelassen. Daher können wir das Produkt in den eckigen Klammern kompakt schreiben als
1 v ( J X J ) ∏ k = 1 N v ( k X k ) = F ( X , N ) v ( J X J ) .
Alle zusammen bekommen wir
F ' ( X , N ) = ∑ J = 1 N J 2 X J − 1 v ( J X J ) F ( X , N ) v ' ( J X J ) = F ( X , N ) ∑ J = 1 N J 2 X J − 1 v ' ( J X J ) v ( J X J ) .

Welche Schritte sind erforderlich, um nach der Ableitung des Kapitals Pi zu lösen?
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