Wenn p,q,rp,q,rp,q,r Längen von Senkrechten von Ecken des Dreiecks ABCABCABC auf irgendeiner Geraden sind, beweise a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p )+c2(r−p)(r−q)=4Δ2a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p)+c2(r−p)(r−q)= 4Δ2a^2(pq)(pr)+b^2(qr)(qp)+c^2(rp)(rq)=4\Delta^2

Lassen :

A := ( X 1 , j 1 ) ,
B := ( X 2 , j 2 ) ,
C := ( X 3 , j 3 )
seien die Eckpunkte des Dreiecks A B C . Betrachten Sie eine beliebige gerade Linie in senkrechter Form X cos ⁡ θ + j Sünde ⁡ θ − T = 0 . Dann sind die Längen der Senkrechten von den Eckpunkten des Dreiecks:
P = X 1 cos ⁡ θ + j 1 Sünde ⁡ θ − T ,
Q = X 2 cos ⁡ θ + j 2 Sünde ⁡ θ − T ,
R = X 3 cos ⁡ θ + j 3 Sünde ⁡ θ − T .
Außerdem sind die Seitenlängen des Dreiecks:
A 2 = ( X 3 − X 2 ) 2 + ( j 3 − j 2 ) 2 ,
B 2 = ( X 1 − X 3 ) 2 + ( j 1 − j 3 ) 2 ,
C 2 = ( X 2 − X 1 ) 2 + ( j 2 − j 1 ) 2 .
Mit den obigen Werten habe ich versucht, die LHS zu bewerten, um das gewünschte Ergebnis zu beweisen, aber dieser Weg ist zu mühsam. Kann mir jemand einen besseren Beweis empfehlen?

Hier ∆ ist die Fläche des Dreiecks.
Ich denke, Sie verwenden wahrscheinlich "vorzeichenbehaftete Längen", und wenn ja, sollte dies in der Problembeschreibung klar angegeben werden. Das heißt, Sie legen eine Richtung positiv und die andere negativ fest. Wenn die gerade Linie das Dreieck durchschneidet und Sie keine vorzeichenbehaftete Länge verwenden, befürchte ich, dass die Behauptung falsch ist.
@Batominovski, das eigentliche Problem (wie im Lehrbuch erwähnt) berücksichtigt jede gerade Linie und sagt nichts darüber aus, ob die Längen signiert sind oder nicht.
Dann schlage ich vor, dass Sie trotzdem "vorzeichenbehaftete Längen" hinzufügen, da das Problem ohne Verwendung von vorzeichenbehafteten Längen falsch ist.
@JeanMarie Das liegt daran, dass die Senkrechten nicht die Höhen des Dreiecks sind. Lassen Sie mich das Problem wiederholen. Es gibt ein Dreieck A B C und es gibt eine feste gerade Linie l . Projekt A , B , Und C orthogonal auf l um die Punkte zu bekommen X , Y , Und Z , bzw. Dann, P , Q , Und R sind die vorzeichenbehafteten Längen A X , B Y , Und C Z .
@Batominovski Danke! Ich hatte die Frage nicht gut gelesen! Verzeihung. Ich lösche meine dummen Bemerkungen.

Antworten (1)

Hinweis. Lassen

F ( u , v , w ) := ( v − w ) 2 ( P − Q ) ( P − R ) + ( w − u ) 2 ( Q − R ) ( Q − P ) + ( u − v ) 2 ( R − P ) ( R − Q ) .
Beachten Sie das
F ( u , v , w ) = ( ( v − w ) P ) 2 + ( ( w − u ) Q ) 2 + ( ( u − v ) R ) 2 A A A A A + 2 ( ( w − u ) Q ) ( ( u − v ) R ) + 2 ( ( u − v ) R ) ( ( v − w ) P ) + 2 ( ( v − w ) P ) ( ( w − u ) Q ) .
Deshalb,
F ( u , v , w ) = ( det ( M ( u , v , w ) ) ) 2 ,
Wo
M ( u , v , w ) := [ 1 P u 1 Q v 1 R w ] .

Ich denke, die Parameter u , v , w sind die drei Ecken des Dreiecks.
Nicht ganz. Behandeln Sie die gerade Linie als die X -Achse. Dann die Koordinaten der Punkte A , B , Und C Sind ( u , P ) , ( v , Q ) , Und ( w , R ) , bzw. Dann ist Ihr Ausdruck gleich F ( P , Q , R ) + F ( u , v , w ) , aber natürlich, F ( P , Q , R ) = 0 .
Ich sehe nicht, wie die Parameter zum Definieren verwendet werden können v − w := A , w − u := B , u − v := C liefert ein unerwartetes Ergebnis, A + B + C = 0 . Außerdem müssen wir eliminieren P , Q , R aus dem Ausdruck von det A .
Das habe ich nicht getan. Das merken Sie A 2 = ( Q − R ) 2 + ( v − w ) 2 , B 2 = ( R − P ) 2 + ( w − u ) 2 , Und C 2 = ( P − Q ) 2 + ( u − v ) 2 . Und der absolute Wert von det ( M ( u , v , w ) ) ist genau doppelt so groß wie die Fläche des Dreiecks mit Eckpunkten A ( u , P ) , B ( v , Q ) , Und C ( w , R ) . (Ich habe den Namen der Matrix geändert in M damit wir es nicht mit dem Punkt verwechseln A .)
Schöne Lösung.......
Wenn p,q,rp,q,rp,q,r Längen von Senkrechten von Ecken des Dreiecks ABCABCABC auf irgendeiner Geraden sind, beweise a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p )+c2(r−p)(r−q)=4Δ2a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p)+c2(r−p)(r−q)= 4Δ2a^2(pq)(pr)+b^2(qr)(qp)+c^2(rp)(rq)=4\Delta^2
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