Wenn wir einen "perfekt effizienten" Computer und die gesamte verfügbare Energie der Milchstraße hätten, bis zu welcher Zahl könnte er zählen?

Ein "perfekt effizienter" Computer kann viele Dinge bedeuten, aber für die Zwecke dieser Antwort nehmen wir an, dass es sich um einen reversiblen Computer handelt (der im Folgenden weiter erklärt wird).

Die theoretische untere Grenze des Energiebedarfs beim Rechnen ist die Landauer -Grenze , die besagt, dass das Vergessen einer Information einen Arbeitsaufwand in Höhe von erforderlich macht$k\,T\,\log 2$um den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zu erfüllen. Wenn der Computer reversibel ist, dh sein Zustand zu jeder Zeit kann auf seinen Zustand zu jeder anderen Zeit geschlossen werden, dann gibt es keine theoretische Untergrenze für seinen Energiebedarf. Mit Zustand meinen wir hier den computertheoretischen Zustand der CPU, nicht den physikalischen Quantenzustand (ersterer ist ein sehr kleiner Teil des letzteren; mikroskopische Gesetze sind umkehrbar, so dass theoretisch immer auf den vollen Quantenzustand zu jeder Zeit geschlossen werden kann jederzeit den vollen Quantenzustand). Ein Beispiel für eine nicht umkehrbare Berechnung ist eine, bei der Sie zwei Zahlen addieren und das Ergebnis über den Speicher schreiben, der zuvor von den Summanden belegt war. Die beiden Summanden können nicht aus dem Zustand des Computers abgeleitet werden ( dhdie Summe), nachdem die Addition stattgefunden hat. Kurz gesagt, der Grund für diese Situation ist, dass, wenn Ihre Berechnung vergisst, die Natur es nicht tut, also wenn Sie die Erinnerung löschen, dann muss diese „gelöschte“ Information irgendwie verschlüsselt im vollen Quantenzustand des Computers landen, da mikroskopische Gesetze tatsächlich umkehrbar sind. Die einzige Möglichkeit, wie ein System „mehr Informationen aufnehmen“, dh seine Vergangenheit vollständig in seinem Quantenzustand verschlüsseln kann, besteht darin, auf immer mehr Quantenzustände zuzugreifen, und das bedeutet fast immer, dass es heißer wird [siehe 1]. Irgendwann müssen Sie also Energie hinzufügen, um dies zu erreichen, und schließlich müssen Sie den Computer kühlen, damit er funktioniert. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik zeigt dann, dass wir, wenn wir den Computer in einem konstanten Makrozustand halten wollen, den von Landauer vorgeschriebenen Arbeitsaufwand eingeben müssen. s-Prinzip, dies zu tun [siehe ref. 2].

Kommen wir nun zu Ihrem Problem. Das Zählen kann eindeutig zu einer umkehrbaren Berechnung gemacht werden: Jeder Schritt ist umkehrbar und Sie können sich vorstellen, einfach einen einfachen digitalen Zähler rückwärts zu takten, um dies zu erreichen. Theoretisch könnten wir also einen Quantencomputer (oder einen anderen reversiblen Computer) bauen, der ohne Energiezufuhr zählt, während er zählt . Wenn man jedoch das Vergessen von Informationen zusammenzählt, muss man die Initialisierung berücksichtigen. Das heißt, Sie müssen mit initialisierten Registern beginnen, mit denen Sie zählen können. Sie starten Ihre Maschine, indem Sie sie alle auf Null initialisieren ... aber das bedeutet, dass es einen Quantenzustand jedes Registers gibt, der "vergessen" wird, wenn die Maschine initialisiert wird. Also, wenn Sie eine Erinnerung brauchen$N$Bits für Ihr Zählen müssen Sie sich einfallen lassen$N\,k\,T\,\log 2$Joule, um Ihren reversiblen Computer zu initialisieren. Wikipedia sagt mir, dass die Masse der Milchstraße geschätzt wird$10^{12}$Sonnenmassen oder ca$2\times 10^{30}\times 10^{12}\times 10^{17} =2\times 10^{59}$Joule. Wenn Sie Ihren Computer auf die Temperatur der kosmischen Hintergrundmikrowellenstrahlung kühlen können, oder$2.7{\rm K}$, dann impliziert die Landauer-Grenze, dass Sie die Initialisierung von kaufen können$2\times 10^{59} / (2.7\times 1.38\times 10^{-23}\times \log 2) \approx 8\times 10^{81}$Bits. Sie können Ihren Computer unten nicht ausführen$2.7{\rm K}$da es dann Energie zur künstlichen Kühlung unterhalb seiner Umgebung benötigen würde.

Das ist dann Ihre grobe Antwort: Theoretisch könnten Sie bis zur Zahl zählen:

mit einer reversiblen Implementierung eines Zählers bei gegebenem Energiebudget.

Eine weitere Grenze, die aus kryptografischer Sicht interessant sein könnte, ist die Bremmermann-Grenze , die begrenzt, wie schnell sich Berechnungen in ihren aufeinanderfolgenden Schritten entwickeln können.

Es sollte beachtet werden, wie schwierig es ist, die Landauer-Grenze zu erreichen. Vergisst unser Zähler auch nur ein Bit pro Zählzyklus, reduziert sich die Grenze aufs immer noch kolossale$2\times 10ˆ{81}$. Yockey [siehe Referenz 3] behauptet in den ersten Kapiteln seines Buches, dass das als Computeralgorithmus gedachte Phänomen der DNA-Replikation während der Zellteilung die effizienteste bekannte Berechnung ist und ungefähr eine Größenordnung mehr Energie verbraucht als die Landauer-Grenze. das heißt ungefähr$10 k\,T$pro vergessenem Bit. Angesichts der Landauer-Grenze sind moderne Computer erschreckend ineffizient. 32 GB RAM, die mit 1 GByte pro Sekunde überschrieben werden und dabei 5 Watt bei 300 KB verbrauchen (dies sind die Zahlen für den Computer, auf dem diese Worte geschrieben werden), stellen ein Vergessen dar, das elf Größenordnungen verschwenderischer ist ($5 / (8\times 10^9 \times k \times 300\,\log 2)\approx 2\times 10^{11}$) als die Landauer-Grenze.

Quellenangaben und Fußnoten:

[1]: Um Ihr Verständnis dieser Aussage zu vertiefen, versuchen Sie, die Shannon-Entropie der Spezifikation des Zustands einer Gesamtheit von auszuarbeiten und darzustellen$N$harmonische Quantenoszillatoren im thermodynamischen Gleichgewicht als Funktion der Temperatur (Antwort:$\left(\frac{e^{\beta_\omega } \beta_\omega }{1-e^{\beta_\omega }}+\log \left(e^{\beta_\omega }-1\right)\right)/\log (2)$Bits pro Oszillator, wo$\beta_\omega = \hbar\omega/(k\,T)$). Sie können sofort sehen, was los ist: Die Boltzmann-Wahrscheinlichkeitsverteilung ist hier proportional zu$p(n)\propto\exp\left(-(n+\frac{1}{2}) \frac{\hbar\,\omega}{k\,T}\right)$und der Schwanz wird länger, als "Zugriff auf mehr Zustände".$T$steigt an).

[2] Eine hervorragende Übersichtsarbeit zu diesen Konzepten ist Charles Bennett, "The Thermodynamics of Computation: A Review", Int. J.Theo. Phys., 21 , Nr. 12, 1982 )

[3] „Information Theory, Evolution, and the Origin of Life“, Hubert P. Yockey Als Nicht-Biologe fühle ich mich nicht berechtigt, diesen Text zu beurteilen. Ich hatte jedoch das Gefühl, die ersten Kapitel, aus denen ich die Behauptung über die Effizienz der DNA-Replikation ableitete, gut genug verstanden zu haben, um einigermaßen von der Stichhaltigkeit der Behauptung überzeugt zu sein, aber ich fand den größten Teil des Textes nach Kapitel 2 völlig unverständlich.