Widerstandsschaltung, die nicht parallel oder in Reihe ist

Ich werde diese Frage mit einer ungewöhnlichen Methode beantworten, die vielleicht in den späten 1970er Jahren im Problemteil des American Mathematical Monthly auftauchte. Dies ist nicht unbedingt der einfache Weg, um das Problem zu lösen, aber es funktioniert gut aus algebraischer Sicht.

Die Art und Weise, wie die meisten Menschen die meisten Widerstandsprobleme lösen, besteht darin, Reihen- und Parallelwiderstandsregeln zu verwenden. Diese sind mathematisch elegant, da sie nur Widerstand beinhalten. Aber diese Schaltung kann nicht auf Reihen- und Parallelregeln reduziert werden (ist das vielleicht wahr, wenn Sie eine unendliche Reihe in R3 schreiben?), also ist die wahrscheinlich einfachste Methode, eine Spannung von V an die Schaltung anzulegen und Algebra zum Ausarbeiten zu verwenden der Gesamtstrom. Dies ist unelegant (aber physisch), da es andere Ideen als den Widerstand selbst einführt.

Die von Manishearth erwähnte "Delta" -Methode (die jedoch zu diesem Zeitpunkt noch nicht zur endgültigen Antwort ausgearbeitet wurde) ist, wie ein EE das Problem lösen würde. Es hat den Vorteil, dass es beim Widerstand bleibt, aber es beinhaltet etwas unintuitiv Änderungen an der Topologie der Schaltung.

Die Methode, die ich hier vorstelle, verwendet nur Widerstände und veranschaulicht eine allgemeine Lösung für diese Art von Problem. Verallgemeinert man das$R_k$zu komplexen Zahlen$Z_k$, kann es für allgemeine Impedanzen verwendet werden (ebenso wie das Delta-Verfahren), aber es ist allgemeiner als das Delta-Verfahren. Es kann auch helfen, den Flächenwiderstand der Schüler zu verstehen, daher denke ich, dass es sich lohnt, es einzugeben:

Zuerst ersetzen wir die Widerstände durch dünnes Flachmaterial, das zufällig einen " Flächenwiderstand " von 1 Ohm pro Quadrat hat. Wenn wir mit einem solchen Material ein Rechteck mit den Abmessungen 1 x R ausschneiden, erhalten wir einen Widerstand von R Ohm zwischen zwei Leitern, die an den 1 Längsseiten befestigt sind:

Nun, die Sache mit dem Flächenwiderstand ist, dass Sie den Widerstand auf jede gewünschte Größe skalieren können; Solange Sie das Verhältnis der Seitenlängen als "R" beibehalten, hat der resultierende Widerstand den Widerstand R. Das Blatt kann aus kleinen Blättern bestehen, die zusammengeklebt werden. Um das Einkleben korrekt durchzuführen, müssen wir Isolierkleber für die horizontalen Verbindungen und Leitkleber für die vertikalen Verbindungen verwenden. Das liegt daran, dass Strom nur von links nach rechts fließt. Der isolierende Kleber hilft oder behindert also nicht den Stromfluss, und die vertikalen Verbindungen spielen keine Rolle, da alle leitenden Kleber sowieso die gleiche Spannung haben. Ich sah diese Methode zur Berechnung von Widerständen in einer Lösung für das Problem E2459 im American Mathematical Monthly, Februar 1975 .

Ersetzen Sie also die gegebene Schaltung durch eine, bei der jeder Widerstand durch einen rechteckigen Bereich mit Abmessungen ersetzt wird, die für seinen Widerstand geeignet sind. Dabei müssen wir eine Annahme darüber treffen, in welche Richtung der Strom durch den Widerstand R3 fließt. Ich nehme an, es fließt von oben nach unten. Und um das Ganze maßstabsgetreu festzulegen, machen wir die vertikale Abmessung von R3 zur Länge 1. Daraus ergibt sich folgende Zeichnung:

Nun hat die Gesamtschaltung einen Widerstand, der durch das Verhältnis ihrer Länge zu ihrer Breite gegeben ist:

Verwenden Sie eine Stern-Dreieck-Transformation , um einen Teil der Schaltung zu vereinfachen. Sie können auch das Prinzip der Überlagerung anwenden.

 A x----x-----[1]-----x-----[2]-----x----x B
        |             |             |
       [4]           [3]           [5]
        |             |             |
        |-------------x-------------|    

$\uparrow$Abb.1. Die Originalschaltung von OP.

Wie von Manishearth vorgeschlagen, kann man a ausführen$Y$-$\Delta$umwandeln von$Y$-Widerstände$R_1$,$R_2$und$R_3$, zu$\Delta$-Leitwerte$G_1$,$G_2$und$G_3$(Verwendung einer$123$symmetrische Kennzeichnungskonvention), vgl. Abb.2 unten.

 A x----x------x-----[3]-----x------x----x B
        |      |             |      |
       [4]    [2]           [1]    [5]
        |      |             |      |
        |------x-------------x------|    

$\uparrow$Abb.2. EIN$\Delta$-Ersatzschaltbild zum Originalschaltkreis von OP.

In Bezug auf Formeln, die$Y$-$\Delta$Transformation ist gegeben als

Das$\Delta$-Ersatzschaltbild in Abb. 2 kann als nur aus Reihen- und Parallelwiderständen bestehend betrachtet werden . Der äquivalente Leitwert zwischen$A$und$B$daher wird

(Lassen Sie uns abschließend erwähnen, dass es auch möglich ist, die$Y$-$\Delta$in andere Tripel der fünf Widerstände transformieren als$123$.)

So würde ich es tun, indem ich der von kleingordon in einem Kommentar beschriebenen Methode folge. Diese Methode ist weniger cool, aber allgemeiner als die Antwort von Carl Brannen, da sie auch dann funktioniert, wenn sich Drähte kreuzen und Sie sie nicht in einer einzigen Schicht aus Widerstandsmaterial neu anordnen können.

Lassen Sie das elektrische Potential bei$A$sein$V_A$und das bei$B$sein$V_B$. Lassen Sie auch das Potenzial auf dem Draht, der verbindet$R_1$zu$R_2$und$R_3$sein$V_C$und lassen Sie das Potential auf der Drahtverbindung$R_4$zu$R_3$und$R_5$sein$V_D$. Wir wissen, dass der Strom durch jeden Widerstand gleich der Potentialdifferenz geteilt durch den Widerstand sein muss, also haben wir

Wir wissen auch, dass der Strom an jeder Kreuzung, die uns gibt, erhalten bleiben muss

Wir wollen den Widerstand berechnen, der gegeben ist durch$(V_A-V_B)/(I_1+I_2).$Da alles linear ist, können wir das ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen$V_B=0$und$V_A=1$. Das gibt uns sieben Gleichungen in sieben Unbekannten, die wir lösen können, um die Antwort zu finden.

Ich habe es nicht durchgearbeitet, weil es ein bisschen mühsam ist (ich würde wahrscheinlich ein Computeralgebrasystem verwenden, anstatt es von Hand zu machen), aber es sollte die gleiche Antwort wie die Methode von Carl Brannen geben.

Fortsetzung des Kommentars eines Googlers zu Carl Brannens Antwort:

Aber ich denke$R_1x_1=R_4x_4−R_3$und$R_5x_5=R_2x_2−R_3.$Was mache ich falsch? Bitte erkläre

Wenn Sie dieser Korrektur folgen (d. h. Ihre tiefgestellten 1er und 4er und 2er und 5er in Ihrer horizontalen Eröffnungsbetrachtung vertauschen – die vertikalen Aussagen müssen nicht geändert werden), dann erreichen Sie ein ähnliches Ergebnis wie:

$$R = L/W = \frac{R_1R_4(R_2+R_5)+R_2R_5(R_1+R_4)-R_3(R_4+R_5)(R_1+R_2)}{(R_2+R_5)(R_1+R_4)-R_3((R_1+R_2)+(R_4+R_5))}.$$

aber ohne die negativen Vorzeichen von jedem$R_3$Begriff:

Dieses Ergebnis liefert auch die korrekten Ergebnisse sowohl für R, das gegen 0 tendiert, als auch für R, das gegen unendlich tendiert, aber die Definitionen der R's stimmen jetzt mit dem Diagramm überein.

Hier sind einige Schritte:

Wir haben:

Verwenden Sie auch:

und beseitigen$x_1$und$x_5$aus den horizontalen Gleichungen erhalten wir:

Diese lösen sich zu geben:

und schlussendlich

Interessanterweise, wenn die Widerstände$R_1, R_2, R_4, R_5$alle haben den gleichen Wert, sagen wir$\rho$, dann kann gezeigt werden, dass der Widerstand des gesamten Stromkreises nicht davon abhängt$R_3$überhaupt und wird stattdessen nur gleich sein$\rho$.

Ich denke, diese Formel könnte dir helfen:

$$R_3 \frac{R_1 + 3R_2}{R_4+3R_5}$$