Ich denke, dass Assoziativität und Kommutativität sehr natürlich sind.

Angenommen, wir wollen abstrakt definieren, was das Addieren von Zahlen unabhängig von der Reihenfolge bedeutet. Was sind die ersten Dinge, die Ihnen in den Sinn kommen? Es spielt keine Rolle, ob wir hinzufügen$x$Und$y$oder$y$Und$x$, dh. Kommutativität. Und (unter der Annahme, dass wir nicht multitaskingfähig sind und nur zwei Zahlen gleichzeitig addieren können) ist es egal, welche zwei Zahlen von$x,y,z$wir fügen zuerst hinzu. Da wir nun Kommutativität haben, haben wir Transpositionen und damit willkürliche Permutationen, sodass wir das zweite Axiom reduzieren können, um eine Reihenfolge festzulegen$(x,y,z)$und als Assoziativität ausdrücken.

Nun stellt sich die Frage, ob die Axiome ausreichen oder ob etwas übrig bleibt. In der Tat, indem wir eine Reihenfolge der Zahlen einer Summation, sagen wir klein nach groß, durch ein induktives Argument festlegen, sehen wir, dass durch Kommutativität und Assoziativität jede Summation gleich der Summation mit fester Ordnung ist. Damit haben wir zwei Axiome gefunden, die genau besagen, dass die Addition von der Reihenfolge unabhängig ist.

Für die Distributivität habe ich jedoch keine gute Erklärung. Von einem geometrischen Standpunkt aus ist es ziemlich natürlich, aber es ist mir nicht klar, warum Kommutativität, Assoziativität und Distributivität zusammen alles umfassen, was man braucht, um Zahlentheorie zu betreiben.

Eine sehr abstrakte Vorstellung, die das Problem der Erzeugung von Axiomen irgendwie umgeht, liefern die Lawvere-Theorien. Anstatt Axiome zu betrachten, die die Theorie von sagen wir Gruppen generieren, betrachtet man die ganze Theorie auf einmal, dh. bevorzugt nicht eine Beziehung gegenüber der anderen. Dennoch glaube ich, dass man, um mit solchen Theorien etwas anfangen zu können, eine Basis für die Theorie auswählen muss. Die drei obigen Axiome waren zufällig Einsen, was am natürlichsten war.

Diese Frage ist natürlich ziemlich vage und meinungsbasiert. Hier sind jedoch einige "motivierende Beispiele", um zu veranschaulichen, wie diese Eigenschaften aus dem Eintopf mit allen willkürlichen Identitäten "hervorgesprudelt" sind.

Zunächst einmal sollten Sie sich darüber im Klaren sein, dass die Mathematik normalerweise vom Spezifischen zum Allgemeinen übergeht, was umgekehrt ist, wie sie oft gelehrt wird, nachdem die wichtigsten Einsichten und Eigenschaften isoliert wurden. Mathematiker sind auch nicht immer besonders gut darin, die motivierenden Beispiele hervorzurufen. Ohne diese motivierenden Beispiele kann es sehr schwer sein zu verstehen, warum ihre abstrakt isolierten Eigenschaften so wichtig sind.

Gruppen

Gruppen sind vollständig auf Sammlungen von Automorphismen (klassischer "Symmetrien") modelliert. Die Diedergruppen, dh die Symmetrien eines regulären$n$-gon unter starren Bewegungen sind perfekte Beispiele. Identität, Assoziativität und Inverse sind für solche "konkreten" Automorphismusgruppen offensichtlich. Der Satz von Cayley besagt, dass alle abstrakten Gruppen konkret als Untergruppe von Permutationen realisiert werden können.

Felder

Felder sind vollständig nach zwei alten Vorbildern modelliert--$\mathbb{Q}, \mathbb{R}$--und ein sehr altes Beispiel--$\mathbb{C}$. Identität, Kommutativität, Assoziativität, Distributivität und Umkehrungen gelten alle aus klaren geometrischen Gründen.

Wenn Sie lineare Gleichungssysteme studieren, werden Sie fast sicher mit Koeffizienten aus einer dieser drei Strukturen beginnen. Sie werden sie schließlich geometrisch betrachten und allgemein lineare Algebra erfinden (Unterräume, Basen, Kerne, ...). Sie könnten drei verschiedene Versionen der linearen Algebra aufschreiben, eine für$\mathbb{Q}$, eins für$\mathbb{R}$, eins für$\mathbb{C}$, aber Sie werden sofort bemerken, dass die Beweise buchstäblich identisch sind und nur Identität, Assoziativität, Distributivität und Division verwenden [Kommutativität ist im Allgemeinen eigentlich unnötig; siehe Teilungsringe]. Wie auch immer, bam – Sie haben gerade das allgemeine Konzept von Modulen über einem Feld erfunden.

Neben diesen drei sind die nächstwichtigsten Beispiele die endlichen Körper$\mathbb{F}_p$und Zahlenfelder,$\mathbb{Q}(\alpha)$. Die Galois-Theorie leistet hervorragende Arbeit, um diese zu motivieren, z. B. betrachtet der Beweis, dass man einen beliebigen Winkel nicht dreiteilen kann, einen Zahlenkörper als Modul über einem Basiszahlenkörper. Der Versuch, diophantische Gleichungen "lokal" anzugreifen, motiviert sie ebenfalls. Wenn Sie die lineare Algebra nicht bereits für ein beliebiges Feld formuliert hätten, würden Sie dies mit ziemlicher Sicherheit an dieser Stelle tun. (Nach diesen Beispielen sind es Funktionsfelder und Restfelder.)

Ringe

Kommutative Ringe sind vollständig Funktionenräumen nachempfunden. Nehmen$X = \{f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\}$. Sie können diese Funktionen (punktweise) addieren und multiplizieren, und sie erben Identität, Kommutativität, Assoziativität und Distributivität von$\mathbb{R}$.

Man schränkt schnell die Art der zulässigen Funktionen ein, typischerweise messbar, glatt, kontinuierlich, rational [also teilweise definiert] oder algebraisch. Technisch gesehen führt jede Einschränkung zu einer neuen algebraischen Struktur, die Sie häufig ersetzen möchten$\mathbb{R}^2$mit anderen Räumen, aber die grundlegendsten Eigenschaften bleiben gleich. Verwenden Sie beispielsweise Polynomfunktionen von$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ergibt die$n$-variabler Polynomring$X = \mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$. Wir möchten nicht , dass die Division immer gültig ist, da Funktionen an einigen Stellen Null sein können. Also brauchen wir es einfach nicht.

Aus rein algebraischer Sicht ist das bei weitem wichtigste Beispiel eines kommutativen Rings eine endlich präsentierte Algebra über einem Körper,$k[x_1, \ldots, x_n]/(p_1, \ldots, p_m)$. Diese tauchen ständig "in der Natur" auf: Sie modellieren die Funktionen genau auf einem Raum, in dem zwei Funktionen als gleichwertig angesehen werden, wenn sie auf einer festen Teilmenge dieselben Werte haben. Wenn Sie beispielsweise eine Polynominterpolation durchführen, werden Sie sofort fragen, wie eindeutig Ihre Lösung ist. Der Basissatz von Hilbert besagt, dass dies alle Beispiele unter geeigneten Endlichkeitsbedingungen sind.

Auf der nichtkommutativen Seite sind das wohl wichtigste Beispiel Ringe aus quadratischen Matrizen. Auch das sind Funktionenräume, nämlich lineare Funktionen$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, sagen wir, wo das Produkt eine Komposition anstelle einer punktweisen Multiplikation ist.

Andere wichtige nicht kommutative Beispiele sind Gruppenringe (schön motiviert durch die Darstellungstheorie; diese können auch als skalare Funktionen der Gruppe betrachtet werden) und Weyl-Algebren (PDEs motivieren diese sehr gut; sie können als Endomorphismusringe betrachtet werden). . Wenn Sie diese Dinge studieren, werden Sie unweigerlich Module über diesen Ringen erfinden, zB Vernichter, Ideale.

Lüge Algebren

Da Sie es erwähnt haben, möchte ich sagen, dass Lie-Algebren vollständig nach Matrizen unter dem Kommutator modelliert sind und die Jacobi-Identität die wichtigste verfügbare allgemeine Identität ist. Alternativ ist die Jacobi-Identität genau das, was Sie sagen müssen, die adjungierte Darstellung ist ein Lie-Algebra-Homomorphismus, und die übliche Theorie der universellen Hüllalgebra besagt, dass die Jacobi-Identität die einzige allgemeine algebraische Identität ist, die in dieser Umgebung verfügbar ist. Der Satz von Ado besagt, dass dies alle Beispiele unter geeigneten Endlichkeitsbedingungen sind. Diese wird dann zu Lie-Gruppen „globalisiert“.

Das Problem ist, dass diese Gesetze a priori nicht offensichtlich wichtig erscheinen

Vielleicht nicht, wenn Sie von den Peano-Axiomen selbst ausgehen.

Aber vom Standpunkt eines Menschen, der zum ersten Mal Addition und Multiplikation lernt, wären dies die relevantesten und wichtigsten Eigenschaften dieser Operationen. Was ist, wenn ich es tue?$5+9$und ich bekomme eine andere antwort von$9+5$? Oder was, wenn ich es tue$(5+9) + 4$und es stellt sich heraus, dass es anders ist$5 + (9+4)$? Es scheint bei kleinen Zahlen nicht vorzukommen, dass sie anders funktionieren, aber bin ich einfach nicht zu einem ausreichend großen Gegenbeispiel gekommen? Ich möchte eine Art Garantie, dass sie jedes Mal das gleiche Ergebnis erzielen, das diese Gesetze (und entsprechende informelle Begründungen) liefern. Die Schüler werden diese Muster wahrscheinlich sowieso bemerken, daher ist es gut, sie als allgemeine Regeln einzuführen, die die Berechnung vereinfachen und das Verständnis/Speichern unterstützen können.

Typischerweise werden die Zählzahlen jungen Lernenden auch nicht in den hyperformalen Begriffen der Mengenlehre vorgestellt, sondern als Abstraktionen bestimmter Gruppen von Objekten, die gezählt werden können. Die obigen Sätze könnten also geschrieben werden als: "Wenn ich 5 Stifte habe und jemand mir 9 gibt, habe ich die gleiche Menge, als hätte ich 9 Stifte und jemand gibt mir 5", und dann als abstrakte Regeln zum Drücken von Symbolen betrachtet spezifische Anwendungen werden verstanden.

Wie auch immer, die meisten Objekte in der abstrakten Algebra (Körper, Gruppen, Ringe) oder der Mengenlehre (Ordnungszahlen, Kardinalzahlen) sind historisch entstanden und motiviert als Verallgemeinerungen der grundlegenden arithmetischen Konzepte wie die ganzen Zahlen, die reellen Zahlen usw. Mathematik ist im Grunde eine Wissenschaft der Analogie, und nicht einmal die dümmsten Mengentheoretiker haben das ursprünglich gelernt$a + 0 = a$(nur als "zum Beispiel") für gewöhnliche Zählzahlen, indem man über die Eigenschaften von Vereinigungen und der leeren Menge nachdenkt. Es ist also nicht nur natürlich zu fragen, ob diese Dinge die Eigenschaften derjenigen erfüllen, mit denen wir bereits vertraut sind, es ist auch entscheidend zu wissen, wo unsere Intuition über diese Objekte "zusammenbrechen" wird, und die Eigenschaften zu spezifizieren, die wir wollen in jedem einzelnen Fall weiter verwenden.

Aber sicherlich könnte es Tonnen von kleinen Identitäten geben, die von den Peano-Axiomen bewiesen werden, ungefähr auf dem gleichen Schwierigkeitsgrad,

Wie zum Beispiel? Und selbst wenn sie gleich leicht/schwer sind, bedeutet das, dass sie gleich notwendig oder sogar gleich nützlich sind ? Wenn sie es wären, hätten sie schon vor vielen Jahrzehnten ihren Weg in die Klassenzimmer für junge Studenten gefunden.

Ohne das Axiomschema der Induktion und ohne die archimedische Eigenschaft (die aus der Induktion folgt) kann man nicht viel Zahlentheorie betreiben. Dabei handelt es sich um eine lineare Ordnung$<$mit dem interagiert$+$Und$\times$von$(x<y\implies x+z<y+z)$Und$(( x<y\land 0<z)\implies xz<yz).$

Es wurde gezeigt, dass, wenn Sie die Induktion aus der Version der Peano-Axiome für weglassen$\Bbb N$(oder$\Bbb N_0$), die nur ein fundamentales Beziehungssymbol hat$\sigma$(Nachfolger) dann können Sie nicht alle Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze beweisen.