Wie bekomme ich Abstand, wenn die Beschleunigung nicht konstant ist?

Hier gibt es drei Fälle:

1. Die Beschleunigung ist eine Funktion der Zeit$a(t)$. Dann ist die Geschwindigkeit

   $$v(t)=v_c+\int a(t)\,{\rm d}t \tag{1}$$ und die Position als Funktion der Zeit $$x(t)= x_c + \int v(t)\,{\rm d}t \tag{2}$$ Die Entfernung errechnet sich aus$x(t)$.

2. Die Beschleunigung ist eine Funktion der Position$a(x)$. Dann ist die Geschwindigkeit als Funktion der Position

   $$\frac{1}{2}v(x)^2 = w_c + \int a(x)\,{\rm d}x \tag{3}$$ und die Zeit als Funktion der Position $$t(x) = t_c + \int \frac{1}{v(x)}\,{\rm d}x \tag{4}$$ was rückgelöst werden muss$x(t)$.

3. Schließlich ist die Beschleunigung eine Funktion der Geschwindigkeit$a(v)$. Dann die Zeit als Funktion der Geschwindigkeit uns $$t(v) = t_c + \int \frac{1}{a(v)}\,{\rm d}v \tag{5}$$ und die Position als Funktion der Geschwindigkeit ist $$x(v) = x_c + \int \frac{v}{a(v)}\,{\rm d}v \tag{6}$$ die rückgelöst werden müssen$x(v(t))$

_{Wo$x_c$,$v_c$,$t_c$und$w_c$sind Integrationskonstanten geeigneter Einheiten}

Beispiel 1

$a(t) = -100 \sin(10 t)$, mit$x(0)=0$und$v(0)=10$

$$v(t) = \int -100\sin(10 t)\,{\rm d}t = 10\,\cos(10 t)$$ $$x(t) = \int 10\cos(10 t)\,{\rm d}t= \sin(10 t)$$

Beispiel 2

$a(x) = -100 x$, mit$x(0)=0$und$v(0)=10$

$$\frac{1}{2}v(x)^2 = \int -100 x {\rm d}x = 50 (1-x^2)$$ $$v(x) = 10 \sqrt{\left(1-x^2\right)}$$ $$t(x) = \int \frac{1}{10 \sqrt{\left(1-x^2\right)}}\,{\rm d}x = \frac{\sin^{-1}(x)}{10}$$ $$x(t) = \sin(10 t)$$

Beispiel 3

$a(v) = 100 - 5 v$, mit$x(0)=0$und$v(0)=10$

$$t(v) = \int \frac{1}{100 - 5 v}\,{\rm d}v = -\frac{1}{5}\ln{ \left( \frac{20-v}{10} \right) }$$ $$x(v) = \int \frac{v}{100 - 5 v}\,{\rm d}v = 2-\frac{v}{5}-4 \ln{\left(\frac{20-v}{10}\right)}$$ mit Lösung$v(t) = 20-10 \hat{e}^{-5 t}$und$x(v(t)) = 2 \hat{e}^{-5 t}+20 t-2$

Technisch gesehen die Gleichung

$$d = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}t + \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\frac{t^2}{2}$$

stimmt nicht. Stattdessen benötigen Sie für eine konstante Beschleunigung

$$d = \left(\left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right|_0\right) t + \left(\left.\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\right|_0\right) \frac{t^2}{2}$$

Mit anderen Worten, eine Menge wie$\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ändert sich zeitlich, aber Sie möchten nur die Anfangsgeschwindigkeit verwenden. Ich denke, das ist es, womit Sie wahrscheinlich beginnen wollten.

Wenn Sie das Problem rein kinematisch lösen wollten, könnten Sie versuchen, die Position in einer Taylor-Reihe zu erweitern, wie Sie in Ihrer Antwort geschrieben haben. Dies funktioniert jedoch nur, wenn die Funktion gleich ihrer Taylor-Reihe ist. Für einfache Funktionen wie Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen gilt dies, für einen Autofahrer jedoch nicht. Wenn eine Funktion überall gleich ihrer Taylor-Reihe ist, dann können Sie, wenn Sie ihre Position über ein beliebiges endliches Zeitintervall beobachten, egal wie kurz, vollständig bestimmen, was das Auto in Zukunft tun wird. Dies ist nicht realistisch.

Stattdessen möchten Sie eine Möglichkeit, entweder die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung als Funktion der Zeit oder Position zu bestimmen. In der Physik ist es üblich, die Beschleunigung ortsabhängig bestimmen zu können. Der Grund ist, dass die Beschleunigung aus der Gleichung kommt

$$F=ma$$ Wenn Sie also die vorhandenen Kräfte bestimmen können, kennen Sie die Beschleunigung, und Ableitungen höherer Ordnung sind nicht erforderlich.

Wenn Sie die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit kennen, können Sie sie einfach integrieren, um die Verschiebung zu finden.

$$d(t) = \int_{t_0}^t v(t') \mathrm{d}t'$$

Wenn Sie die Beschleunigung als Funktion der Zeit kennen, können Sie das auch integrieren, obwohl diese Situation weniger häufig vorkommt.

$$d(t) = v_0(t - t_0) + t\int_{t_0}^t a(t')\mathrm{d}t' - \int_{t_0}^t t'a(t')\mathrm{d}t'$$

Ich fand diesen Ausdruck, indem ich nach etwas suchte, dessen zeitliche Ableitung die Geschwindigkeit war

$$v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(t')\mathrm{d}t'$$

Wenn Sie die Geschwindigkeit als Funktion der Position kennen, haben Sie die Differentialgleichung

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v(x)$$

die Sie durch Trennung der Variablen lösen können.

Wenn Sie die Beschleunigung als Funktion der Position kennen, haben Sie die Differentialgleichung

$$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = a(x)$$

was nicht immer einfach zu lösen ist. In realistischeren Szenarien hängt die Beschleunigung nicht nur von der eigenen Position des Objekts ab, sondern auch von den Positionen der Dinge, mit denen es interagiert. Dadurch erhält man gekoppelte Differentialgleichungen, die sich in Spezialfällen vereinfachen, aber häufig nur numerisch lösen lassen.

Sie können Derivate höherer Ordnung hinzufügen, bis sie verschwindend klein werden. Ein bequemer Einstiegspunkt zu diesem Thema wäre der Wikipedia-Artikel Jerk (Physik) .

Bedenken Sie, dass der Ruck beim Autofahren in erster Näherung nur in der Zeit relevant ist, in der das Gaspedal tatsächlich bewegt wird.

Update: Es scheint, dass vor einigen Stunden auf math.se eine Frage mit großer Relevanz für Sie gestellt wurde - Was ist ein Beispiel für eine Anwendung einer Ableitung höherer Ordnung ($y^{(n)}$,$n≥4$)? . Arturos Antwort erweitert sich auf höhere Ableitungen in der Kinematik (Sprung!), während Gregs Antwort eine Ruckquelle beim Fahren enthält, die ich nicht berücksichtigt habe (Lenken).

Ich finde, dass es sehr hilft, das grundlegende Phänomen zu verstehen. Sie haben Ihre Gleichung korrekt, aber betrachten Sie die Ableitung:

Wir beginnen mit dem zweiten Newtonschen Gesetz,

${\bf F} = \dot{\bf p}$

wo${\bf F}$ist der Kraftvektor und$\dot{\bf p}$ist die zeitliche Ableitung des Impulses. Die von Ihnen angegebene Gleichung erhält man, indem man eine konstante Kraft annimmt und zweimal über die Zeit integriert. Das ist,

$\frac{d {\bf F}}{dt} = 0 \implies \iint_0 ^t {\bf F} dt^2 = \frac{{\bf F} t^2}{2} + C_1 t + C_0$

so dass

$x = \frac{{\bf F} t^2}{2m} + C_1 t + C_0$

mit den durch die Anfangsbedingungen und die Erhaltungssätze bestimmten Konstanten. Sie sagten, dass Sie einen anständigen Hintergrund in Analysis haben. Wenn Sie also die Gleichung für die Kraft kennen, sollten Sie in der Lage sein, sie in Newtons Gesetz einzusetzen und zu integrieren, um Ihre Lösung zu erhalten.

BEISPIEL

Angenommen, alles ist in der$\hat x$Richtung für Bequemlichkeit. Wenn wir eine einfache Kraft wie nehmen

${\bf F}(t) = \sin(\frac{\pi t}{t_{max}} - \frac{\pi}{2}) + F_{max}$

dann,

$\int_0 ^t {\bf F}(t) dt = F_{max} t-\frac{t_{max}}{\pi} \sin(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1$

und,

$\iint_0 ^t {\bf F}(t) dt^2 = \frac{F_{max} t^2}{2}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1 t + C_0$

Ausgehend von der Newtonschen Gleichung ergibt dies

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1 t + C_0$

Aus den Anfangsbedingungen und den Erhaltungssätzen sehen wir das

$C_0 = x_0 - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$

und

$C_1 = v_0$

ergebend

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + v_0 t + x_0 - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$.

Im einfachen Fall von Null Anfangsgeschwindigkeit und Position,

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$.

Sie sprechen von Taylor-Reihen. Das Ganze ist:

$$x(t) = x(0) + x'(0) t + x''(0) {t^2\over 2} + x^{(3)}(0) {t^3\over 6} + x^{(4)}(0) {t^4\over 4!} ...$$

Jede Ableitung höherer Ordnung fügt einen Term hinzu, und der n-te Term wird durch dividiert$n!$. Sie können sehen, dass dies der eindeutige Ausdruck ist, indem Sie beachten, dass Sie auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis erhalten, wenn Sie dies n-mal differenzieren und x = 0 einsetzen. Es rigoros zu beweisen ist auch nicht schwer, erfordert aber eine gute Schranke für die Größe der n-ten Ableitung in einem Intervall.