Wie bekommt man eine wahre Anomalie aus der Zeit?

Eine Übung, die aus dem letztjährigen Kurs ungelöst blieb, gibt mir diese Gleichung:

$$t-t_{p} = \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}*(\arcsin(X) - e*X)$$ wo : $$X = \frac{\sqrt{1-e^2}*\sin(v)}{1+e*\cos(v)}.$$

Das ist nur die Kepler-Gleichung$M = E-e\sin E$, aber in Bezug auf geschrieben$X = \sin E$, wo$E$ist die exzentrische Anomalie. Wir haben auf dieser Seite keine Ableitung der Kepler-Gleichung, also hier. Ich beginne mit einem Bild.

Das obige Bild zeigt einen Körper$P$auf einer Ellipsenbahn um einen Körper$F$die einen der Brennpunkte der Ellipse einnimmt. Die Ellipse hat eine große Halbachse$a$entlang der horizontalen Achse und einer Exzentrizität$e$. Der Mittelpunkt der Ellipse und ihr umschreibender Kreis liegen bei$C$. Die vertikale Projektion des aktuellen Standorts auf den umschreibenden Kreis ist bezeichnet$P'$.

Keplers zweites Gesetz besagt, dass die Fläche des elliptischen Sektors$ZFP$ist eine lineare Funktion der Zeit:$A(ZFP) = k(t-t_p)$, wo$A(ZFP)$handelt es sich um den betreffenden Bereich,$k$ist eine Konstante,$t$ist die Zeit, zu der das umlaufende Objekt die Position erreicht$P$, und$t_p$ist die Zeit der Periapsispassage. In einer vollen Umlaufbahn ist die von diesem elliptischen Sektor überstrichene Fläche die Fläche der Ellipse:$A(2\pi) = \pi a b$. Daher$\pi a b = kT$, wo$T$ist die Umlaufzeit, oder$k = \frac{\pi a b}T$. Das wiederum sagt uns Keplers drittes Gesetz in Kombination mit der Newtonschen Gravitation$\frac{2\pi}T = \sqrt{\frac \mu {a^3}}$, wo$\mu$ist der Gravitationskoeffizient des Systems$G(M+m)$. Definieren$n = \sqrt{\frac \mu {a^3}}$, wir haben

$$A(ZFP) = \frac12ab\,n(t-t_p)\tag{1}$$

Wir brauchen einen Ausdruck für$A(f)$. Um dorthin zu gelangen, führt man am besten das Konzept der exzentrischen Anomalie ein . Dies wird im Bild als Winkel dargestellt$E$. Diese wird durch Projektion des Punktes gebildet$P$senkrecht zum Schnittpunkt mit dem umschreibenden Kreis, bezeichnet$P'$. Einen Punkt gegeben$x,y'$auf dem umschreibenden Kreis relativ zum Mittelpunkt ausgedrückt$C$, der entsprechende Punkt auf der Ellipse$x,y$Ergebnisse durch Skalierung der$y$koordinieren durch$\frac b a$:$y=\frac b a y'$. Diese Skalierung bedeutet, dass die Fläche des elliptischen Sektors$ZCP$ist die Fläche des Kreissektors$ZCP'$mit demselben Skalierungsfaktor skaliert. Da der Bereich des Kreissektors$ZCP$ist$\frac 1 2 a^2 E$mit$E$ausgedrückt in Radiant, der Fläche des elliptischen Sektors$ZCP$ist$\frac 1 2 ab E$.

Der fragliche Bereich ist der des elliptischen Sektors$ZFP$, ist die Fläche des elliptischen Sektors$ZCP$abzüglich der Fläche des Dreiecks$FCP$. Letzteres ist$\frac12 \, ae \, b\sin E$(1/2 * Basis * Höhe), oder$\frac12 ab\,e\sin E$. Daher$A(ZFP) = \frac12 ab (E - e\sin E)$. Kombiniert man dies mit Gleichung (1), erhält man

$$E-e\sin E = n(t-t_p) \equiv M \tag{2}$$

Das ist die Kepler-Gleichung. Es bietet einen einfachen Mechanismus zur Berechnung der Zeit als Funktion der Position. Die Berechnung der Position als Funktion der Zeit erfordert die Umkehrung dieser transzendentalen Funktion der beiden Variablen$E$und$e$. Diese Umkehrfunktion kann nicht durch die elementaren Funktionen ausgedrückt werden.

Eine sehr einfache, garantiert funktionierende Methode zu finden$E$gegeben$M$und$e$ist die Verwendung des Fixpunkt-Iterationsschemas$E_{n+1} = M + e\sin E_n$. Irgendeine Anfangsvermutung$E_0$geht, aber typisch$M$wird als Anfangsschätzung verwendet. Dies konvergiert für alle$M$und alle Exzentrizitäten zwischen 0 (einschließlich) und 1 (ausschließlich). Die Konvergenz ist sehr langsam, insbesondere bei großen Exzentrizitäten. Ein besserer Ansatz ist die Verwendung der Newton-Methode, die quadratische Konvergenz zeigt, wenn sie konvergiert . Bei großen Exzentrizitäten ist eine gute Anfangsschätzung erforderlich, um die Konvergenz sicherzustellen. Noch bessere Ansätze und noch bessere anfängliche Vermutungen als$E_0=M$wurden im Laufe der Jahrhunderte gefunden. Die Kepler-Gleichung ist Gegenstand von Hunderten von wissenschaftlichen Arbeiten.

Das Umkehren der Kepler-Gleichung gibt uns die exzentrische Anomalie als Funktion der Zeit. Aber was ist mit der wahren Anomalie?$f$? Die Beziehung zwischen$E$und$f$lässt sich leicht mit der Tangenshalbwinkelformel finden,$\tan^2 \frac x2 = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$. Die Koordinaten des Punktes$P$in Bezug auf den Fokus$F$sind$x=a(\cos E-e)=r\cos f$,$y=a\sqrt{1-e^2}\sin E = r \sin f$. Daher

$$\tan^2 \frac f 2 = \frac{1+e}{1-e} \,\tan^2 \frac E 2$$ (Um dies abzuleiten, muss abgeleitet werden $r=a(\cos E - e)$, nicht gezeigt.) Da die wahre Anomalie und die exzentrische Anomalie immer auf der gleichen Seite der sind $x$Achse haben die Tangenten ihrer Halbwinkel immer das gleiche Vorzeichen, nachgebend $$\tan \frac f 2 = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \,\tan \frac E 2 \tag{3}$$

Was ist mit der Verwendung$X=\sin E$Anstatt von$E$, wie in der Frage getan? Das ist eine Art „tun Sie das dann nicht“-Situation (aus dem Witz „Doktor, es tut weh, wenn ich mich so schlage: 《 Bonk 》.“) Dadurch wird nur weniger als die Hälfte der Ellipse und der Konvergenz erreicht von$\arcsin X - e X = M$ist schrecklich (wenn es überhaupt konvergiert). Verwenden Sie die Kepler-Gleichung (Gleichung (2)), um aufzulösen$E$, dann nach der wahren Anomalie auflösen$f$(alternativ geschrieben als$\nu$oder$\theta$) über Gleichung (3).

Bearbeiten: @DavidHammen hat gerade eine viel gründlichere und aufschlussreichere Antwort gepostet , die auch auf einige Probleme bei der Anwendung der Newton-Methode auf das aktuelle Formular hinweist.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass noch nie ein analytischer Ausdruck entdeckt wurde, um ihn zu lösen$\nu(t-t_p)$, aber das Lösen unter Verwendung des Newton-Verfahrens angewendet auf

$$\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}*(\arcsin(X) - e*X) - (t-t_p) = 0$$

sollte gut gegen Werte von konvergieren$X$(oder natürlich$\nu$wenn Sie die Ersetzung vornehmen) in einem halben Dutzend Iterationen, zumindest für eine elliptische Umlaufbahn.

Ich habe Ihre Gleichungen jedoch nicht wirklich überprüft, sondern nur Ihr Wort dafür genommen.

Sie könnten auch ein Array von Punkten berechnen, die nach Zeit aufgelöst werden, es umdrehen und mit einem Spline interpolieren, aber die Genauigkeit ist nicht vorhersehbar/zuverlässig.