Wie berechnet man den Gleichungssatz aller Linien in 3D, wenn ein Punkt auf der Linie und ein Winkel zwischen der zu findenden Linie und einer bestimmten Linie angegeben sind?

Ich habe zwei Linien im 3D-Raum mit ihrem Schnittpunkt und dem Winkel zwischen den beiden Linien, wie man die Gleichung des Satzes unbekannter Linien findet.

Der Schnittpunkt sei ( X 1 , j 1 , z 1 ) und Winkel zwischen ihnen ist θ . und die gegebene Zeile sei R = ( X 1 , j 1 , z 1 ) + k ( A 1 , B 1 , C 1 ) , Wo A 1 , B 1 , C 1 sind Richtungsverhältnisse der gegebenen Geraden.

Wir können es uns so vorstellen, dass der Satz unbekannter Linien tatsächlich eine konische Oberfläche definiert, wobei die bekannte Linie die Achse des Kegels und der Schnittpunkt die Spitze (Scheitelpunkt) des Kegels ist.

Willkommen bei MSE. Es ist wahrscheinlicher, dass Sie eine Antwort erhalten, wenn Sie uns zeigen, dass Sie sich Mühe gegeben haben.
Ich bin im Grunde ein Programmierer und habe das Problem beim Lösen eines physikalischen Phänomens gefunden.
Es gibt unendlich viele Geraden, die einen Winkel von haben θ mit der ersten Linie und einem Schnittpunkt von P 0 . Sie benötigen 3 Einschränkungen, um eine eindeutige Lösung für Ihr Problem zu bestimmen. Hier erwähntest du 2.
Ich möchte eigentlich die Menge aller solcher Linien wissen.

Antworten (1)

Siehe die Wiki-Seite zur konischen Oberfläche

Angenommen, die Hauptachse des Kegels wird durch den Einheitsvektor beschrieben D = ( A 1 , B 1 , C 1 ) , dann ist eine implizite Formel für die Oberfläche gegeben durch

( D ⋅ R ) 2 − ( D ⋅ D ) ( R ⋅ R ) cos 2 ⁡ θ = 0

Wo R = ( X − X 1 , j − j 1 , z − z 1 ) ist der Koordinatenvektor von der Spitze

Die gleiche Formel in X , j , z Ist

[ A 1 ( X − X 1 ) + B 1 ( j − j 1 ) + C 1 ( z − z 1 ) ] 2 − cos 2 ⁡ θ ( A 1 2 + B 1 2 + C 1 2 ) [ ( X − X 1 ) 2 + ( j − j 1 ) 2 + ( z − z 1 ) 2 ] = 0

Vielen Dank @Dylan, ich nehme an, das löst mein Problem.
Hat die oben angegebene kartesische Gleichung eine Einschränkung wie den Scheitelpunkt am Ursprung oder die Achse entlang der z-Achse?
Selbst wenn Sie nur die "Standard"-Gleichung haben, müssen Sie sie nur zum neuen Scheitelpunkt verschieben und eine Drehung ausführen. Beides ist in der Formel enthalten.
Beide Formeln sind gleich, ich habe nur der Übersichtlichkeit halber die Vektorkoordinaten eingefügt.
Wie berechnet man den Gleichungssatz aller Linien in 3D, wenn ein Punkt auf der Linie und ein Winkel zwischen der zu findenden Linie und einer bestimmten Linie angegeben sind?
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