Wie berechnet man den Messfehler in einem exponentiell nichtlinearen Sensor? (selbstgebauter Drucksensor)

$$V_2=V_{ref}\dfrac{R_t}{R_1+R_t}=V_{ref}(\dfrac{1}{1+\dfrac{R_1}{R_t}})$$

$$V_2=V_{ref}(\dfrac{1}{1+\dfrac{R_1}{244.5x^{-0.941}}})$$

$$R_t=\dfrac{R_1}{\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1}$$

$$244.5x^{-0.941}=\dfrac{R_1}{\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1}$$

$$x^{-0.941}=\dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)}$$

$$-0.941\cdot lnx=ln\dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)}$$

$$x=e^(\dfrac{ln\dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)}}{-0.941})$$

$$x=\left( \dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)} \right) ^\dfrac{1}{-0.941}$$

Sie können jetzt die Messungen verwenden und die Funktion in partielle Taylor-Reihen schreiben.

$${\displaystyle x_{approx} = f(V_a)+{\frac {f'(V_a)}{1!}}(V_2-V_a)+{\frac {f''(V_a)}{2!}}(V_2-V_a)^{2}+{\frac {f'''(V_a)}{3!}}(V_2-V_a)^{3}+\cdots ,}$$

Für jeden Messpunkt a berechnen Sie die 1 bis n-te Differenz (zusätzliche LUT-Tabelle, mit festen Zahlen) und berechnen dann den interpolierten Wert. Die Verwendung nur der 1. Ableitung könnte in Ordnung sein, mit der 2. Ableitung ist der Messfehler größer als der Näherungsfehler, die 3. Ableitung ist ein Overkill.

Wenn Sie etwas MATLAB, Octave, ... haben, können Sie die Ableitungen lösen und Zahlen berechnen. Dann verwenden Sie diese vorberechneten Werte in Bezug auf Ihre Kalibrierpunkte. Der einzige Overhead für die CPU ist dann das Quadrieren von (V2-Va).

Sie könnten die Taylor-Reihe für zwei benachbarte Punkte erweitern/modifizieren. Verknüpfung

BEARBEITEN:

Ich habe im Netz nach einer symbolischen Differenzierung gesucht. Zunächst einmal finden Sie in den Schulbüchern normalerweise eine Funktion, die als y=f(x) definiert ist, also ordnen wir sie neu an

y=(R_1/(244,45*(V_R/x-1)))^(1/-0,941)

wobei y die Kraft und x die gemessene Spannung ist

Ich habe die Gleichung (R_1/(244.45*(V_R/x-1)))^(1/-0.941) in einen Online-Solver eingefügt - www.derivative-calculator.net . Ich habe die Werte Vref=3,3V, R1=220 Ohm gewählt.

Ich habe die Spannung V2 gemäß Gleichung (1) berechnet, wenn Rt = 130, gemäß Ihrem Diagramm (Funktionsäquivalent) sollte sie bei Kraft = 2 liegen.

V2 = 3,3 * 130 / (220 + 130) = 1.225 V

Ich schaff das:

Die Kraft sollte ca. 2, ich weiß nicht, warum diese Abweichung ist. Der Löser hat auch eine Vereinfachung der Funktion vorgenommen:

$$\dfrac{4889^\frac{1000}{941}\left(\frac{V_{ref}}{x}-1\right)^\frac{1000}{941}}{20^\frac{1000}{941}R_1^\frac{1000}{941}}$$

Schließlich ist die 1. Ableitung:

$$-\dfrac{50{\cdot}4889^\frac{1000}{941}V_{ref}\left(\frac{V_{ref}}{x}-1\right)^\frac{59}{941}}{941{\cdot}20^\frac{59}{941}R_1^\frac{1000}{941}x^2}$$

Jetzt müssen Sie nur noch Werte einfügen.

Zum Beispiel 1. Punkt (F=1; Rt=230), V2=3,3*230/(220+230)= 1,686 V. Ich füge diesen Wert als x ein, und der Wert der 1. Ableitung ist f'(1,686) = -1,37612. Die zweite Ableitung ist 1,737047.

Für die kleine Abweichung um den 1. Punkt könnte die Kraft als Taylorreihe 2. Ordnung berechnet werden:

$$F_{approx} = 1 - 1.37612\cdot (V_2-1.686V)+0.68806\cdot (V_2-1.686V)^2$$

Berechnung des V2 für den 2. Punkt (F=2; Rt=135) wie schon zuvor V2=1,225 und Einsetzen in obige Gleichung ergibt F=1,78