Wie berechnet man die Nachtzeit während eines Fluges?

Die Antwort auf diese Frage erfordert einiges an sphärischer Trigonometrie . Forderung$(\lambda_1,\varphi_1)$Längen- und Breitengrad des Abfahrtsortes und$(\lambda_2,\varphi_2)$die Koordinaten des Ziels. Nehmen wir an, das Flugzeug fliegt auf einem Großkreis. Dann wird es einen Gesamtwinkel zurücklegen$\theta$, gegeben von

$$\cos\theta = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\lambda_2-\lambda_1).$$ Wenn $\theta$wird es im Bogenmaß ausgedrückt, dann ist der entsprechende Abstand $D=\theta R_\oplus$, mit $R_\oplus$der Radius der Erde. Angenommen, die Gesamtflugzeit ist $T$, und dass das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt. Wenn $t$ist also die Zeit seit dem Start $$\begin{align} \theta_1 &= \theta t/T,\\ \theta_2 &= \theta -\theta_1, \end{align}$$ Wo $\theta_1$ist der Winkel, den das Flugzeug zur Zeit zurücklegt $t$, während $\theta_2$ist der Winkel, den das Flugzeug noch zurücklegen muss. Zum Zeitpunkt $t$, befindet sich das Flugzeug dann über dem Ort $(\lambda,\varphi)$, gegeben von $$\begin{align} \cos\theta_1 &= \sin\varphi_1\sin\varphi + \cos\varphi_1\cos\varphi\cos(\lambda-\lambda_1),\\ \cos\theta_2 &= \sin\varphi_2\sin\varphi + \cos\varphi_2\cos\varphi\cos(\lambda-\lambda_2), \end{align}$$ aus denen $(\lambda(t),\varphi(t))$hergeleitet werden (nach einigen langwierigen Berechnungen).

Wenn wir die grüne mittlere Sonnenzeit kennen $t_0$im Moment der Abreise, dann können wir den Stundenwinkel erhalten $H_\odot(t)$der Sonne bei$(\lambda(t),\varphi(t))$:

$$H_\odot(t) + 12^\text{h}=t_0 +t + \lambda(t)\qquad\text{(modulo $24^\text{h}$)},$$ wobei alle Variablen in Stunden, Minuten und Sekunden ausgedrückt werden (und $360^\circ$Korrespondiert mit $24^\text{h}$). Wir müssen auch die Deklination der Sonne kennen $\delta_\odot$während des Fluges (also müssen wir das Datum wissen).

Die Höhe der Sonne $a_\odot(t)$über dem lokalen Horizont liegt dann

$$\sin a_\odot(t) = \sin\varphi(t)\sin\delta_\odot + \cos\varphi(t)\cos\delta_\odot \cos H_\odot(t)$$ (siehe die Wiki-Seite zu Himmelskoordinaten ). Sonnenuntergang und Sonnenaufgang korrespondieren mit $a_\odot=0^\circ$ am Boden (unter Berücksichtigung der atmosphärischen Brechung). Mit einfacher Trigonometrie lässt sich das aus der Flugzeugperspektive in der Höhe leicht zeigen $h$, Sonnenuntergang und Sonnenaufgang treten auf, wenn $$a_\odot= -\cos^{-1}(R_\oplus/(R_\oplus+h)).$$

Eine Möglichkeit wäre, den Kurs des Fluges als eine Reihe diskreter Punkte darzustellen und an jedem Punkt auf dem Weg zu prüfen, ob es Tag oder Nacht ist, um festzustellen, wann der Flug in den Erdschatten eintritt oder ihn verlässt. Die Genauigkeit ist auf die Größe Ihres Zeitinkrements beschränkt, aber eine einmal pro Minute durchgeführte Überprüfung auf einem Computer sollte kein Problem darstellen.

Für ein hochpräzises Ergebnis müssten Sie die tatsächlichen Flugkorridore programmieren; aber für eine grobe Schätzung wird die Annahme des kürzesten direkten Weges wahrscheinlich in den meisten Fällen gut genug sein.