Wie berechnet man die Periodenlänge einer Sinuswelle bei einer festen "Bogen" -Länge und einer variablen maximalen Amplitude?

Question

Wie berechnet man die Periodenlänge einer Sinuswelle bei einer festen "Bogen" -Länge und einer variablen maximalen Amplitude?

Mike

Ich stecke bei einem Problem fest, bei dem ich die halbe Periodenlänge einer Sinuswelle bei einer festen "Bogen" -Länge der Sinuswelle und einer variablen maximalen Amplitude lösen muss. Ich habe das Problem dargestellt:

Ist dieses Problem lösbar? Kann es auf eine einigermaßen kostengünstige rechnerische Weise angenähert werden? Es ist für ein Problem, bei dem ich es basierend auf den Amplitudenänderungen (z. B. von 0 auf 1) ständig neu berechnen muss.

Danke.

jorik

Welche Bedeutung haben die Anführungszeichen um "arc"? Meinen Sie etwas anderes als das, worauf sich "Bogenlänge" im Standardgebrauch bezieht?

jorik

Außerdem ist mir nicht klar, welchen Unterschied Sie zwischen der "festen" Bogenlänge und der "variablen" Amplitude der Sinuswelle machen. Wenn ich das richtig verstehe, sind beide gegeben?

Mike

Die feste Lichtbogenlänge ändert sich nicht über die Zeit. Die Amplitude der Sinuswelle ändert sich mit der Zeit. Beides ist gegeben. Aber nur die Amplitude der Sinuswelle ändert sich. Dann möchte ich daraus die halbe Periodenlänge wissen. Die Anführungszeichen stehen um das Wort Bogen, weil ein Bogen ein Teil eines Kreises ist. Eine Sinuswelle ist kein Bogen. Es sieht einfach aus wie ein Bogen, also habe ich es so genannt.

jorik

Es ist mir nicht klar, wie die Änderung im Laufe der Zeit für das Problem relevant ist. Wie unterscheidet sich dieses Problem davon, wenn Sie nur angeben, dass die Bogenlänge und die Amplitude gegeben sind und Sie nach der (halben) Periode suchen? Zu den Definitionen von „Bogen“ und „Bogenlänge“ siehe dictionary.com/browse/arc?s=t („jeder ununterbrochene Teil des Umfangs eines Kreises oder einer anderen gekrümmten Linie“) und en.wikipedia.org/wiki /Arc_length ("Bogenlänge ist der Abstand zwischen zwei Punkten entlang eines Abschnitts einer Kurve."). Keine Angebote erforderlich.

Antworten (1)

Wie berechnet man die Periodenlänge einer Sinuswelle bei einer festen "Bogen" -Länge und einer variablen maximalen Amplitude?

Welche Bedeutung haben die Anführungszeichen um "arc"? Meinen Sie etwas anderes als das, worauf sich "Bogenlänge" im Standardgebrauch bezieht?
Außerdem ist mir nicht klar, welchen Unterschied Sie zwischen der "festen" Bogenlänge und der "variablen" Amplitude der Sinuswelle machen. Wenn ich das richtig verstehe, sind beide gegeben?
Die feste Lichtbogenlänge ändert sich nicht über die Zeit. Die Amplitude der Sinuswelle ändert sich mit der Zeit. Beides ist gegeben. Aber nur die Amplitude der Sinuswelle ändert sich. Dann möchte ich daraus die halbe Periodenlänge wissen. Die Anführungszeichen stehen um das Wort Bogen, weil ein Bogen ein Teil eines Kreises ist. Eine Sinuswelle ist kein Bogen. Es sieht einfach aus wie ein Bogen, also habe ich es so genannt.
Es ist mir nicht klar, wie die Änderung im Laufe der Zeit für das Problem relevant ist. Wie unterscheidet sich dieses Problem davon, wenn Sie nur angeben, dass die Bogenlänge und die Amplitude gegeben sind und Sie nach der (halben) Periode suchen? Zu den Definitionen von „Bogen“ und „Bogenlänge“ siehe dictionary.com/browse/arc?s=t („jeder ununterbrochene Teil des Umfangs eines Kreises oder einer anderen gekrümmten Linie“) und en.wikipedia.org/wiki /Arc_length ("Bogenlänge ist der Abstand zwischen zwei Punkten entlang eines Abschnitts einer Kurve."). Keine Angebote erforderlich.

David K · Answer 1

Im Allgemeinen ist die Länge einer Sinuskurve über eine halbe Periode ein vollständiges elliptisches Integral; siehe Was ist die Länge einer Sinuswelle aus $0$ Zu $2\pi$ ? Sie können mit einer Amplitude und einer Periode arbeiten, um eine Bogenlänge zu erhalten, aber die Berechnung des Integrals zu "invertieren", um eine Periode für eine bestimmte Amplitude und Bogenlänge zu erhalten, wird schwierig und wahrscheinlich rechenintensiv sein.

Was ich stattdessen vorschlagen würde, ist, eine Tabelle zu erstellen, die die Perioden für eine feste Lichtbogenlänge und ausgewählte Amplituden angibt, und innerhalb dieser Tabelle zu interpolieren, um Ergebnisse für andere Amplituden zu erhalten.

Um Einträge in der Tabelle zu generieren, könnten Sie den Punkt fixieren – sagen wir, $2\pi$ der Einfachheit halber - und finden Sie die Lichtbogenlänge für verschiedene Amplituden. Für die Kurve $y = a \sin x$ der Amplitude $a$ , die Bogenlänge ist

L (A) = \int_{0}^{2 π} \sqrt{1 + A^{2} \cos^{2} X} D X .

$\newcommand{d}{\,\mathrm d} L(a) = \int_0^{2\pi} \sqrt{1 + a^2 \cos^2 x} \d x.$

Jetzt können Sie die gesamte Figur in alle Richtungen um den Faktor skalieren $1/L(a)$ um die Kurve zu erhalten

j = \frac{A}{L (A)} Sünde (L (A) \cdot X)

$y = \frac{a}{L(a)} \sin(L(a)\cdot x)$ die Amplitude hat

\frac{a}{L (a)}

$\frac{a}{L(a)}$ , Halbzeit

\frac{π}{L (a)},

$\frac{\pi}{L(a)},$ und Bogenlänge

1.

$1.$ Tragen Sie diese Amplitude und Halbperiode in Ihre Tabelle ein.

Um die Halbperiode für eine gegebene Bogenlänge zu erhalten $L$ und Amplitude $A,$ den Wert nachschlagen $\frac AL$ Suchen Sie in der Spalte "Amplitude" Ihrer Tabelle die interpolierte Halbperiode mithilfe der Tabelle und multiplizieren Sie dann den interpolierten Wert mit $L.$

Das Generieren der Tabelle erfordert einige Arbeit im Voraus, aber Sie können diese Arbeit einmal erledigen und die Ergebnisse in einer Datendatei speichern, die beim Start Ihres Programms eingelesen und immer wieder verwendet werden kann. Je mehr Werte Sie im Voraus berechnen, desto genauer wird die Interpolation; Sie können anstelle der linearen Interpolation auch kubische Splines verwenden, um bei gleicher Anzahl von Zeilen in Ihrer Tabelle eine höhere Genauigkeit zu erzielen.

Wie berechnet man die Periodenlänge einer Sinuswelle bei einer festen "Bogen" -Länge und einer variablen maximalen Amplitude?

Mike

jorik

jorik

Mike

jorik

Antworten (1)

David K

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