Wie berechnet man die Übertragungsfunktion?

Die Anwendung der FACTs ist der schnellste Weg für diese Schaltung. Es ist ein Filter erster Ordnung (ein energiespeicherndes Element) und seine Übertragungsfunktion gehorcht dem folgenden Ausdruck:

$H(s)=H_0\frac{1+s\tau_2}{1+s\tau_1}$

Die Bedingungen$\tau_1$Und$\tau_2$bezeichnen jeweils die Zeitkonstanten des betrachteten energiespeichernden Elements (hier ist es$C_1$), wenn die Schaltung mit einem genullten Stimulus beobachtet wird ($V_{in}=0\;V$, kurz die Quelle) und wann die Antwort$V_{out}$auf Null gesetzt (0 V trotz Stimulus-Präsenz). Hier gibt es keine Null und$\tau_2=0$.

In diesem Ausdruck$H_0$die erhaltene quasistatische Verstärkung darstellt$s=0$. Zur Bestimmung der DC-Übertragungsfunktion z$s=0$, öffnen Sie den Kondensator und zeichnen Sie die Schaltung neu:

Die DC-Verstärkung ist unmittelbar und gleich$H_0=\frac{R_2}{R_2+R_1}$

Jetzt für die Zeitkonstante den Stimulus einfach auf 0 V reduzieren und ersetzen$V_{in}$durch einen Kurzschluss. "Schauen" Sie dann in die Anschlüsse des Kondensators, um den Widerstand zu bestimmen. Dies ist der Pfeil gefolgt von R? in der Zeichnung. Sie sehen einen Widerstand gleich:$R=(R_1||R_2)+R_3$führt zu einer Zeitkonstante$\tau_1$gleich$\tau_1=[(R_1||R_2)+R_3]C_1$. Und das ist es!

Die Übertragungsfunktion erhält man durch Betrachtung der Schaltung und erscheint sofort in entropiearmer Form:

$H(s)=H_0\frac{1}{1+\frac{s}{\omega_p}}$mit$H_0=\frac{R_2}{R_2+R_1}$Und$\omega_p=\frac{1}{[(R_1||R_2)+R_3]C_1}$

Dies ist die korrekte Schreibweise dieser Übertragungsfunktion: ein führendes Glied und ein klar faktorisierter Pol. Die parallelen Terme müssen nicht entwickelt werden: Dies gibt Einblick in diesen Ausdruck und lässt Sie sofort sehen, wie sich die Zeitkonstante entwickelt, wenn einer der Widerstände untergeht oder sich unendlich nähert. Die Handlung ist unten angegeben:

Man sieht, wie schnell man auf einen Schlag zum aussagekräftigen Ergebnis kommt. An der unten gezeigten Matrixform ist nichts auszusetzen, aber ich denke, sie ist für diese einfache Schaltung etwas "überdimensioniert". Lemmy hätte "Overkill!" gesagt.

Reddevil - ja, die angegebene Übertragungsfunktion (allgemeine Form) ist korrekt. Vielleicht ist es hilfreich, beide Ausdrücke mit (jwC) als gemeinsamem Faktor zu kombinieren. Die Übertragungsfunktion nimmt in diesem Fall die klassische Form H=1/(c+jwT) mit c=const an. und T = Zeitkonstante.

Übertragungsfunktionen sind Ausdrücke, die eine Ausgangsgröße dividiert durch eine Eingangsgröße darstellen. Sie geben hier keine Input- oder Output-Menge an.

Außerdem benötigen Sie eine Referenzspannung. Spannungen werden als Potentialunterschiede zwischen Punkten angegeben. Ohne eine Referenz könnten Sie nicht sagen, dass Knoten 4 5 oder 12 oder 10000 Volt hat; Sie könnten nur sagen, dass Knoten 4 5 oder 10 oder 1000 Volt höher ist als Knoten 3.

Sobald Sie herausgefunden haben, was Ihr Eingang, Ausgang, Referenzpunkt und Ihre Referenzspannung sind, können Sie mit der Ermittlung der Übertragungsfunktion fortfahren. Es gibt ein paar verschiedene Techniken, die Sie verwenden können, aber ich verwende gerne die Mesh-Current-Methode. Ich habe unten ein Beispiel für die Maschenstrommethode für Ihre Schaltung skizziert. Eine Internetsuche nach der Mesh-Current-Methode wird Ihnen sagen, wie es geht. Die Maschenstrommethode liefert Ihnen ein System von N linearen Gleichungen, wobei N die Anzahl der Stromschleifen in Ihrem Netzwerk ist.

Sie können dieses System linearer Gleichungen von Hand lösen oder sie in Matrixform Z*I = V schreiben, wobei Z alle Ihre R's, C's und L's enthält; I ist Ihre aktuelle Schleife; und V ist Ihre Spannung. Sie können dann mit einem Matrixlöser wie numpy in Python oder MATLAB mit I = inv(Z)*V nach den Strömen I auflösen. Dies ist eine gute Möglichkeit, Ihre Antwort zu überprüfen oder größere Netzwerke zu lösen. Der folgende Link beschreibt diese Methode.

http://www.analyzemath.com/applied_mathematics/electric_circuit_1.html

Sobald Sie Ihre Mesh-Ströme aufgelöst haben, können Sie jede Spannungsdifferenz finden. In diesem Beispiel ist die Spannung an R2 R2*(I1-I2). Wenn wir nun wissen, dass die Referenzspannung 0 Volt beträgt und der Referenzpunkt Knoten 2 ist, dann können wir sagen, dass die Spannung am Knoten 3 0 + R2*(I1-I2) ist.

Sobald Sie die Größe (in diesem Fall eine Spannung) an Ihrem Ausgangsknoten kennen, können Sie die Übertragungsfunktion finden, indem Sie durch Ihre Eingangsgröße (in diesem Fall eine Spannung) dividieren. Dies wird eine rationale Funktion sein, und die Wurzeln des Nenners werden die Pole genannt und die Wurzeln des Zählers werden die Nullen genannt. Ihre Grenzfrequenz ist der Pol Ihrer Übertragungsfunktion. Wenn Sie mehrere Pole haben, haben Sie mehrere Grenzfrequenzen, wenn die Pole einzigartig sind. Sinnvoll ist dies bei einem Bandpass- oder Notchfilter. Wenn die Pole gleich sind, dh der Nenner der rationalen Funktion hat wiederholte Wurzeln, dann haben Sie nur 1 Grenzfrequenz, aber Sie haben nach der Grenzfrequenz eine stärkere Dämpfung als wenn nur 1 Pol bei der Grenzfrequenz vorhanden wäre.

Ich bekomme die gleiche Übertragungsfunktion wie Sie

$H(s)=\frac{R2}{R1 + R2 + sC_1(R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3)}$

syms R1 R2 R3 C1 s v1

% write mesh current equations
Z = [-(R2+R1) R2;
    R2 -(R2+R3+1/(s*C1))];
V = [-v1; 0];
I = inv(Z)*V;

% identify transfer function
tf = (I(2) * 1/(s*C1)) / v1;

% solve poles and zeros
[num,den] = numden(tf);
zeros = solve(num,s); % there are no zeros
poles = solve(den,s);

% numerical evaluation
vars = [R1 R2 R3 C1];
numVars = [100 1e3 1.24e3 1e-9];
cutoff = vpa(subs(poles(1), vars, numVars));