Wie berechnet man die Zeit, die ein Raumfahrzeug benötigt, um eine bestimmte Anzahl von Metern auf einer elliptischen oder hyperbolischen Bahn zurückzulegen?

Wir haben eine elliptische Umlaufbahn und Raumschiffe, die sie bereisen. Ich brauche eine Formel, um die Zeit zu berechnen, die das Raumfahrzeug benötigt, um ausgehend von seiner aktuellen Position eine bestimmte Anzahl von Metern zurückzulegen.

Keplersche Elemente der Umlaufbahn sind bekannt.

Wenn ich den Unterschied zwischen aktueller und zukünftiger wahrer Anomalie kenne, kann ich diese Zeit mit der Formel der Umlaufzeit berechnen, aber wie finde ich die zukünftige Anomalie anhand der gegebenen Orbitalellipsen-Sehnenlänge (nächster Punkt) und der anfänglichen wahren Anomalie?

Und ich brauche auch die gleichen Berechnungen für die hyperbolische Flugbahn

Ich glaube nicht, dass es eine geschlossene Formel für die Bogenlänge entlang einer beliebigen Ellipse gibt, und Sie müssen wahrscheinlich zu numerischen Annäherungen führen. Was haben Sie mit diesem Wert vor? Möglicherweise gibt es viel einfachere Optionen, die die gewünschten Ergebnisse liefern.
@notovny Wir können die Bogenlänge durch die Akkordlänge ersetzen. Ist es kalkulierbar?
Als Ausgangspunkt wollen Sie ein unvollständiges elliptisches Integral zweiter Art. Einige Tools (z. B. Mathematica, MATLAB) stellen Implementierungen bereit. (Die meisten tun dies nicht.) Dieser Ausgangspunkt liefert die Bogenlänge von einem Zeitpunkt zum anderen (alternativ, mit einer anderen Formulierung, die Bogenlänge von einer wahren Anomalie zur nächsten). Deshalb habe ich "Ausgangspunkt" geschrieben. Sie wollen die Umkehrfunktion eines unvollständigen elliptischen Integrals zweiter Art. Ich kenne kein Tool, das das bietet.

Antworten (1)

Für jede nichtelliptische Umlaufbahn (z. B. eine hyperbolische Umlaufbahn) oder wenn die Umlaufbahndynamik nicht nur eine Zweikörperdynamik mit einer einzigen Punktmasse ist, benötigen Sie einen numerischen Integrator wie einen Runge-Kutta 89.

Sie können den lokalen Geschwindigkeitsvektor als schlechte Annäherung oder erste Schätzung für einen Newton-Raphston-Ansatz verwenden, wenn Sie wirklich keinen numerischen Integrator verwenden möchten, aber diese Lösung wird wahrscheinlich nicht gut sein.

Der einzige Grund, warum Menschen dazu neigen, vorhandene astrodynamische Werkzeuge zu verwenden, liegt in der Komplexität der korrekten, genauen und schnellen Implementierung der Orbitalmechanik.

Wird es einfacher, wenn wir die Bogenlänge durch die euklidische Länge zum Punkt (Sehnenlänge) ersetzen?
@Robotex, wie genau soll die Antwort sein? Sie könnten sicherlich einige Berechnungen erzwingen, um Ihnen eine Zahl zu geben, aber wenn Sie nicht sehr vorsichtig sind, wird die Zahl, die Sie finden, zu falsch sein, um nützlich zu sein. Eine Möglichkeit, die ich zum Lesen der Antwort von ChrisR raten würde, lautet: „Selbst diese scheinbar einfache Sache erfordert ernsthafte numerische Berechnungen. Bitte lernen Sie, ein vorhandenes Tool zu verwenden, das Ihnen gute Antworten gibt, anstatt zu versuchen, etwas von Grund auf neu zu schreiben, das Sie niemals testen können gründlich."
@RyanC "Bitte lernen Sie, ein vorhandenes Tool zu verwenden, das Ihnen gute Antworten gibt" - in diesem Fall werde ich nichts lernen
@Robotex Beginnen Sie in diesem Fall mit David Hammens Vorschlag zu elliptischen Integralen, da Sie dadurch die genaue Lösung erhalten, wenn die Umlaufbahn tatsächlich eine Ellipse wäre. Beginnen Sie danach mit der numerischen Lösung der Bewegungsgleichungen, um die Länge der Kurve zu messen, die eigentlich keine Ellipse ist. Ich stehe auf den Prädiktor-Korrektor Adams-Bashforth-Moulton, aber auch Runge-Kutta-Fehlberg oder Dormand-Prince sind nützliche Ergänzungen für Ihre Toolbox.
@Robotex, entschuldige bitte, falls meine Antwort so rübergekommen ist. Was ich sagen wollte, ist, einen Runge Kutta 89 numerischen Integrator zu verwenden (oder einen zu schreiben, wenn Sie wollen). Schreiben Sie dann die Bewegungsgleichungen für die Orbitaldynamik unter Verwendung kartesischer Koordinaten (ich glaube, dass Kepler-EOMs mit hyperbolischen Umlaufbahnen wegen negativer SMA versagen werden, aber auf jeden Fall sind sie nicht präzise). Programmieren Sie dann ein Interpolationsschema (Hermite oder ein anderes), um die Trajektorie zu interpolieren. Implementieren Sie schließlich einen Brent-Solver, um die Trajektorie nach der gewünschten wahren Anomalie zu durchsuchen.
@RyanC Ich bin neugierig auf deine Gedanken zu Adams Bashforth im Vergleich zu Runge Kutta. Ich habe immer RKs verwendet, konnte aber überzeugt werden, Adams Bashforth zu wechseln. Ist es nicht ein impliziter Integrator?
@ChrisR zu hart für mein Gehirn)
@ChrisR Adams-Methoden sind mehrstufige Polynomversionen höherer Ordnung der Vorwärts- und Rückwärts-Euler-Methoden. Adams-Bashforth ist der explizite Prädiktor und Adams-Moulton ist der implizite Korrektor. Sie haben gute Stabilitätseigenschaften auch bei relativ großen Schritten, zumindest in der Art von Gleichungen, die wir für Umlaufbahnen haben. Ich habe mich für sie entschieden, weil sie das beste Werkzeug waren, das ein Softwarepaket, das ich einmal verwenden musste, bisher implementiert hatte. Das Buch, das mich davon überzeugt hat, dabei zu bleiben, ist Gerhard Beutler, Methods of Celestial Mechanics (2004), insbesondere die Abschnitte 7.4 und 7.5
Können Sie mir ein Beispiel geben?
@Robotex ein Beispiel für was?
Wie berechnet man die Zeit, die ein Raumfahrzeug benötigt, um eine bestimmte Anzahl von Metern auf einer elliptischen oder hyperbolischen Bahn zurückzulegen?
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