Wie beweise ich, dass eine Folge gegen unendlich divergiert?

Question

Wie beweise ich, dass eine Folge gegen unendlich divergiert?

Grenzen
Analyse
Infinitesimalrechnung
Mathematik
Folgen-und-Serien
Lösungsverifikation

Eugenio T.

Ich habe mir ein paar Tage lang den Kopf zerbrochen, wie ich die Konvergenz / Divergenz von Sequenzen bestimmen kann. Ich habe es geschafft zu verstehen, wie man beweist, dass eine Folge konvergiert, habe aber immer noch zahlreiche Zweifel am Beweis der Divergenz.

Sag ich habe $\lim_{n \to +\infty } \sqrt{n+1} = +\infty$ und ich muss beweisen, dass die Folge divergiert.

Was ich getan habe, ist die Definition der konvergierenden Sequenz zu verwenden

$| a_n - L | < \ \varepsilon$

Wobei L eine theoretische Grenze ist (feste, reelle Zahl) und $\varepsilon$ ist auch eine theoretische, reelle Zahl, die die Sequenz begrenzt (verstehe ich das richtig?)

Dann habe ich den Widerspruchsbeweis versucht

$-\varepsilon \ < \sqrt{n+1} - L < \varepsilon$

$-\varepsilon + L < \sqrt{n+1} < \varepsilon + L$

$(-\varepsilon + L)^2 - 1 < n < (\varepsilon + L)^2 - 1$

Vorausgesetzt, dass $\varepsilon$ und L feste, reelle Zahlen sind, können wir immer ein n finden, das größer ist als jede Operation, die zwischen diesen Zahlen durchgeführt wird, was der Tatsache widerspricht, dass eine Schranke existiert.

Ist der Beweis, den ich mir ausgedacht habe, gültig und ausreichend?

Ich möchte mich im Voraus bei Leuten entschuldigen, die damit vertraut sind, falls ich ein schreckliches Chaos angerichtet habe.

lulu

Das ist schwer nachzuvollziehen. Was ist

L

$L$ in deinem beispiel?

Eugenio T.

Eine theoretische reelle Zahl, die eine Grenze der Folge wäre. Also grundsätzlich einschränken.

lulu

Zu zeigen, dass

lim_{n \to \infty} f (n) = \infty

$\lim_{n\to \infty} f(n)=\infty$ das muss man doch beweisen

M

$M$ , es existiert

N = N (M)

$N=N(M)$ so dass

n > N ⟹ f (n) > M

$n>N\implies f(n)>M$ . Ganz anders als du geschrieben hast.

lulu

Das macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn. Der Ausdruck

| a_{n} - \infty | < ϵ

$|a_n-\infty|<\epsilon$ macht keinen Sinn.

abiesu

Ein typischer Ansatz ist, das für alle zu sagen

M

$M$ es existiert ein

n

$n$ so dass

\sqrt{n + 1} > M

$\sqrt {n+1}\gt M$ ...

Eugenio T.

Das wäre ein Beweis dafür, dass eine Folge kontinuierlich zunimmt. Ich habe es bewiesen, indem ich der Definition der Konvergenz widersprach. Oder übersehe ich etwas und kann in diesem Fall keinen Widerspruchsbeweis verwenden?

311411

Ich konnte Eugenio folgen, obwohl ich denke, dass es etwas verbessert werden muss. Er sagt: „Annehmen

a_{n} \to L \in R

$a_n \to L \in \mathbb{R}$ "... suche einen Widerspruch

Gregor Martin

Meine Interpretation ist, dass das OP weiß, dass die Grenze "gleich ist

\infty

$\infty$ " und soll beweisen, dass die Grenze nicht existiert, das heißt, die Grenze entspricht keiner reellen Zahl

L

$L$ . Ich finde die Argumentation grundsätzlich richtig, könnte aber etwas deutlicher geschrieben werden.

lulu

In diesem Fall ist ein direkter Beweis viel einfacher. Unter Verwendung meiner Notation,. lassen

N (M) = M^{2} - 1

$N(M)=M^2-1$ , Zum Beispiel.

Eugenio T.

Ja, tut mir leid, das habe ich übersehen und nicht in den Titel geschrieben. Die Frage, die mir gestellt wurde, lautet: "Beweisen Sie, dass es zu + divergiert

\infty

$\infty$

lulu

Ja, ich dachte, das wollten Sie tun.

Eugenio T.

Also muss ich im Grunde einen anderen Ansatz verfolgen und beweisen, dass die Sequenz mit jedem Schritt zunimmt und somit gegen unendlich geht? Es ist wirklich schwer für mich, das Konzept zu verstehen, es ist meine erste Erfahrung, Grenzen zu lernen.

lulu

Nein, Sie müssen nicht nachweisen, dass es streng steigend ist (obwohl das in diesem Fall nicht schwierig ist). Alles, was Sie zeigen müssen, ist, dass bei einem gegebenen Schwellenwert (den ich genannt habe

M

$M$ die Sie aber beliebig nennen können), wird die Folge schließlich größer als

M

$M$ und bleibt größer als

M

$M$ .

lulu

Beginnen Sie mit einem einfacheren: Beweisen Sie das

lim_{n \to \infty} n = \infty

$\lim_{n\to \infty}n = \infty$ .

lulu

Soll betont werden: nicht alle aufsteigenden Folgen divergieren

\infty

$\infty$ . Zum Beispiel:

A_{n} = 1 - \frac{1}{n}

$A_n=1-\frac 1n$ ist streng ansteigend und

lim_{n \to \infty} A_{n} = 1

$\lim_{n\to \infty}A_n=1$ .

Eugenio T.

Ja, das habe ich. Also habe ich im Grunde genommen durch das, was ich oben getan habe, bewiesen, dass die Sequenz divergiert, aber nicht, dass sie ins Unendliche divergiert. Um letzteres zu tun, muss ich davon ausgehen, dass es eine Schwelle gibt, die die Sequenz passiert und schließlich darüber bleibt?

lulu

Ich denke, es geht nur darum, das, was Sie geschrieben haben, neu zu verpacken. Gegeben

L \in R

$L\in \mathbb R$ , wir sehen das

n > L^{2} - 1 ⟹ a_{n} > L

$n>L^2-1\implies a_n>L$ . Das ist alles, was Sie brauchen. Informell heißt das: „Für jeden Wert, der mir einfällt, die Sequenz

a_{n}

$a_n$ kommt schließlich über diesen Wert und bleibt von diesem Punkt an darüber."

Antworten (1)

Wie beweise ich, dass eine Folge gegen unendlich divergiert?

Das ist schwer nachzuvollziehen. Was ist $L$ in deinem beispiel?
Eine theoretische reelle Zahl, die eine Grenze der Folge wäre. Also grundsätzlich einschränken.
Zu zeigen, dass $\lim_{n\to \infty} f(n)=\infty$ das muss man doch beweisen $M$ , es existiert $N=N(M)$ so dass $n>N\implies f(n)>M$ . Ganz anders als du geschrieben hast.
Das macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn. Der Ausdruck $|a_n-\infty|<\epsilon$ macht keinen Sinn.
Ein typischer Ansatz ist, das für alle zu sagen $M$ es existiert ein $n$ so dass $\sqrt {n+1}\gt M$ ...
Das wäre ein Beweis dafür, dass eine Folge kontinuierlich zunimmt. Ich habe es bewiesen, indem ich der Definition der Konvergenz widersprach. Oder übersehe ich etwas und kann in diesem Fall keinen Widerspruchsbeweis verwenden?
Ich konnte Eugenio folgen, obwohl ich denke, dass es etwas verbessert werden muss. Er sagt: „Annehmen $a_n \to L \in \mathbb{R}$ "... suche einen Widerspruch
Meine Interpretation ist, dass das OP weiß, dass die Grenze "gleich ist $\infty$ " und soll beweisen, dass die Grenze nicht existiert, das heißt, die Grenze entspricht keiner reellen Zahl $L$ . Ich finde die Argumentation grundsätzlich richtig, könnte aber etwas deutlicher geschrieben werden.
In diesem Fall ist ein direkter Beweis viel einfacher. Unter Verwendung meiner Notation,. lassen $N(M)=M^2-1$ , Zum Beispiel.
Ja, tut mir leid, das habe ich übersehen und nicht in den Titel geschrieben. Die Frage, die mir gestellt wurde, lautet: "Beweisen Sie, dass es zu + divergiert $\infty$
Also muss ich im Grunde einen anderen Ansatz verfolgen und beweisen, dass die Sequenz mit jedem Schritt zunimmt und somit gegen unendlich geht? Es ist wirklich schwer für mich, das Konzept zu verstehen, es ist meine erste Erfahrung, Grenzen zu lernen.
Nein, Sie müssen nicht nachweisen, dass es streng steigend ist (obwohl das in diesem Fall nicht schwierig ist). Alles, was Sie zeigen müssen, ist, dass bei einem gegebenen Schwellenwert (den ich genannt habe $M$ die Sie aber beliebig nennen können), wird die Folge schließlich größer als $M$ und bleibt größer als $M$ .
Beginnen Sie mit einem einfacheren: Beweisen Sie das $\lim_{n\to \infty}n = \infty$ .
Soll betont werden: nicht alle aufsteigenden Folgen divergieren $\infty$ . Zum Beispiel: $A_n=1-\frac 1n$ ist streng ansteigend und $\lim_{n\to \infty}A_n=1$ .
Ja, das habe ich. Also habe ich im Grunde genommen durch das, was ich oben getan habe, bewiesen, dass die Sequenz divergiert, aber nicht, dass sie ins Unendliche divergiert. Um letzteres zu tun, muss ich davon ausgehen, dass es eine Schwelle gibt, die die Sequenz passiert und schließlich darüber bleibt?
Ich denke, es geht nur darum, das, was Sie geschrieben haben, neu zu verpacken. Gegeben $L\in \mathbb R$ , wir sehen das $n>L^2-1\implies a_n>L$ . Das ist alles, was Sie brauchen. Informell heißt das: „Für jeden Wert, der mir einfällt, die Sequenz $a_n$ kommt schließlich über diesen Wert und bleibt von diesem Punkt an darüber."

Lee Mosher · Answer 1

Es gibt oft mehrere Möglichkeiten, etwas zu beweisen, und beide in den Kommentaren vorgeschlagenen Methoden sind gültig.

Um beide Methoden zu beschreiben und zu vergleichen, möchte ich zunächst die Definition der Konvergenz wiederholen.

Sozusagen eine Sequenz $a_n$ konvergiert bedeutet:

Es existiert $L \in \mathbb R$ so dass für jeden $\epsilon > 0$ es existiert $N \in \mathbb N$ so dass für jeden $n \in \mathbb N$ , Wenn $n \ge N$ Dann $|a_n - L| < 0$ .

Erste Methode. Die Methode, der Sie gefolgt sind, war Argument durch Widerspruch : Nehmen Sie das an $a_n = \sqrt{n+1}$ konvergiert und zu einem Widerspruch führt. Wie von @GregMartin vorgeschlagen, ist Ihr Beweis im Grunde in Ordnung, aber Sie hätten damit beginnen sollen, ausdrücklich zu sagen, dass Sie einen Widerspruchsbeweis durchführen, und Sie hätten die logischen Schritte klarer ausdrücken sollen, etwa so:

Annehmen, dass $a_n = \sqrt{n+1}$ konvergiert.
Wählen Sie unter Anwendung der Definition der Konvergenz $L \in \mathbb R$ wie in dieser Definition.
Daher für jeden $\epsilon > 0$ wir wissen, dass es existiert $N \in \mathbb N$ so dass für jeden $n \in \mathbb N$ , Wenn $n \ge N$ Dann $|\sqrt{n+1}-L| < \epsilon$ .

Von diesem Punkt an manipulieren Sie diese endgültige Ungleichung genauso wie Sie es getan haben. Dann stellst du am Ende sehr deutlich den Widerspruch dar, zu dem du kommst.

Zweite Methode. Diese Methode besteht aus zwei Schritten.

Schritt 1: Beweisen Sie das $\sqrt{n+1}$ weicht ab $+\infty$ . Dazu müssen Sie die Definition anwenden: sagen, dass das $a_n$ weicht ab $+\infty$ bedeutet:

Für jeden $M > 0$ es existiert $N \in \mathbb N$ so dass für jeden $n \in \mathbb N$ , Wenn $n \ge N$ Dann $a_n \ge M$ .

Schritt 2: Beweise ein allgemeines Lemma: if a sequence $a_n$ weicht ab $+\infty$ Dann $a_n$ konvergiert nicht.

Der Beweis dieses allgemeinen Lemmas wird ein Widerspruchsbeweis sein (etwas wie das, was Sie bereits getan haben): Sie nehmen das an $a_n$ konvergiert gegen eine gewisse Grenze $L$ , und davon gehst du aus $a_n$ weicht ab $+\infty$ , und dann argumentieren Sie zu einem Widerspruch.

Zum Vergleich: Methode 2 ist komplizierter als Methode 1, aber Methode 2 hat einige wichtige Vorteile: Sie liefert mehr Informationen über die Sequenz $a_n = \sqrt{n+1}$ ; und Sie beweisen ein nützliches allgemeines Lemma!

Also, etwas blöde Frage... Aber bei der zweiten Methode sind M und N genau was? Beliebige Zahlen? Wenn ja, was ist die Verbindung zwischen ihnen?
Sie sind quantifizierte Variablen. Sie haben die quantifizierte Variable bereits verwendet $L$ in deinem Beweis dafür $\sqrt{n+1}$ konvergiert nicht. Sie haben implizit auch die quantifizierte Variable verwendet $N$ , als Sie von "an $n$ größer als jede Operation, die zwischen diesen beiden Zahlen durchgeführt wird".
Die Beherrschung des klaren Ausdrucks quantifizierter Variablen und die korrekte logische Verwendung solcher Variablen ist eine der Fähigkeiten, die einen felsenfesten, gültigen Beweis ausmachen.
Also, um es in sehr einfachen Worten auszudrücken und es auf einer kartesischen Ebene zu visualisieren, $M$ wird die Grenze sein, die sich auf Punkte bezieht $y$ Achse und $N$ ist eine Grenze, auf die Bezug genommen wird $x$ Achse? Zumindest irgendwie, nur um ein vages grafisches Verständnis von all dem zu bekommen?
Genauer gesagt, ich meine nicht die Verlegung auf der Achse, sondern nur die $>$ Und $<$ Aussagen
Ja, das ist eine gute Beschreibung. Das Wort "gebunden" wird häufiger verwendet als "Grenze", aber dieselbe Idee.

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Grenzwert der Folge, Squeeze-Theorem?

inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Ein ϵϵ\epsilon Beweis

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Zeigen Sie, dass die Folge nach unten beschränkt ist durch 2–√2{\sqrt 2}

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge entweder ein Minimum, ein Maximum oder beides hat.

Beweisen, dass eine Ableitung existiert, wenn die Grenze von f' gegeben ist

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Wenn lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 im Grenzverhältnistest, folgt daraus, dass die Reihe divergiert?

Ist diese Reihe ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergent oder konvergent? ?

Grenzwert von an=13n+14n−−−−−−√nan=13n+14nna_n = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}}