Wie beweist man eine Formel für die Potenzsumme von 222 per Induktion?

Question

Wie beweist man eine Formel für die Potenzsumme von 222 per Induktion?

Induktion
Summe
Mathematik

Lampenschirm

Wie beweise ich das per Induktion?

Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl n $2^0 + 2^1 + ... + 2^n = 2^{n+1}-1$

Hier mein Versuch.

Basisfall: let $n = 0$ Dann, $2^{0+1} - 1 = 1$ Was wahr ist.

Induktiver Beweisschritt ist: $2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$

Unsere Hypothese lautet: $2^n = 2^{n+1} -1$

Hier komme ich vom Weg ab. Schauen wir uns die rechte Seite der letzten Gleichung an: $2^{n+1} -1$ Ich kann das wie folgt umschreiben.

$2^1(2^n) - 1$ Aber, von unserer Hypothese $2^n = 2^{n+1} - 1$ Daher:

$2^1(2^{n+1} -1) -1$ Hier verliere ich mich. Denn wenn ich durch verteile, bekomme ich das.

$2^{n+2} -2 -1$ Das ist falsch, nicht wahr? Wende ich hier die Exponentenregeln nicht richtig an? Ich habe die Lösung, damit ich weiß, was ich tue, ist falsch. Hier ist der richtige Beweis. Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Arturo Magidin

Ihre Induktionshypothese und das, was Sie für die Induktion zu beweisen versuchen, sind beide falsch. Was Sie zu beweisen versuchen, ist, dass die Summe der Kräfte von $2$ bis zu $n$ ist gleich

2^{n + 1} - 1

$2^{n+1}-1$ . Ihre induktive Hypothese sollte also sein, dass dieses Ergebnis für wahr ist

k

$k$ ; das ist das

2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{k} = 2^{k + 1} - 1.

$2^0+2^1+\cdots+2^k = 2^{k+1}-1.$ Was Sie beweisen wollen, ist, dass daraus folgt, dass das Ergebnis wahr ist

k + 1

$k+1$ , das ist das

2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{k} + 2^{k + 1} = 2^{(k + 1) + 1} - 1 hält.

$2^0+2^1+\cdots+2^{k}+2^{k+1} = 2^{(k+1)+1}-1\quad\mbox{holds.}$ Stattdessen versuchen Sie, das zu beweisen

2^{m} = 2^{m + 1} - 1

$2^m = 2^{m+1}-1$ für alle

m

$m$ , was falsch ist.

Antworten (5)

Wie beweist man eine Formel für die Potenzsumme von 222 per Induktion?

Ihre Induktionshypothese und das, was Sie für die Induktion zu beweisen versuchen, sind beide falsch. Was Sie zu beweisen versuchen, ist, dass die Summe der Kräfte von $2$ bis zu $n$ ist gleich $2^{n+1}-1$ . Ihre induktive Hypothese sollte also sein, dass dieses Ergebnis für wahr ist $k$ ; das ist das $2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{k} = 2^{k + 1} - 1.$ $2^0+2^1+\cdots+2^k = 2^{k+1}-1.$ Was Sie beweisen wollen, ist, dass daraus folgt, dass das Ergebnis wahr ist $k+1$ , das ist das $2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{k} + 2^{k + 1} = 2^{(k + 1) + 1} - 1 hält.$ $2^0+2^1+\cdots+2^{k}+2^{k+1} = 2^{(k+1)+1}-1\quad\mbox{holds.}$ Stattdessen versuchen Sie, das zu beweisen $2^m = 2^{m+1}-1$ für alle $m$ , was falsch ist.

Adam · Answer 1

Eine einfache Möglichkeit, dies zu tun, ist die Verwendung von Binärdateien. Hier ist eine Vorstellung davon, was ich meine:

$2^0$ in binär ist $1$
$2^1$ in binär ist $10$
$2^2$ in binär ist $100$

Für eine allgemeine Regel:

$2^n$ in binär ist $100\cdots0$ (n Nullen)

Fügen Sie diese zusammen und Sie erhalten $2^0 + 2^1 + ... + 2^n$ in binär ist $11...11$ ( $n+1$ Einsen).

Jetzt ist es offensichtlich, dass das Hinzufügen von 1 dazu führt

100 \dots 00 (N + 1 Nullen)

$100\cdots00 \quad\text {($n+1$ zeros)}$ Was, wie wir alle wissen, ist

2^{n + 1}

$2^{n+1}$ .

Daher $2^{n+1} - 1$ gleich ist also die Summe der Zweierpotenzen bis zu $2^n$ .

Das ist "die einfachste Lösung" für dieses Problem (und für mich auch die eleganteste). Das Ziel von OP ist es jedoch, es durch Induktion zu lösen .

Henry · Answer 2

Beide

Induktiver Beweisschritt ist: $2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$
Unsere Hypothese lautet: $2^n = 2^{n+1} -1$

sind falsch und sollten es sein

Induktiver Beweisschritt ist: $2^0 + 2^1 + ... + 2^n + 2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$
Unsere Hypothese lautet: $2^0 + 2^1 + ... + 2^n = 2^{n+1}-1$

Hinzufügen $2^{n+1}$ zu beiden Seiten der Hypothese und Sie haben den Schritt, da zu beweisen $2^{n+1}-1 +2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$

Bill Dubuque · Answer 3

HINWEIS $\$ Hier ist der induktive Beweis für die Summierung einer allgemeinen geometrischen Reihe.

SATZ $\rm\quad 1 + x + \cdots + x^{n-1}\ =\ \dfrac{x^{n}-1}{x-1}$

Nachweisen $\$ Basisfall: Es gilt für $\rm\ n = 1\:,\:$ nämlich. $\rm\ 1 = (x-1)/(x-1)\:$ .

Induktionsschritt: Angenommen, es gilt für $\rm\ n = k\:.\$ Dann haben wir

X^{k} + (X^{k - 1} + \dots + 1) = X^{k} + \frac{X^{k} - 1}{X - 1} = \frac{X^{k + 1} - 1}{X - 1}

$\rm\ x^k + (x^{k-1} +\: \cdots\: + 1)\:\ =\:\ x^k +\frac{x^k-1}{x-1}\ =\ \frac{x^{k+1}-1}{x-1}$

was impliziert, dass es wahr ist $\rm\: n = k+1\:,\:$ damit ist der Induktionsbeweis abgeschlossen.

Der gesuchte Beweis ist nur der Spezialfall $\rm\ x = 2\$ .

Eratosthenes · Answer 4

Ich sehe hier nicht die Antwort, die mir gefällt, also schreibe ich meine eigene.

Basisbeweis:

Wir wollen beweisen $2^0 + 2^1 + ... + 2^{n-1} = 2^n - 1$ für alle $n$ . Wir können durch Inspektion verifizieren, dass dies für n = 1 gilt. Als nächstes nehmen Sie das an $2^0 + 2^1 + ... + 2^{n} = 2^{n+1} - 1$ .

$(2^0 + 2^1 + ... + 2^n) + 2^{n+1} = (2^{n+1} - 1) + 2^{n+1} = 2 \cdot 2^{n+1} - 1 = 2^{n+2} - 1$ , so haben wir gezeigt $2^0 + 2^1 + ... + 2^{n-1} = 2^{n} - 1$ gilt für alle n.

2^n+1 - 1 gibt Ihnen die richtige Antwort, wenn wir n=1 nehmen, dann kommt 2^1+1 -1 statt 2^1 -1. Sie erhalten also 2^2-1 = 3. dh n=1 ergibt 3==3, also ist die Hypothese nicht falsch
@PrasannaSasne Guter Punkt, ich habe meine Antwort aktualisiert. Sehen Sie, was Sie denken.

L_K · Answer 5

lassen $S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + .... + 2^{n-1}$

So $2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^n$

Dann $2S - S = S = (2^1 - 2^0) + (2^2 - 2^1) + ... + (2^{n-1} - 2^{n-1}) + 2^n = 2^n - 1$

und wir haben $2^0 + 2^1 + 2^2 + .... + 2^{n-1} = 2^n - 1$

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Beweisen Sie per Induktion, dass ∑nr=1r⋅r!=(n+1)!−1∑r=1nr⋅r!=(n+1)!−1\sum_{r=1}^nr\cdot r! =(n+1)! -1

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