Wie definiert man die Umkehrung eines Vektors?

Die meisten physikalischen Situationen in der Mechanik können unter Verwendung einer Kombination von Ableitungen modelliert werden – insbesondere Ableitungen der Position: Geschwindigkeit und Beschleunigung. Aber physikalische Situationen können auch auf andere Weise modelliert werden. Betrachten Sie die skalare Gleichung für die Geschwindigkeit in einer Dimension:

$v = \frac{dx}{dt}$

Es kann genauso gut durch eine andere Größe modelliert werden, die als "Langsamkeit" bezeichnet wird und wie folgt beschrieben wird:

$s = \frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$

Welches häufig im täglichen Leben verwendet wird. Beispielsweise messen Läufer normalerweise die Distanz in Minuten pro Meile oder Minuten pro km. Wanderer gehen so langsam, dass es keinen Sinn macht, die Geschwindigkeit in Meilen / Stunde oder einer ähnlichen Einheit zu messen, sondern stattdessen zu sagen, dass sie ~ 20 Minuten pro Meile brauchen. Dies wird jedoch selten, wenn überhaupt, in der Physik verwendet.

Um Langsamkeit physikalisch zu modellieren, gibt es ein paar grundlegende Dinge zu wissen. Erstens, wenn wir Geschwindigkeiten hinzufügen wollen, addieren sie sich ganz gut. Wenn ich auf einem Pritschenwagen stehe und mit 5 m / s fahre, während der LKW 10 m / s fährt (ohne Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie), beträgt meine Gesamtgeschwindigkeit 5 + 10 = 15 m / s. Für eine Langsamkeit müssen wir uns diese Tatsache zunutze machen, um herauszufinden, wie wir Langsamkeiten „addieren“ können.

Wir wissen$v_1+v_2=v_t$, also wenn$s_1=\frac{1}{v_1}$Und$s_2=\frac{1}{v_2}$Und$s_t=\frac{1}{v_t}$Dann$\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}=\frac{1}{s_t}$und deshalb:

$\frac{1}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}}=s_t$

Definieren einer damit verbundenen Operation (genannt "oplus" - hier im Detail besprochen ):

$x \oplus y := \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

und seine Umkehrung ("ominus")

$x \ominus y := \frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} = x \oplus (-y)$

wir haben

$s_1 \oplus s_2 = s_t$,

Während sich also Geschwindigkeiten addieren, sind Langsamkeiten oplus.

Es scheint, dass Langsamkeit nicht einfach in Vektorform gemessen werden kann, obwohl sie dieselbe physikalische Größe wie Geschwindigkeit darstellt und daher sowohl Größe als auch Richtung hat.

Die Vektorversion der Langsamkeit sollte (meiner Meinung nach) drei Anforderungen erfüllen:

1. Richtung beibehalten (gleiche Richtung wie Geschwindigkeitsvektor zeigen)
2. Größe umkehren (Größe der Langsamkeit sollte 1/Geschwindigkeit sein)
3. Koordinatenunabhängigkeit (Langsamkeit in x-Richtung wirkt sich nicht auf y-Richtung aus usw.)

Es gibt nur einen Vektor, der die ersten beiden erfüllt, der Vektor$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|^2}$was leider auch die dritte Anforderung nicht erfüllt, denn die Größenordnung von$\vec{v}$wird von allen Koordinaten von beeinflusst$\vec{v}$. Zum Beispiel, wenn$\vec{v}=\langle1,2\rangle$Dann$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=\langle\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\rangle$aber falls$\vec{v}=\langle1,3\rangle$Dann$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=\langle\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\rangle$was bedeutet, dass durch das Ändern der y-Koordinate auch die x-Koordinate der Langsamkeit geändert wird.

Um die Koordinatenunabhängigkeit zu bewahren und mit der eindimensionalen Definition der Langsamkeit konsistent zu bleiben, kann man einen "Vektor" für die Langsamkeit definieren, indem man den Kehrwert jeder Komponente nimmt. Also wenn$\vec{v}=\langle x,y,z\rangle$Dann$\vec{s}=\langle\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\rangle$.

Das anfängliche Problem besteht darin, dass es scheint, die Richtung nicht beizubehalten oder die Größe des Geschwindigkeitsvektors umzukehren. Es erfordert jedoch die Änderung einer grundlegenden Vektoreigenschaft.

Es kommt darauf an, wie wir Entfernungen in einem Koordinatensystem messen und welche Operationen wir auf Vektoren anwenden. Wir alle wissen, dass sich Vektoren addieren, was Sinn macht, da Geschwindigkeit und Position dasselbe tun, und diese Dinge addieren sich, wenn sie Skalare sind.

Ein Problem bei der Definition von Langsamkeit als Vektor kann sein, dass Langsamkeit nicht einmal in einer Dimension Vektoreigenschaften erfüllt! Langsamkeiten addieren sich nicht, sie oplus (wie oben gezeigt).

Anstatt Langsamkeit als Vektor zu definieren, warum nicht etwas anderes? Etwas, das wie ein Vektor ist, aber seine Eigenschaften leichter ausnutzt. Zum Beispiel könnte es anders sein, wie wir seine Größe und andere Eigenschaften messen:

Gegeben$\vec{v}=\langle x,y,z \rangle$

$\frac{1}{\vec{v}} := [x^{-1},y^{-1},z^{-1}]$<-- kein Vektor, sondern könnte als "inverser Vektor" oder "Invektor" bezeichnet werden, gekennzeichnet durch eckige Klammern

$|\frac{1}{\vec{v}}| := \sqrt{(\frac{1}{x})^2\oplus(\frac{1}{y})^2\oplus(\frac{1}{z})^2}$

Dies scheint sich ziemlich gut zu verhalten, da

$|\frac{1}{\vec{v}}|=\sqrt{(\frac{1}{x})^2\oplus(\frac{1}{y})^2\oplus(\frac{1}{z})^2} = \sqrt{\frac{1}{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{|\vec{v}|}$

Was Anforderung Nr. 2 erfüllt.

Durch diese Definition kann auch Anforderung Nr. 1 erfüllt werden, vorausgesetzt, wir ändern, wie wir Entfernungen messen. Die meisten Menschen sind mit einem Diagramm auf einer logarithmischen Skala vertraut. Dies hilft bei der Visualisierung von Daten, die exponentiell wachsen, indem sich die geometrische Position der Zahlen auf einer Achse ändert.

In unserer neuen Vorstellung von Distanz werden wir mit dem reziproken Raum arbeiten (ich bin mir bewusst, dass dieser Begriff verwendet wird, um ein Kristallgitter zu beschreiben, aber ich verwende hier nicht dasselbe). SOWOHL die x- als auch die y-Achse (wir beginnen mit der Arbeit in 2 Dimensionen) werden neu skaliert, so dass x=1/x und y=1/y. Der Ursprung wird durch einen einzelnen "Punkt im Unendlichen" ersetzt, ähnlich wie bei der projektiven Geometrie.

Das graphische Darstellen reziproker Vektoren in einem Raum, der auf diese Weise gemessen wird, erfüllt Anforderung Nr. 1 – Beibehaltung der Richtung. Alle drei Anforderungen sind also mit dieser neuen Definition erfüllt, vorausgesetzt, wir sagen, dass dies kein Vektor ist und in einem anderen Raum lebt.

Der Vektor$\langle 2,3 \rangle$(rechts gezeigt) sieht, wenn er im kartesischen Raum grafisch dargestellt wird, genauso aus wie der Vektor$\langle \frac{1}{2},\frac{1}{3} \rangle$(links gezeigt) im reziproken Raum grafisch dargestellt.

Eine erstaunliche Sache an diesem Raum ist, dass die geometrische "Spitze-an-Schwanz"-Addition von Vektoren auch auf diesen neuen Raum zutrifft, außer dass sie der Überlagerung von Invektoren anstelle der Addition von Vektoren entspricht. Und vorausgesetzt, dies stellt eine Langsamkeit dar, ist es völlig konsistent mit der Vektoraddition der Geschwindigkeit!

Wir definieren (Invektoren werden mit einem * gekennzeichnet)

gegeben$\vec{a}* = [a_1,a_2]$Und$\vec{b}* = [b_1,b_2]$

$\vec{a}* \oplus \vec{b}* := [a_1 \oplus b_1, a_2 \oplus b_2]$

Zum Beispiel:

$\vec{v_1} = \langle x_1,y_1 \rangle$Und$\vec{v_2} = \langle x_2,y_2 \rangle$

$\vec{v_1}+\vec{v_2} = \vec{v_t} = \langle x_1+x_2,y_1+y_2 \rangle$

als Langsamkeitsinvektor wäre das

$\vec{s_1}* = [\frac{1}{x_1},\frac{1}{y_1}]$Und$\vec{s_2}* = [\frac{1}{x_2},\frac{1}{y_2}]$

$\vec{s_1} \oplus \vec{s_2} = \vec{s_t} = [\frac{1}{x_1+x_2},\frac{1}{y_1+y_2}]$

was konsequent ist, weil$\frac{1}{[\frac{1}{x_1+x_2},\frac{1}{y_1+y_2}]} = \langle x_1+x_2,y_1+y_2 \rangle = \frac{1}{\vec{v_t}}$

Unter Verwendung der Tatsache, dass Vektoraddition dasselbe ist wie Invektor-Oplussierung, ist es möglich zu beweisen, dass es einen neuen Satz des Pythagoras für den Reziprokraum gibt, da Längen im reziproken Raum durch ihre geometrischen Längen geteilt werden.

$c^2=a^2 \oplus b^2$

weil wir das wissen$\frac{1}{length(x)}=x$im reziproken Raum (wobei Länge(x) die Länge ist, die Sie normalerweise messen, wenn Sie zum Beispiel ein Lineal herausnehmen und x die "tatsächliche Länge" ist), und das wissen wir$length(c)^2 = length(a)^2+length(b)^2$

So$\frac{1}{c^2} =\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

Und

$c^2 =\frac{1}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}} = a^2 \oplus b^2$

was die obige Gleichung für die Größe eines Invektors erklärt.

Wir können das auch sehen, wenn wir die umgekehrte Operation von verwenden$\oplus$,$\ominus$(o-minus) können wir eine lineare Abstandsfunktion entlang der Achsen in einer Dimension definieren. Wir können diese Funktion "Nähe" nennen, weil sie angibt, wie nahe ein Objekt einem anderen ist. Eine kleine Nähe ist eine große Distanz und eine große Nähe ist eine kleine Distanz (weil sie reziprok sind).

$closeness(x,y) = c(x,y) := |x \ominus y|$

und für zwei Dimensionen

$c((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \sqrt{(x_1 \ominus x_2)^2 \oplus (y_1 \ominus y_2)^2}$

Die dreidimensionale Formel ist ähnlich.

Wir können sehen, dass unter dieser Formel für Nähe (Abstand) in 1 Dimension der Abstand zwischen dem Kehrwert einer beliebigen Ganzzahl und dem Kehrwert der nächsten 1 ist. Der Abstand zwischen 1 und 1/2 ist$|1\ominus\frac{1}{2}|=1$. Der Abstand zwischen 1/2 und 1/3 ist 1, der Abstand zwischen 1/3 und 1/4 ist 1 und so weiter. Die Abstandsfunktion ist hier translationsinvariant – wenn wir die Achsen verschieben, ändern sich die Längen der Linien nicht.

Ich habe es umgangen, ohne die Tatsache zu erwähnen, dass die Identität unter der Operation oplus steht$\infty$. Ich habe das gefunden$\infty$ist fester Bestandteil dieses Systems. Es funktioniert effektiv genau wie Null im kartesischen System.$a\oplus\infty=a\ominus\infty=a$für alle a und im allgemeinen,$\infty = -\infty$.

Soweit ich das beurteilen kann, macht dies körperlich Sinn - ein Körper mit$0$Geschwindigkeit hat$\infty$Langsamkeit. Ein Körper, der hat$0$Abstand zwischen ihm und etwas anderem hat$\infty$Nähe dazu. Es kann festgestellt werden, dass der Invektor der Beschleunigung auch eine physikalische Bedeutung hat und im reziproken Raum perfekt funktioniert.

Ich habe nicht alles aufgenommen, was ich über dieses System gefunden habe, einschließlich des Skalarprodukts zweier Invektoren$(\vec{a}*\cdot\vec{b}*=[a_1\cdot b_1,a_2\cdot b_2])$und wie sie sich auf Ableitungen beziehen, die Bewegung auf reziproke Weise beschreiben.

Als Amateur mit nur Abitur in Mathematik möchte ich einfach fragen, macht das Sinn? Kennt jemand einen vektoriellen Weg, um Langsamkeit oder andere inverse Vektorgrößen zu beschreiben, der sich von meiner eigenen Arbeit unterscheidet (oder gleich ist)? Ich würde gerne verstehen, wie sich das auf die Mathematik im Allgemeinen bezieht und ob meine Ideen und meine Arbeit gültig sind. Ein Vektor wird im Allgemeinen als mathematisches Objekt mit Größe und Richtung definiert, aber es scheint mir, dass ein Vektor, obwohl das zu dieser Art von Idee passt, nicht in der Lage ist, die Art von Objekt zu beschreiben, mit der ich es hier zu tun habe. Gibt es eine andere Möglichkeit, dies zu tun, die bereits von der Mathematik-Community akzeptiert wird? Ist mein Werk neu oder existiert das irgendwo? Ist es überhaupt möglich, die Umkehrung eines Vektors zu definieren? Wenn Vektoren unabhängig vom Koordinatensystem sind, Warum ändert der Wechsel in den reziproken Raum etwas? Im Grunde würde ich nur gerne mehr Details darüber erfahren, wie man die Umkehrung eines Vektors im mathematischen und im physikalischen Sinne definiert.