Wie ermöglicht uns die Verbreiterung des Frequenzbands, schnellere Pulse in einer Funkverbindung zu erzeugen?

Kurz gesagt, für einen allgemeinen Kanal ist die Kapazität pro Abtastung definiert als

$$C_s = \max_{p(x)} I(X;Y)$$

Wenn dieser Kanal gaußsch ist und wir haben$X$als Eingang,$Y$als Ausgang und$Z$wie das Rauschen (also Y = X + Z) dann

$$\begin{align} I(X;Y) &= h(Y) - h(Y|X) \\ &= h(Y) - h(Z) \\ &=\frac{1}{2} \log 2 \pi e EY^2 - \frac{1}{2} \log 2 \pi e EZ^2\\ &\leq \frac{1}{2} \log 2 \pi e (P + N) - \frac{1}{2} \log 2 \pi e N\\ &= \frac{1}{2} \log \left(1 + \frac{P}{N}\right) \end{align}$$

und so ist die Kapazität pro Probe

$$C_s = \max_{p(x)} I(X;Y) = \frac{1}{2} \log \left(1 + \frac{P}{N}\right)$$

Nun wollen wir angesichts dieser Kapazität pro Kanalprobe in der Lage sein, die Kapazität pro Sekunde (dh die maximal mögliche Übertragungsrate) zu berechnen, wenn wir mit einer Leistungsbeschränkung konfrontiert sind$P$und Rauschleistungsspektraldichte$N_0$. Dies kann berechnet werden als

$$\begin{align} C [\text{Samples/ Second}]&= (\text{Max Num of Samples Per Second})×(\text{Capacity Per Sample})\\ C &= (\text{Sampling Frequency})×(\text{Capacity Per Sample})\\ C &= f_s \times C_s\\ C &= \frac{f_s}{2} \log \left(1 + \frac{P}{N_0B}\right) [\text{Samples/ Second}] \end{align}$$

Wenn die betrachtete Probe ein Bit ist, dann

$$\begin{align} C = \frac{f_s}{2} \log \left(1 + \frac{P}{N_0B}\right) [\text{Bits/ Second}] \end{align}$$

Beachten Sie, dass die Rauschleistung mit zunehmender Bandbreite zunimmt, und da wir eine feste Leistungsbeschränkung haben, verringert sich unser SNR daher mit zunehmender Bandbreite$B$. Als Folge von Nyquist ist die Abtastfrequenz ($f_s$) ist durch die uns zur Verfügung stehende Bandbreite begrenzt. Wenn wir den Nyquist verletzen, bekommen wir Aliasing . Das heißt, wir haben die Grenze

$$\begin{align} \frac{f_s}{2} \leq B_{\text{Channel}} \end{align}$$

Wir erhalten also die Beziehung als

$$\begin{align} C &= B \log \left(1 + \frac{P}{N_0B}\right)\\ C &= B \log \left(1 + \text{SNR}\right) \end{align}$$

Wenn wir nicht durch die Bandbreite begrenzt sind (dh$B \rightarrow \infty$), Dann

$$\begin{align} C &= \lim_{B \rightarrow \infty} B \log \left(1 + \frac{P}{N_0B}\right)\\ &= \frac{P}{N_0} \log_2 e \\ &\approx 1.44 \left(\frac{P}{N_0}\right) \end{align}$$

Bildquelle HIER

Beachten Sie auch, dass wenn die maximale Kapazität pro Bit 1 ist,

$$\begin{align} C [\text{Bits/sec}] &= (\text{Max Num of Bits Per Second})×(\text{Capacity Per Bit})\\ C &\leq (\text{Max Num of Bits Per Second})×(\text{Max Capacity Per Bit})\\ C &\leq f_s \times 1\\ C &\leq 2B \end{align}$$

Das beweist also die$C \leq 2B$Ungleichheit.

Sie können sich diesen Beitrag HIER ansehen , der eine sehr gute qualitative Erklärung dafür bietet, warum die Bandbreite die Kanalkapazität beeinflusst.

Angenommen, Sie haben einen Kanal mit einer Bandbreite von 1 MHz, wobei diese Bandbreite durch einen Tiefpassfilter mit einer Zeitkonstante von 160 Nanosekunden festgelegt wird.

Geben Sie nun einen 2-MHz-Datenstrom mit abwechselnden 1-0-1-0-1-0-Impulsen ein. Dazu müssen die Impulse am Empfänger den Pegel (die 1 oder die 0) in 500 Nanosekunden erkennen.

Die 500 Nanosekunden ermöglichen mehr als 3 Zeitkonstanten des Einschwingens. Jedes Tau (Zeitkonstante) verbessert die Genauigkeit um ein Neper, wobei ein Rest von 37 % der idealen Endspannung verbleibt. Somit hat 3+ Tau einen Rest von (0,37) ^ 3 oder 0,05.

Wenn Ihr Data-Slicer (der Schwellenwert des analogen Komparators, der zur Entscheidung zwischen 1 und 0 verwendet wird, bei 50 % liegt), sieht der Komparator am Ende jeder 500-Nanosekunden-Bitzeit entweder 0,95 oder 0,05.

In Abwesenheit von Rauschen ist dies eine sehr zuverlässige Entscheidung.

Ich denke, Shannon hat viele andere Fehlerquellen in seine theoretische Vorhersage aufgenommen.

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