Wie finde ich die Winkel- und Lineargeschwindigkeit eines 2D-Körpers, der in zwei Körper zerfällt?

Ich schreibe dies unter der Annahme, dass Sie von so etwas wie einer Scheibe sprechen, die bricht und sich die Teile bewegen, ohne miteinander zu interagieren.

Sie müssen Energie sparen:

$m_0v_0^2 = m_1v_1^2 + m_2v_2^2$

$I_0w_0^2 = I_1w_1^2 + I_2w_2^2$

Wo$v_0$,$v_1$, Und$v_2$sind die Beträge der Geschwindigkeiten$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Sie müssen auch Linear- und Drehimpuls erhalten:

$m_0\mathbf{v_0} = m_1\mathbf{v_1} + m_2\mathbf{v_2}$

$I_0\mathbf{w_0} = I_1\mathbf{w_1} + I_2\mathbf{w_2}$

oder

$m_0v_{0_x} = m_1v_{1_x} + m_1v_{1_x}$

$m_0v_{0_y} = m_1v_{1_y} + m_1v_{1_y}$

$I_0w_{0_z} = I_1w_{1_z} + I_2w_{2_z}$

Jetzt besteht die Schwierigkeit darin, die Mechanismen herauszufinden, wie sich das System aufteilt. Wenn Sie anfangen, einen Stein an einer Schnur mit Länge zu drehen$r$, und die Saite reißt, wird der Stein in Richtung seiner Tangentialgeschwindigkeit geschleudert$v = rw$in dem moment ist die schnur gerissen. Dazu kommt die ursprüngliche Geschwindigkeit des Systems. Sie können dies auch auf Ihren Körper anwenden, indem Sie das System der Massenschwerpunkte verwenden, das Sie uns zur Verfügung gestellt haben:

$\mathbf{v_1} = \mathbf{r_1}\times\mathbf{w_0} + \mathbf{v_0}$

$\mathbf{v_2} = \mathbf{r_2}\times\mathbf{w_0} + \mathbf{v_0}$

Da das System in 2D ist, dient die z-Dimension nur dazu, uns ein senkrechtes Produkt zu liefern und die Drehung im und gegen den Uhrzeigersinn mit negativen bzw. positiven Vorzeichen zu bestimmen.$\mathbf{r_1}$Und$\mathbf{r_2}$sollten immer kolinear sein und in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Sie können diese aufbrechen, um Folgendes zu erhalten:

$v_{1_x} = r_{1_x}w_0 + v_{0_x}$

$v_{1_y} = -r_{1_y}w_0 + v_{0_y}$

$v_{2_x} = r_{2_x}w_0 + v_{0_x}$

$v_{2_y} = -r_{2_y}w_0 + v_{0_y}$

Es ist wichtig zu beachten, dass die xy-Komponenten in meiner Entwicklung allgemein sind und nicht berücksichtigt werden$\mathbf{r_1}$Und$\mathbf{r_2}$kolinear und entgegengesetzt sind. Das würde mit IHREN Anfangsbedingungen berücksichtigt werden.

Lösen wir dies, indem wir den zeitumgekehrten Prozess betrachten: Zwei rotierende Objekte kollidieren unelastisch. Wir wissen, dass Linear- und Drehimpuls erhalten bleiben:

Letzteres kann auch geschrieben werden (vorausgesetzt, Sie haben die Trägheitsmomente) als:

Die Beziehung zwischen$\vec{\omega}$Und$\vec{v}$Ist$\vec{v}= \vec{r}\times\vec{\omega}$, Wo$\vec{r}$ist von der Achse (oder dem Punkt) der Rotation. Sie haben also ein System von 6 Gleichungen mit 6 (gekoppelten) Unbekannten (jeder Vektor hat drei Komponenten). Ich persönlich würde dies lösen, indem ich die Gleichungen in Bezug auf die Komponenten der unbekannten Vektoren aufschreibe und mit einem numerischen Algorithmus (oder Mathematica) löse.

Da angenommen wird (so wird angenommen, oder?), dass die ungebrochene Scheibe eine gleichmäßige Dichte hat, hat sie einen Massenmittelpunkt im geometrischen Mittelpunkt der Scheibe. Da der Massenmittelpunkt zweier unterschiedlicher Massen auf einer Verbindungslinie zwischen den beiden liegt, müssen die CMs der beiden Fragmente auf einem Durchmesser der Scheibe liegen. Nicht nur das, wenn der radiale Abstand des CM von$B_1$Ist$r_1$, und der radiale Abstand von$B_2$Ist$r_2$, dann seit$m_1$$r_1$=$m_2$$r_2$,$r_1$/$r_2$=$m_2$/$m_1$. Ohne die Geometrien von mindestens einem der Fragmente zu kennen, gibt es jedoch keine Möglichkeit, die Werte von zu bestimmen$r_1$Und$r_2$. Vorausgesetzt, Sie kennen sie, wird der Rest einfach. Die beiden Fragmente können als Punktmassen betrachtet werden, die durch einen infinitesimalen Faden verbunden sind und um rotieren$\omega_0$um den gemeinsamen Schwerpunkt. Da die Orientierungen der beiden Fragmente festgelegt sind, rotiert jedes Fragment um seinen eigenen Massenmittelpunkt$\omega_0$. Jedes Fragment hat eine Tangentialgeschwindigkeit, die proportional zu seinem radialen Abstand vom gemeinsamen CM ist, also$v_1$=$\omega_0$$r_0$/$r_1$, Und$v_2$=$\omega_0$$r_0$/$r_2$. Die Richtung wird natürlich durch den Winkel der Linie bestimmt, die die beiden CMs im Moment der Freigabe verbindet. Da außerdem während der Freisetzung keine Wechselwirkung zwischen den beiden Fragmenten stattfindet, behält jedes eine Rotationsgeschwindigkeit bei$\omega_0$um seinen Massenmittelpunkt.