Wie findet man die Summe dieser unendlichen Reihe: ∑∞k=11(k+1)(k−1)!(1−2k)∑k=1∞1(k+1)(k−1)!(1 −2k)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k})

Tipp: Beachten Sie das$1-\frac{2}{k}=\frac{(k+1)-3}{k}$. Unsere Summe ist also

$$\sum_1^\infty \frac{1}{k!} -3\sum_1^\infty \frac{1}{(k+1)!}.$$ Jede Summe ist ein ziemlich naher Verwandter von $e$.

Versuchen wir, die Reihe aufzuteilen (denn wenn sie gegen eine endliche Zahl konvergiert, ist sie absolut konvergent, da alle Terme positiv sind).

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k}) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!} - 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k)(k-1)!} \\ = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k+1)(k)(k-1)!} - 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!} \\ = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k+1)!} - 2 \left[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)!} + \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} -2 \right] = \\ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{(k+2)!} -2\left[ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1^k}{k!} -2 \right] = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{(k+2)!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)!} - 2[e^1 -2]$$

Mit der gleichen Technik wie zuvor:

$$= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{(k+2)!} + [e^1 -2] - 2[e^1 -2] \\= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ k }{(k+2)!} -[e^1 -2] \\ = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ k }{(k+2)!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(k+2)!} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(k+2)!} -[e^1 -2] \\ = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+2}{(k+2)!} - 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)!} - [e^1 -2]$$

Verwenden Sie ein zweites Mal unsere Berechnung$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)!} = e^1 -2$wir bekommen

$$= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+2}{(k+2)!} - 3[e^1 -2] \\ = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!} - 3[e^1 -2] \\ = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)!} + 1 -1 -3[e^1-2] \\ = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} -1 - 3[e -2] \\ = e-1 -3e +6 \\ \\= -2e+5$$