Wie GENAU stört Tarskis Undefinierbarkeit der Wahrheit die Definition von ⊨⊨\vDash für richtige Klassen, und warum nicht für Mengen?

Ich denke, Sie haben die Dinge ein bisschen falsch abgebildet. (Um frei über Klassen zu sprechen, findet die folgende Analyse in statt$\mathsf{NBG}$der Einfachheit halber; wie üblich kann dies "$\mathsf{ZFC}$-ified" direkt auf den Preis, dass alle Aussagen ärgerlich umständlich und nur auf definierbare Klassen anwendbar sind.)

Im Folgenden bedeutet „Struktur“, sofern nicht anders angegeben, „transitive Menge oder Klasse enthaltend“.$\mathsf{HF}$als eine Teilmenge gedacht als ein$\{\in\}$-Struktur." Die Anforderung, dass$\mathsf{HF}\subseteq M$ist wirklich nur ein übertriebener Weg, um sicherzustellen, dass die Godel-Codierung richtig funktioniert; Wenn Sie möchten, können Sie dies stattdessen verlangen$M$erfüllen einige sehr schwache Mengenlehre wie$\mathsf{KP}$ (was tatsächlich die Eindämmung von$\mathsf{HF}$kann sich aber natürlicher anfühlen) .

Die Unterscheidung zwischen Menge und Klasse interagiert überhaupt nicht mit Tarski. Der Undefinierbarkeitssatz von Tarski gilt für jede Struktur, Klassen- oder Mengengröße:

Vermuten$M$ist eine transitive Menge oder Klasse mit$\mathsf{HF}\subseteq M$, gedacht als ein$\{\in\}$-Struktur. Dann$Th(M)$, gedacht als eine Teilmenge von$\omega$offensichtlicherweise nicht parameterfrei definierbar in$M$.

Die Größe von$M$spielt keine Rolle; was Tarski tut, unabhängig von der Größe$M$, ist Grenze , wo eine parameterfreie Definition von$Th(M)$kann stattfinden. Wir haben zum Beispiel:

Vermuten$M,N$sind mengen- oder klassengroße Strukturen mit$M\subsetneq N$. Dann schließt der Satz von Tarski nicht sofort aus$Th(M)$nicht parametrierbar in$N$.

Das einzig Besondere an$V$ist, dass es kein "Außen" gibt, zu dem wir gehen können, um eine parameterfreie Definition der Wahrheit zu erhalten. Aber das ist der einzige Weg$V$unterscheidet sich hier von einer festen Struktur. In der Tat gibt es bei Strukturen in Satzgröße sehr einfache Möglichkeiten, "nach draußen zu gehen, um die Theorie zu bekommen", ohne auch nur auf die Ebene von Strukturen in richtiger Klassengröße zu gehen! Nehmen wir zum Beispiel an$M\subseteq N$sind Strukturen in festgelegter Größe. Lassen$M_N$sei die Erweiterung von$N$durch ein neues unäres Prädikat$U$mit$U^N=M$. Beachten Sie, dass$M_M$, obwohl nicht buchstäblich die gleiche Struktur wie$M$, ist mit biinterpretierbar$M$Das gibt uns also nicht immer mehr Kraft. Jedoch:

Für jede Baugröße$M$, wir haben$Th(M)$ist parameterfrei definierbar in$N_M$Wo$N=V_{height(M)+1}$.

Das ist eigentlich ein massives Überschießen, aber es macht den notwendigen Punkt. Und der Grund, warum dies für Strukturen in angemessener Klassengröße nicht funktioniert, ist einfach und hat nichts mit Tarski zu tun: Wenn$M$eine richtige Klasse ist, gibt es keine "Ebene der kumulativen Hierarchie darüber$M$" .

( Mir ist übrigens nicht sofort klar , ob wir die Sprache tatsächlich erweitern müssen!)

Dies lässt uns mit einer großen interessanten Frage zurück: Wann ist die Theorie einer klassengroßen Struktur parameterfrei definierbar?$V$? Wie oben erwähnt, sagt Tarski hier nichts direkt für andere Klassen als$V$(oder andere als geringfügige Modifikationen von$V$). Tatsächlich gibt es ein einfaches Beispiel für eine Struktur mit geeigneter Klassengröße, deren Theorie parameterfrei definierbar ist$V$: die Klasse der Ordnungszahlen ,$\mathsf{Ord}$. Dies ist weitaus weniger kompliziert als man erwarten könnte, und seine Theorie ist in der Tat parameterfrei definierbar$(\mathbb{N};+,\times)$allein!

• OK,$\mathsf{Ord}$passt da nicht in unser Bild$\mathsf{HF}\not\subseteq\mathsf{Ord}$. Vielleicht ist es besser, sich das anzuschauen, was ich "$\mathsf{HF(Ord)}$," die klassengroße Struktur, die durch Schließen erhalten wird$\mathsf{Ord}$unter Kopplung. Diese ist nun deutlich komplizierter – sie interpretiert zum Beispiel echte Arithmetik erster Ordnung – aber immer noch extrem einfach im Vergleich zu anderen Strukturen im Rahmen der Mengenlehre, und insbesondere ist ihre Theorie noch parameterfrei definierbar$V$.