Wie kann ich beweisen, dass nicht alle quadratischen Gleichungen injektiv sind?

Ich habe versucht zu beweisen, dass jede quadratische Formel ( A X 2 + B X + C ) wird nicht injektiv sein, aber ich habe ein kleines Problem.

Ich begann mit der Annahme F ( X ) = F ( j ) . Wir können x und y in die allgemeine Form einer quadratischen Funktion bringen, und wir erhalten

A X 2 + B X + C = A j 2 + B j + C

Subtrahieren Sie c von beiden Seiten und organisieren Sie ein wenig und Sie erhalten

A ( X 2 − j 2 ) + B ( X − j ) = 0

A ( X + j ) ( X − j ) + B ( X − j ) = 0

Hier können wir davon ausgehen X ≠ j , somit X − j ≠ 0 , teilen Sie also beide Seiten durch xy, und wir erhalten

A ( X + j ) + B = 0

Von hier aus konnte ich jedoch keine Widersprüche finden, was ein Problem darstellt, da es einen Widerspruch geben muss, da quadratische Funktionen nicht injektiv sind. Kann mir jemand sagen, was hier der Widerspruch ist?

Der einfachste Weg, um das Quadrat zu vervollständigen, um es in Scheitelpunktform umzuschreiben, dann können Sie leicht zeigen, ob der Scheitelpunkt ist ( H , k ) dann einstecken H + N bekommt man die gleiche Ausgabe wie H − N für alle N
Jedes Quadrat hat zwei Wurzeln?
@preferred_anon Nicht jedes Quadrat hat zwei verschiedene Wurzeln. Und OP gibt nicht an, aber möglicherweise sprechen sie über die reellen Zahlen, und dann hat nicht jede quadratische Zahl zwei reelle Wurzeln.
Warum erwartest du einen Widerspruch? f(x)=f(y) und x≠y wären ein Widerspruch, wenn f injektiv wäre.

Antworten (6)

Es gibt keinen Widerspruch. Sie sind tatsächlich auf diese Bedingung gestoßen F ( X ) = F ( j ) für X ≠ j . Mit ein wenig Umordnung haben Sie

X = − ( B + A j ) A

(Wenn A = 0 dann hast du kein Quadrat). Tatsächlich funktioniert dies in beide Richtungen, was durch gezeigt werden kann

F ( j ) − F ( − ( B + A j ) A ) = A j 2 + B j + C − A ( − ( B + A j ) A ) 2 − B ( − ( B + A j ) A ) − C

= A j 2 + B j − B 2 A − 2 B j − A j 2 + B 2 A + B j = 0

gilt für alle j .

Aber bedeutet das dann nicht, dass quadratische Funktionen injektiv sind? Aber wenn ich richtig verstehe, dann ist keine quadratische Funktion injektiv.
Per Definition ist eine Funktion injektiv, wenn F ( X ) = F ( j ) impliziert X = j . Aber hier haben wir das F ( X ) = F ( j ) Aber X ≠ 0 . Somit sind Quadrate nicht injektiv

Das ist bisher eine gute Sache. Sie wissen jetzt, dass Sie bekommen X = j Wenn Sie haben A ( X + j ) + B ≠ 0 , in diesem Fall gibt es keinen Widerspruch. Konzentrieren wir uns also auf das Wann A ( X + j ) + B = 0 . Können Sie zwei Werte von finden X Und j , die einander nicht gleich sind, sondern für die A ( X + j ) + B = 0 ? Oder gleichwertig, X + j = − B A ?

Darauf gibt es viele mögliche Antworten, aber hier ist eine: Wir können lassen X = − B 2 A + 1 Und j = − B 2 A − 1 . Diese Werte von X Und j könnte durchaus der Definition der Injektivität widersprechen. Wir haben

A ( − B 2 A + 1 ) 2 + B ( − B 2 A + 1 ) + C = A ( B 2 4 A − 2 B 2 A + 1 ) − B 2 2 A + B + C = A B 2 4 A − 2 A B 2 A + A − B 2 2 A + B + C = B 2 4 + A − B 2 2 A + C .
Versuchen Sie es mit einer Substitution − B 2 A − 1 stattdessen, und zeigen Sie, dass es auf den gleichen Wert kommt.

Eine Möglichkeit, dies anzugehen, besteht darin, auf ihre Diagramme zurückzugreifen. Wie sieht der Graph eines Quadrats aus? Verwenden Sie den horizontalen Linientest. (Sollte als Hinweis reichen.)

Sie haben gerade den Wert von gefunden X Und j so dass F ( X ) = F ( j ) Wenn X ≠ j .

Um es konstruktiv zu sehen, beobachte das F ( X ) = A X 2 + B X + C = 1 4 A ( ( 2 A X + B ) 2 + 4 A C − B 2 )

Nun beobachten Sie das bei j = − X − B / A wir haben 2 A j + B = − 2 A X − B also folgt das F ( X ) = F ( j ) .

Nehmen wir an, die quadratischen Funktionen sind injektiv, was impliziert F ( X ) = F ( j ) ⟹ X = j

Hier A , B , C sind einige Konstanten und A ≠ 0

Laut dir F ( X ) = F ( j ) Und X ≠ j ⟹ X + j = − B A was äquivalent ist

F ( X ) = F ( j ) ⟹ X = j oder X + j = − B A

Die obigen Aussagen sind ein Widerspruch, der zeigt, dass unsere Annahme falsch ist.

Die obigen Aussagen sind keine Widersprüche, da alle von Ihnen geschriebenen Implikationen einseitig sind. Die Implikation " F ( X ) = F ( j ) ⟹ X = j oder X + j = − B A “ gilt auch für F gleich der Identität, die eine injektive Funktion ist.

Alternativer Ansatz:

Die Formel zur Berechnung der Wurzeln von     A X 2 + B X + C = 0     Ist

(1) X = 1 2 A [ − B ± B 2 − 4 A C ] .

Basierend auf (1) oben, in der realen Analyse, der Lösungsversuch     F ( X ) = A X 2 + B X + C = 0     wird darin enden, dass 3 Möglichkeiten:

Fall 1 _ :   B 2 − 4 A C < 0.
In diesem Fall gibt es keine echten Wurzeln. Da die Frage ist, ob die Berechnung der Wurzel(n) von F ( X ) eher injektiv als surjektiv ist, scheint es vernünftig anzunehmen, dass in diesem Fall die Injektivität nicht verletzt wurde.

Fall 2 _ :   B 2 − 4 A C = 0.
In diesem Fall gibt es eine Wurzel, die wiederholt wird. Daher die Assoziation zwischen F ( X ) und seine (einzelne) Wurzel kann wieder als injektiv angesehen werden.

Fall 3 _ :   B 2 − 4 A C > 0.
In diesem Fall gibt es zwei verschiedene Wurzeln, also die Assoziation zwischen F ( X ) und seine (zwei) Wurzeln werden nicht injektiv sein.

Wie kann ich beweisen, dass nicht alle quadratischen Gleichungen injektiv sind?
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