Wie kann ich den Schnittbereich einer Ellipse und eines Kreises definieren?

Nun, wir wissen, dass die Kreisgleichung gegeben ist durch:

$$\left(x-\text{a}\right)^2+\left(\text{y}-\text{b}\right)^2=\text{r}^2\tag1$$

Wo$\left(\text{a},\text{b}\right)$sind die Mittelpunktskoordinaten des Kreises und$\text{r}$ist der Radius des Kreises.

In Ihrem Fall haben wir$\text{a}=\text{b}=5000$Und$\text{r}=2000$. So:

$$\left(x-5000\right)^2+\left(\text{y}-5000\right)^2=2000^2\tag2$$

Wir wissen, dass die Gleichung einer Ellipse gegeben ist durch:

$$\left(\frac{x-x_0}{\alpha}\right)^2+\left(\frac{\text{y}-\text{y}_0}{\beta}\right)^2=1\tag3$$

Wo$\left(x_0,\text{y}_0\right)$sind die Mittelpunktskoordinaten der Ellipse und$\alpha$ist die große Halbachse und$\beta$ist die kleine Halbachse.

In Ihrem Fall haben wir$x_0=2500$,$\text{y}_0=5000$,$\alpha=2000$, Und$\beta=1000$. So:

$$\left(\frac{x-2500}{2000}\right)^2+\left(\frac{\text{y}-5000}{1000}\right)^2=1\tag4$$

Jetzt habe ich Mathematica verwendet, um dies mit dem folgenden Code zu zeichnen:

In[1]:=ContourPlot[{(x - 5000)^2 + (y - 5000)^2 == 
   2000^2, ((x - 2500)/2000)^2 + ((y - 5000)/1000)^2 == 1}, {x, 2000, 
  8000}, {y, 2000, 8000}]

Und bekam folgende Ausgabe:

Wir können nach den Schnittpunkten auflösen mit:

In[2]:=FullSimplify[
 Solve[{(x - 5000)^2 + (y - 5000)^2 == 
    2000^2, ((x - 2500)/2000)^2 + ((y - 5000)/1000)^2 == 1, 
   x > 0 && y > 0}, {x, y}]]

Out[2]={{x -> -(500/3) (-35 + 2 Sqrt[61]), 
  y -> -(500/3) (-30 + Sqrt[5 (-25 + 4 Sqrt[61])])}, {x -> -(500/
     3) (-35 + 2 Sqrt[61]), 
  y -> 500/3 (30 + Sqrt[5 (-25 + 4 Sqrt[61])])}}

Mit Gitternetzlinien können wir den folgenden Code verwenden:

ContourPlot[{(x - 5000)^2 + (y - 5000)^2 == 
   2000^2, ((x - 2500)/2000)^2 + ((y - 5000)/1000)^2 == 1}, {x, 2000, 
  8000}, {y, 2000, 8000}, 
 GridLines -> {{-(500/3)*(2*Sqrt[61] - 35), 3000, 4500}, {}}]

Um zu sehen:

Nun ist es nicht schwer zu zeigen, dass die gesuchte Fläche gegeben ist durch:

$$\mathcal{A}:=\text{I}_1+\text{I}_2\tag5$$

Wo:

I1 = Integrate[
   5000 + Sqrt[-(-7000 + x) (-3000 + x)], {x, 3000, \[Tau]}] - 
  Integrate[5000 - Sqrt[-(-7000 + x) (-3000 + x)], {x, 3000, \[Tau]}]

I2 = Integrate[
   5000 + 1/2 Sqrt[-(-4500 + x) (-500 + x)], {x, \[Tau], 4500}] - 
  Integrate[
   5000 - 1/2 Sqrt[-(-4500 + x) (-500 + x)], {x, \[Tau], 4500}]

Wo$\tau=\frac{500}{3}\left(35-2\sqrt{61}\right)$.

Wir erhalten also:

$$\mathcal{A}\approx2.00371\cdot10^6\tag8$$

Und der genaue Wert ist:

250000/3 (-5 Sqrt[5 (-25 + 4 Sqrt[61])] + 
   48 (ArcCsc[2 Sqrt[1/15 (4 + Sqrt[61])]] + 
      2 ArcSec[2 Sqrt[2/65 (-7 + 2 Sqrt[61])]]))

Wenn$(x,y_l)$Und$(x,y_u)$sind die Schnittpunkte der beiden Kurven, dann kann die benötigte Fläche durch Integration bzgl$y$:

$$\int_{y_l}^{y_u} x^+(y)_{\text{ellipse}}-x^-(y)_{\text{circle}} \ dy$$ Hier,$x^+$Und$x^-$bedeutet, dass Sie beim Auflösen nach jeweils die positiven und negativen Quadratwurzeln ziehen müssen$x$bezüglich$y$.

BEARBEITEN: Nachdem Sie die Schnittpunkte gefunden und integriert haben, sollten Sie die Antwort ungefähr erhalten$\boxed{2003708.58843}$.